2023届高考数学一轮复习单元测试--第七单元复数（Word版附解析）

2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第七单元复数一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·浙江高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（）A．B．1C．D．32．（2021·北京高考真题）在复平面内，复数满足，则（）A．B．C．D．3．（2021·全国高考真题（理））设，则（）A．B．C．D．4．复数z满足，则的最大值为（）A．1B．C．3D．5．欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，则的最小值等于（）A．0B．1C．2D．36．设是复数，则下列命题中正确的是（）A．若是纯虚数，则B．若的实部为，则为纯虚数C．若，则是实数D．若，则是纯虚数7．（2021·重庆高三三模）若复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点(x，y)满足方程（）A．B．C．D．8．（2021·黑龙江高三模拟（理））已知i是虚数单位，若复数，其中\n，则等于（　　）A．1B．5C．D．13二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2021·湖北襄阳市·襄阳四中高三模拟）一个复数集X称为某种运算的“和谐集”是指X满足性质:①X⊆C；②∀a，b∈X对某种规定的运算a⊕b，都有a⊕b∈X.则下列数集X是相应运算的“和谐集”的是（）A．，其中i是虚数单位，规定运算:a⊕b=a×b，(∀a，b∈X)B．，规定运算:C．，规定运算:a⊕b=a×b，(∀a，b∈X)D．，规定运算:a⊕b=a+b，(∀a，b∈X)10．（2021·江苏泰州市·高三模拟）设为复数，在复平面内、对应的点分别为、，坐标原点为，则下列命题中正确的有（）A．当为纯虚数时，三点共线B．当时，为等腰直角三角形C．对任意复数，D．当为实数时，11．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三二模）设是复数，则下列命题中的真命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则12．（2021·聊城市·山东聊城一中高三模拟）1487\n年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021·首都师范大学附属中学高三模拟）复数（为虚数单位），则的虚部是______.14．（2021·河南南阳市·高二模拟（理））已知为纯虚数，若在复平面内对应的点在直线上，则________．15．（2021·安徽师范大学附属中学高三模拟（理））若复数在复平面内所对应的点的坐标为，则______．16．（2021·重庆一中高三模拟）在复平面内，设点A､P所对应的复数分别为πi､cos(2t﹣)+isin(2t﹣)(i为虚数单位)，则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·上海复旦附中高三模拟）已知关于的方程的虚数根为、.（1）求的取值范围；（2）若，求实数的值.\n18．在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位.（1），，计算与；（2）设，（），求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号.19．已知复数满足，的虚部为2.（1）求复数；（2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值.20．已知复数满足，的虚部为2，（1）求复数；（2）设在复平面上对应点分别为，求的面积.\n21.已知复数，，且，其中i为虚数单位，求的值.22．（2021·湖南株洲市·高三二模）已知复数，满足，其中i为虚数单位，表示的共轭复数.（1）求的值；（2）求.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·浙江高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（）A．B．1C．D．3【答案】C【解析】，利用复数相等的充分必要条件可得：.故选：C.2．（2021·北京高考真题）在复平面内，复数满足，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得：.\n故选：D.3．（2021·全国高考真题（理））设，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，则，所以，，解得，因此，.故选：C.4．复数z满足，则的最大值为（）A．1B．C．3D．【答案】C【解析】设，，复数对应点在以为圆心，1为半径的圆上运动.由图可知当点位于点处时，点到原点的距离最大，最大值为3.故选：C.5．欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，则的最小值等于（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】由题意知，所以当时，取得最小值1．\n故选：B.6．设是复数，则下列命题中正确的是（）A．若是纯虚数，则B．若的实部为，则为纯虚数C．若，则是实数D．若，则是纯虚数【答案】C【解析】对于A选项，若为纯虚数，可设，则，A选项错误；对于B选项，取，则为实数，B选项错误；对于C选项，设，则，则，，C选项正确；对于D选项，取，则，但，D选项错误.故选：C.7．（2021·重庆高三三模）若复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点(x，y)满足方程（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，代入得：.故选：B8．（2021·黑龙江高三模拟（理））已知i是虚数单位，若复数，其中，则等于（　　）A．1B．5C．D．13【答案】B【解析】因为复数，所以即，\n根据复数相等得到，解得，所以，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2021·湖北襄阳市·襄阳四中高三模拟）一个复数集X称为某种运算的“和谐集”是指X满足性质:①X⊆C；②∀a，b∈X对某种规定的运算a⊕b，都有a⊕b∈X.则下列数集X是相应运算的“和谐集”的是（）A．，其中i是虚数单位，规定运算:a⊕b=a×b，(∀a，b∈X)B．，规定运算:C．，规定运算:a⊕b=a×b，(∀a，b∈X)D．，规定运算:a⊕b=a+b，(∀a，b∈X)【答案】ABCD【解析】对于A,设则a⊕b=a×b=,,所以,即a⊕,故A正确；对于B,,则故即,,即a⊕b,故B正确；对于C,,则|a|<1,|b|<1,∴|a·b|=|a||b|<1，即a·b,即a⊕b,故C正确；对于D,由于在复数范围内，所以由⇔，有复数的模的不等式得到存在实数，使得，又，于是⇔存在实数，使得，，',所以a⊕b=a+b,因为'，，所以即a⊕b,故D正确；故选：ABCD.\n10．（2021·江苏泰州市·高三模拟）设为复数，在复平面内、对应的点分别为、，坐标原点为，则下列命题中正确的有（）A．当为纯虚数时，三点共线B．当时，为等腰直角三角形C．对任意复数，D．当为实数时，【答案】ABD【解析】设，则，对A：当为纯虚数时，，对应的点分别为、，均在轴上，所以三点共线，故A正确；对B:当时，，所以，，所以，而，所以，所以为等腰直角三角形，故B正确；对C：,,当时，，故C错误；对D：当为实数时，，此时，故D正确.故选：ABD11．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三二模）设是复数，则下列命题中的真命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABC【解析】对于，若，则，所以为真；\n对于，若，则和互为共轭复数，所以为真；对于，设，若，则，即，所以，所以为真；对于，若，则，而，所以为假.故选：12．（2021·聊城市·山东聊城一中高三模拟）1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】因为所以，故A正确，，故B正确，故C错误，故D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．\n13．（2021·首都师范大学附属中学高三模拟）复数（为虚数单位），则的虚部是______.【答案】【解析】，因此，复数的虚部为.故答案为：.14．（2021·河南南阳市·高二模拟（理））已知为纯虚数，若在复平面内对应的点在直线上，则________．【答案】【解析】设，则．因为对应的点为，所以，解得，故．故答案为：.15．（2021·安徽师范大学附属中学高三模拟（理））若复数在复平面内所对应的点的坐标为，则______．【答案】【解析】由已知可得，，所以，，所以，.\n故答案为：.16．（2021·重庆一中高三模拟）在复平面内，设点A､P所对应的复数分别为πi､cos(2t﹣)+isin(2t﹣)(i为虚数单位)，则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是___________.【答案】【解析】由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为(0，π)，如图：当时，点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和.由于，关于实轴对称，所以的面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)，故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积.因为∠=2×=，所以扇形的面积为等于.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·上海复旦附中高三模拟）已知关于的方程的虚数根为、.（1）求的取值范围；\n（2）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】由题意知，，则，，（1），因为，所以，故的取值范围是.（2）因为，所以，所以.18．在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位.（1），，计算与；（2）设，（），求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号.【答案】（1），；（2）证明详见解析，当时.【解析】解：（1），所以证明（2），，，\n所以，当且仅当时取“”，此时.19．已知复数满足，的虚部为2.（1）求复数；（2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）设,由题,可得,,的虚部为2则或故或（2）由（1）可知,即为,当时,即为,,此时,即为,当时,即为,,此时,即为,综上,20．已知复数满足，的虚部为2，（1）求复数；（2）设在复平面上对应点分别为，求的面积.\n【答案】（1）或；（2）1【解析】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），由已知可得：，即，解得或．∴z＝1+i或z＝﹣1﹣i；（2）当z＝1+i时，z2＝2i，z﹣z2＝1﹣i，∴A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），故△ABC的面积S2×1＝1；当z＝﹣1﹣i时，z2＝2i，z﹣z2＝﹣1﹣3i，∴A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），故△ABC的面积S2×1＝1．∴△ABC的面积为1．21.已知复数，，且，其中i为虚数单位，求的值.【答案】【解析】因为复数，，所以，，所以，即，所以.22．（2021·湖南株洲市·高三二模）已知复数，满足，其中i为虚数单位，表示的共轭复数.（1）求的值；\n（2）求.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意知，，；（2）；，又，则是以为首项，为公差的等差数列，，故