2023届高考数学一轮复习单元测试--第七章随机变量及其分布（Word版附解析）

2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第七章随机变量及其分布一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A．B．C．D．2．林老师等概率地从1~3中抽取一个数字，记为X，叶老师等概率地从1~5中抽取一个数字，记为Y，已知，其中是的概率，其中，则E（XY）=（）A．3B．5C．6D．83．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率.若生产状态正常，有如下命题：甲：；乙：的取值在内的概率与在内的概率相等；丙：；丁：记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则.（参考数据：若，则，，；）其中假命题是（）\nA．甲B．乙C．丙D．丁4．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究､应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法正确的是（）A．该地水稻的平均株高为B．该地水稻株高的方差为10C．随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率小D．随机测量一株水稻，其株高在和在单位：的概率一样大5．某校有500人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（不低于120分）的人数占总人数的，则此次数学成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．75B．100C．150D．2006．为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异，召集了男女志愿者各300名，让他们同时完成多个任务.以下4个结论中，对志愿者完成任务所需时间分布图表理解正确的是（）①总体看女性处理多任务平均用时更短；②所有女性处理多任务的能力都要优于男性；③男性的时间分布更接近正态分布；④女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数，且男性处理多任务的用时绝对值大.A．①④B．②③C．①③D．②④7．高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，\n已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布，若住同一地方的甲、乙两人分别有分钟与分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（）A．①、②B．②、①C．①、①D．②、②8．托马斯·贝叶斯(ThomasBayes)在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理)，其中称为的全概率.这个定理在实际生活中有着重要的应用价值.假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常.如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知，随机变量的分布列如图所示，则（）12…………A．B．C．D．10．下列说法正确的是（）A．已知随机变量，，满足，且服从正态分布，则B．已知随机变量服从二项分布，则C．已知随机变量服从正态分布，且，则D．已知一组数据，，，，，的方差是3，则数据，，，\n，，的标准差是11．为了解目前宜兴市高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀则下列说法正确的是（）参考数据：随机变量，则，，．A．该校学生体育成绩的方差为10B．该校学生体育成绩的期望为70C．该校学生体育成绩的及格率不到D．该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当12．以下四个命题中真命题是（）A．为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40B．线性回归直线恒过样本点的中心C．随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为0.1，则在内的概率为0.4D．概率值为零的事件是不可能事件三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．某校数学兴趣小组，在研究随机变量的概率分布时，发现离散型随机变量的取值与其概率的函数关系为（为参数），则这个随机变量的数学期望___________.14．某工厂生产的个零件中，一级品个，二级品个，三级品个，按照分层抽样的方法从中抽取容量为的一个样本，若从样本中随机抽取个进行质检，记为抽到的一级品的个数，则___________．15．伟大出自平凡，英雄来自人民．在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会名男生和名女生骨干成员中选出人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用表示事件“抽到的2名队长性别相同”，表示事件“抽到的名队长都是男生”，则________\n16．为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围，提高学生的阅读兴趣，某校开展了“朗读者”闯关活动，各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼，第二轮进行诗词背诵的比拼.已知某学生通过第一关的概率为，在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为，则该同学两关均通过的概率为______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．小明同学参加了本次数学质检测验，在做选择题时（每题5分），前9道题均会做，但由于粗心做错一题，后3题不会做，只好每题从四个选项中随机蒙了一个.（1）求小明同学选择题得分不低于50分的概率；（2）当小明同学完成填空题时，考试时间只剩55分钟，此时还需完成6道解答题.若根据小明同学近期几次模拟考时一道解答题平均所需花费时间估计概率（下表所示）一题所需时长/分钟8910概率0.5以小明同学答题时间的期望为依据，预计小明同学这次质检能顺利完成所有题目，求的取值范围.\n18．为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端创造、智能制造，把我国制造业和实体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平，一些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时都要进行调查统计．某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服务公司的管理软件，并让其提供服务．某一管理软件服务公司有如下两种收费方案：方案一：管理软件服务公司每月收取工厂4800元，对于提供的软件服务每次另外收费200元；方案二：管理软件服务公司每月收取工厂7600元，若每月提供的软件服务不超过15次，不另外收费；若超过15次，超过部分的软件服务每次另外收费500元．（1）设管理软件服务公司月收费为y元，每月提供的软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；（2）该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去20个月提供的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形统计图．依据条形统计图中的数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，该工厂选择哪种方案更合适，请说明理由．\n19．据了解，现在快节奏的工作､不健康的生活方式，使人们患上“三高（高血压､高血脂､高血糖）”的几率不断升高，患病人群也日渐趋向年轻化.为提高辖区居民个人健康管理意识，了解“三高”相关知识，某社区邀请市专家协会主任医师举办“三高”专题健康知识讲座，为辖区居民解答健康疑问.讲座结束后，对参加市民举行网络问卷调查.每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分（满分：分）数据，统计结果如下表所示：组别频数（1）求这人得分的及格率（分及以上为及格）.（2）求这人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.（3）社区为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分及格的可以获赠次随机话费，得分不及格的可以获赠次随机话费；②每次赠送的随机话费和对应的概率如下表：赠送的随机话费（单位：元）概率将这人得分的及格率作为参加问卷调查及格的概率，记（单位：元）为某市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望.\n20．某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：）进行测量，得出这批钢管的直径服从正态分布.（1）当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；（2）如果钢管的直径在之间为合格品（合格品的概率精确到0.01），现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数的分布列和数学期望.（参考数据：若，则，，）21．调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝、解析、鉴定、研发，周而复始、反复对比对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的调味品让他品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，称这个过程为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设，分别以表示第一次排序为1，2，3，4的四种调味品在第二次排序时的序号，并令，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述（如：若第二次排序的序号为1，3，2，4，则）．（1）假设的排列等可能为1，2，3，4的各种排列，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有，则\n①假设各轮测试相互独立，试按（1）的结果，计算出现这种情况的概率；②请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何，并说明理由．22．现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；（2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：设元件1，元件2，元件3正常工作分别为事件A、B、C，\n则；故该部件能正常工作的概率为.故选：B2．林老师等概率地从1~3中抽取一个数字，记为X，叶老师等概率地从1~5中抽取一个数字，记为Y，已知，其中是的概率，其中，则E（XY）=（）A．3B．5C．6D．8【答案】C【解析】解：依题意，，所以，，因为与相互独立，所以故选：C3．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率.若生产状态正常，有如下命题：甲：；乙：的取值在内的概率与在内的概率相等；丙：；丁：记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则.（参考数据：若，则，，；）其中假命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁\n【答案】B【解析】由知，，，对于甲：由正态分布曲线可得：，故甲为真命题；对于乙：，两个区间长度均为1个，但，由正态分布性质知，落在内的概率大于落在内的概率，故乙是假命题；对于丙：由知，丙正确；对于丁：1只口罩的的过滤率大于的概率，，所以，，故丁是真命题.故选：B.4．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究､应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法正确的是（）A．该地水稻的平均株高为B．该地水稻株高的方差为10C．随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率小D．随机测量一株水稻，其株高在和在单位：的概率一样大【答案】A【解析】，故，，故A正确B错误；，故C错误；根据正态分布的对称性知：\n，故D错误.故选：A.5．某校有500人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（不低于120分）的人数占总人数的，则此次数学成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．75B．100C．150D．200【答案】C【解析】由题意，设数学成绩为X，则，而，∴，由对称性知：.∴此次数学成绩在90分到105分之间的人数约为人.故选：C.6．为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异，召集了男女志愿者各300名，让他们同时完成多个任务.以下4个结论中，对志愿者完成任务所需时间分布图表理解正确的是（）①总体看女性处理多任务平均用时更短；②所有女性处理多任务的能力都要优于男性；③男性的时间分布更接近正态分布；④女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数，且男性处理多任务的用时绝对值大.A．①④B．②③C．①③D．②④【答案】C【解析】①：女性处理多任务平均用时集中在分钟，男性的集中在分钟，①正确；\n②：从图中可以看到男性与女性处理任务所需的时间有交叉，故并不是“所有女性都优于男性”，②错误；③：根据正态分布的性质可知③正确；④：女性和男性处理多任务的用时均为正数，④错误，故选：C.7．高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布，若住同一地方的甲、乙两人分别有分钟与分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（）A．①、②B．②、①C．①、①D．②、②【答案】B【解析】对于甲，若有分钟可走，走第一条线路赶到的概率为，走第二条线路赶到的概率为，，所以甲应走线路②；对于乙，若有分钟可走，走第一条线路的概率为，走第二条线路赶到的概率为，，所以乙应走线路①.故选：B.8．托马斯·贝叶斯(ThomasBayes)在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理)，其中称为的全概率.这个定理在实际生活中有着重要的应用价值.假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正\n常.如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（）A．B．C．D．【答案】C【解析】记一个人得病为事件，检测结果为阳性为事件，则，，，所以，所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为，故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知，随机变量的分布列如图所示，则（）12…………A．B．C．D．【答案】ABD【解析】，A正确.，B正确.，C错误.，D正确.\n故选：ABD10．下列说法正确的是（）A．已知随机变量，，满足，且服从正态分布，则B．已知随机变量服从二项分布，则C．已知随机变量服从正态分布，且，则D．已知一组数据，，，，，的方差是3，则数据，，，，，的标准差是【答案】ACD【解析】，故选项A正确；，故选项B错误；由题可知服从正态分布，由正态分布的对称性知，，，故选项C正确；，，，，，的方差，，，，，，的方差，标准差，故选项D正确.故选:ACD.11．为了解目前宜兴市高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀则下列说法正确的是（）参考数据：随机变量，则，，．\nA．该校学生体育成绩的方差为10B．该校学生体育成绩的期望为70C．该校学生体育成绩的及格率不到D．该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当【答案】BC【解析】由题意知，随机变量，可得期望，方差，所以A错误，B正确；选项C中：由,所以，所以C正确；选项D中，优秀的概率为，不及格的概率为，两者不同，所以D错误.故选：BC.12．以下四个命题中真命题是（）A．为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40B．线性回归直线恒过样本点的中心C．随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为0.1，则在内的概率为0.4D．概率值为零的事件是不可能事件【答案】BC【解析】对A，由，所以分段间隔为20，故A错误；对B，根据线性回归方程的性质可知回归直线恒过样本点的中心，故B正确度；\n对C，由正态分布的性质可得正态分布密度曲线关于对称，故在内取值的概率为，由在内取值的概率为0.1，所以在内的概率为，由对称性可得故在内的概率为0.4，故C正确；对D，对于连续型随机变量的情况下，某特定点被取到的概率为零，但是可能发生，并不是不可能事件，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．某校数学兴趣小组，在研究随机变量的概率分布时，发现离散型随机变量的取值与其概率的函数关系为（为参数），则这个随机变量的数学期望___________.【答案】【解析】由离散型随机变量分布列性质：，得，所以，①，②由①+②得：，所以.故答案为：5.14．某工厂生产的个零件中，一级品个，二级品个，三级品个，按照分层抽样的方法从中抽取容量为的一个样本，若从样本中随机抽取个进行质检，记为抽到的一级品的个数，则___________．【答案】【解析】\n按照分层抽样抽取一级品个，二级品个，三级品个；的可能取值有，，，，，，所以．故答案为：.15．伟大出自平凡，英雄来自人民．在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会名男生和名女生骨干成员中选出人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用表示事件“抽到的2名队长性别相同”，表示事件“抽到的名队长都是男生”，则________【答案】【解析】由题意得,则.故答案为：16．为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围，提高学生的阅读兴趣，某校开展了“朗读者”闯关活动，各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼，第二轮进行诗词背诵的比拼.已知某学生通过第一关的概率为，在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为，则该同学两关均通过的概率为______.【答案】【解析】设该学生通过第一关为事件，通过第二关为事件，在通过第一关的前提下通过第二关的概率为，因为，所以.\n四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．小明同学参加了本次数学质检测验，在做选择题时（每题5分），前9道题均会做，但由于粗心做错一题，后3题不会做，只好每题从四个选项中随机蒙了一个.（1）求小明同学选择题得分不低于50分的概率；（2）当小明同学完成填空题时，考试时间只剩55分钟，此时还需完成6道解答题.若根据小明同学近期几次模拟考时一道解答题平均所需花费时间估计概率（下表所示）一题所需时长/分钟8910概率0.5以小明同学答题时间的期望为依据，预计小明同学这次质检能顺利完成所有题目，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据独立重复事件的概率公式进行求解即可；（2）根据离散型随机变量分布列的性质，结合数学期望的公式进行求解即可.（1）小明同学后3题每题蒙对的概率都为，每题蒙错的概率都为，所以小明同学选择题得分不低于50分的概率为：；（2）由分布列的性质可知：，小明同学答题时间的期望为：，由题意可知：，即.18．为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端创造、智能制造，把我国制造业和实体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平，一些\n中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时都要进行调查统计．某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服务公司的管理软件，并让其提供服务．某一管理软件服务公司有如下两种收费方案：方案一：管理软件服务公司每月收取工厂4800元，对于提供的软件服务每次另外收费200元；方案二：管理软件服务公司每月收取工厂7600元，若每月提供的软件服务不超过15次，不另外收费；若超过15次，超过部分的软件服务每次另外收费500元．（1）设管理软件服务公司月收费为y元，每月提供的软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；（2）该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去20个月提供的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形统计图．依据条形统计图中的数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，该工厂选择哪种方案更合适，请说明理由．【答案】（1）方案一：，方案二：（2）从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适，理由见解析【解析】（1）根据题设直接写出方案一、二的函数解析式即可.（2）由条形图分别确定方案一、二对应月收费为、的可能值，求出各可能值的概率，并得到分布列，进而求、，比较它们的大小即可确定合适方案.（1）由题意知：方案一中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系式为，方案二中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系式为；\n（2）对于方案一，设管理软件服务公司的月收费为元，由条形统计图可得的取值为7400，7500，7800，8000，8200；，，，，；∴的分布列为74007600780080008200P0.10.40.10.20.2故，对于方案二，设管理软件服务公司的月收费为元，由条形统计图可得的取值为7600，8100，8600；，，；∴的分布列为760081008600P0.60.20.2故，综上，，从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适．19．据了解，现在快节奏的工作､不健康的生活方式，使人们患上“三高（高血压､高血脂､高血糖）”的几率不断升高，患病人群也日渐趋向年轻化.为提高辖区居民个人健康管理意识，了解“三高”相关知识，某社区邀请市专家协会主任医师举办“三高”专题健康知识讲座，为辖区居民解答健康疑问.讲座结束后，对参加市民举行网络问卷调查.每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分（满分：分）数据，统计结果如下表所示：组别频数（1）求这人得分的及格率（分及以上为及格）.\n（2）求这人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.（3）社区为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分及格的可以获赠次随机话费，得分不及格的可以获赠次随机话费；②每次赠送的随机话费和对应的概率如下表：赠送的随机话费（单位：元）概率将这人得分的及格率作为参加问卷调查及格的概率，记（单位：元）为某市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望.【答案】（1）、这人得分的及格率为.（2）、求这人得分的平均值为分（3）、的分布列如下：的数学期望为【解析】（1）、这人得分的及格率为：.（2）、求这人得分的平均值为：求这人得分的平均值为：分（3）、根据题意，获赠的话费的可能值为：，，，得元的情况为得分不及格，;得元的情况有一次获得元，或者2次机会都是元，;得元的情况为两次机会，一次获得元一次获得元，;得元的情况为两次机会，两次都获得元，;\n的分布列如下：的数学期望为20．某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：）进行测量，得出这批钢管的直径服从正态分布.（1）当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；（2）如果钢管的直径在之间为合格品（合格品的概率精确到0.01），现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数的分布列和数学期望.（参考数据：若，则，，）【答案】（1）有道理，答案见解析；（2）分布列见解析，.【解析】解：（1）∵，，，，而，∴.此事件为小概率事件，所以该质检员的决定有道理.（2）因为，，，由题意可知钢管直径满足为合格品，所以该批钢管为合格品的概率约为0.95.所以在60根钢管中，合格品约57根，次品约3根，任意挑选3根，则次品数的可能取值为0，1，2，3.，，，\n则次品数的分布列为0123所以.21．调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝、解析、鉴定、研发，周而复始、反复对比对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的调味品让他品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，称这个过程为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设，分别以表示第一次排序为1，2，3，4的四种调味品在第二次排序时的序号，并令，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述（如：若第二次排序的序号为1，3，2，4，则）．（1）假设的排列等可能为1，2，3，4的各种排列，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有，则①假设各轮测试相互独立，试按（1）的结果，计算出现这种情况的概率；②请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何，并说明理由．【答案】（1）分布列见解析，数学期望为5；（2）①；②确实有良好的鉴别能力，证明见解析．【解析】（1）因为在1，2，3，4中奇数与偶数各两个，所以中奇数的个数等于中偶数的个数，即与同为奇数或同为偶数．所以必为偶数．\n又因为X的值非负，且其值不大于8，故X的取值的集合为．列举出1，2，3，4的排列如下：共有种排列，在等可能假定下，可得．故随机变量X的分布列为X02468P数学期望为．（2）①因为．将三轮比赛都有的概率记作P，由于三轮测试相互独立，根据（1）的分布列和独立试验可得．②由于是一个很小的数，表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性非常小，我们认为该调味品品评师确实有良好的鉴别能力，不是随机猜测得出来的．22．现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；（2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：．\n【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）平均每组人，设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，所以，所以该组试验只需第一轮注射的概率为．（2）由（1）得，，所以，设，则，又，所以，因为，所以，又，因为，所以，所以