华东师大版九下数学27.1.3第2课时圆周角定理的推论教案

1．能够理解和掌握圆周角定理的推论，了解圆周角和直径的关系以及圆内接四边形的概念；(重点)2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、情境导入如图，一把直角三角板的顶点A、B在⊙O上，边BC、AC与⊙O交于点D、E，已知∠C=30°，那么此时∠AED的大小是多少呢，它的大小跟三角板的∠B有什么样的关系呢？二、合作探究探究点一：圆周角定理的推论1【类型一】利用90°的圆周角对应的弦是直径进行相关计算或证明如图,点A、B、C、D都在⊙O上,∠ABC=90°,AD=12，CD=5，则⊙O的直径的长是______.解析：连接AC.∵点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径.∴∠ADC=90°.∵AD=12，CD=5，∴AC==13.故⊙O的直径的长是13.方法总结：在圆中，熟练运用圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径是解决此类题目的关键．【类型二】作辅助线构造直角三角形解决问题如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，过A，C，D三点的圆交BA的延长线于点E，连接EC．（1）求证：∠E=90°；（2）若AB=6，BC=10，求AE的长．解析：（1）连接AD.根据等腰三角形“三线合一”的性质知∠ADC=∠ADB=90°，从而知点A，C，D在以AC为直径的圆上，再根据圆周角定理可得答案． （2）证△BAD∽△BCE得，将有关线段长度代入计算可得．解：（1）连接AD.∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC=∠ADB=90°，∴点A，C，D在以AC为直径的圆上.∴∠E=90°.（2）∵BC=10，∴BD=BC=5.∵∠B=∠B，∠ADB=∠E=90°，∴△BAD∽△BCE.∴,即，解得AE=方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆周角．探究点二：圆内接四边形及圆周角定理的推论2【类型一】圆内接四边形性质的运用如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，则∠D＝(　　)A．65°B．120°C．125°D．130°解析：∵∠EBA＝125°，∴∠ABC＝180°－125°＝55°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝180°－55°＝125°.故选C.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质．【类型二】圆内接四边形与圆周角定理的综合如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　)A．120°B．100°C．80°D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质．【类型三】圆内接四边形与垂径定理的综合如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于点E，交⊙O于点D，AF交⊙O于点G.求证：∠FGD＝∠ADC. 解析：利用圆内接四边形的性质求得∠FGD＝∠ACD，然后根据垂径定理推知AB是CD的垂直平分线，则∠ADC＝∠ACD.故∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于点E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.方法总结：圆内接四边形的性质是构建角相等关系的重要依据．【类型四】圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为的中点，AC、BD交于点E.(1)求证：△CBE∽△CAB；(2)若S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值．解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC＝∠BAC，根据两角对应相等得出两三角形相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，得出AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案．(1)证明：∵点C为的中点，∴∠DBC＝∠BAC.在△CBE与△CAB中，∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，∴△CBE∽△CAB；(2)解：如图，连接OC交BD于点F，则OC垂直平分BD.∵S△CBE∶S△CAB＝1∶4，△CBE∽△CAB，∴AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，∴AC＝4EC，∴AE∶EC＝3∶1.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD∥OC，则AD∶FC＝AE∶EC＝3∶1.设FC＝a，则AD＝3a.∵F为BD的中点，O为AB的中点，∴OF是△ABD的中位线，则OF＝AD＝1.5a，∴OC＝OF＋FC＝1.5a＋a＝2.5a，则AB＝2OC＝5a.在Rt△ABD中，sin∠ABD＝＝＝.方法总结：圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理，在圆中解决这方面的问题时考虑相等的角．三、板书设计圆周角和直径的关系及圆内接四边形1.圆周角定理的推论12．圆内接四边形及圆周角定理的推论2本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多 媒体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效果.