贵州省2021届高考数学适应性试卷(理科)(3月份)(含答案解析)
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贵州省2021届高考数学适应性试卷(理科)(3月份)一、单选题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},(max{p,q})表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=( )A.16B.-16C.-16a2-2a-16D.16a2+2a-162.若复数z满足iz=2,其中i为虚数单位,则z的虚部为( )A.-2B.2C.-2iD.2i3.甲、乙两名同学5次体育测试的成绩如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲、x乙,样本标准差分别为sA、sB,则( )A.x甲>x乙,sA>sBB.x甲>x乙,sA<sBC.x甲<x乙,sA>sBD.x甲<x乙,sA<sB4.某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动,要求每名学生选择连续的两天参加体验活动,那么某学生随机选择的连续两天中,有一天是星期二的概率为( )A.15B.14C.13D.125.下列三个数:a=ln32-32,b=lnπ-π,c=ln3-3,大小顺序正确的是( )A.a>c>bB.a>b>cC.a<c<bD.b>a>c6.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1(-5,0),F2(5,0),P为双曲线C的右支上一点,且满足|PF1|-|PF2|=25,则双曲线C的方程为( )A.x25-y220=1B.x220-y25=1C.x225-y220=1D.x220-y225=17.已知直线l,m和平面α,β,有如下三个命题:①若存在平面γ,使α⊥γ,β⊥γ,则α//β;\n②若l,m是两条异面直线,1⊂α,m⊂β,1//β,m//α,则α//β;若l⊥α,m⊥β,1//m,则α//β.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.38.S={1,2,…,2003},A是S的三元子集,满足:A中的所有元素可以组成等差数列.那么,这样的三元子集A的个数是( )A.C20032B.C10012+C10022C.A10012+A10022D.A200339.已知A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),若AC⋅BC=-1,则sin(α+π4)的值为( )A.23B.23C.22D.1210.计算2sin14°⋅cos31°+sin17°等于( )A.22B.-22C.32D.-3211.已知某四棱锥的三视图如图所示,其中俯视图为正方形,则该四棱锥的体积是( )A.43B.83C.163D.32312.命题:∃x∈(0,+∞),2020x+2021sinx<0的否定是( )A.∀x∈(-∞,0),2020x+2021sinx≥0B.∀x∈(0,+∞),2020x+2021sinx≥0C.∃x∈(0,+∞),2020x+2021sinx≥0D.∃x∈(-∞,0),2020x+2021sinx≥0二、单空题(本大题共4小题,共20.0分)13.在平面直角坐标系xOy上的区域D不等式组x-y-2≤0x+2y-4≥02y-3≤0给定.若M(x,y)为D上的动点,点N的坐标为(1,3),则z=OM⋅ON的最小值为______.\n14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)=f(x)+ax3+2,若g(2)=6,则g(-2)=______.15.已知数列{an}的通项公式an=nsinnπ2,其前n项和为Sn,则S2016=______.16.如图,正方形ABCD边长为2,点M在线段DC上从点D运动到点C,若将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABC,则点D在平面ABC内射影所形成轨迹的长度为______.三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)求证:sin3B=3sinB-4sin3B;(2)若A=2B,b=3c,求sin(B-π3)的值.18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需要了解年宣传费x(单位:千元)对年销量y(单位:)和利润z(单位:千元)的影响,对近8年的宣传费xi(i=1,2,…,8)和年销售量yi数据进行了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw i=1n(xi-x)2i=1n(wi-w)2i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(wi-w)(yi-y)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=xi,w=18i=18wi(1)根据散点图判断,y=a+bx,y=c+dx哪一个更适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;\n(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x,根据(2)的结果回答下列问题;①当年宣传费x=90时,年销售量及年利润的预报值是多少?②当年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:β=i=1n(μi-μ)(vi-v)i=1n(μi-μ)2,a=v-βμ.19.如图,四棱锥P-ABCD中,AB=AD=2BC=2,BC//AD,AB⊥AD,△PBD为正三角形,且PA=23.(Ⅰ)证明:直线AB⊥平面PBC;(Ⅱ)若点P到底面ABCD的距离为3,E是线段PD上一点,且PB//平面ACE,求四面体B-ADE的体积.20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为23,F1,F2是椭圆的左右焦点,点P为椭圆上一点,△F1PF2面积的最大值为3,O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程;(2)设过点A(0,-2)的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积为1时,求直线l的方程.21.已知是实数,函数。(Ⅰ)若,求的值及曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求在区间上的最大值。\n22.在极坐标系中,已知曲线C1:ρ=2与曲线C2:ρsin(θ-π4)=2交于不同的两点A,B,求AB的值.23.设p,q是奇数,求证:方程x2+2px+2q=0没有有理根.\n【答案与解析】1.答案:B解析:本题考查二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法,正确理解题意是解题的关键.先作差得到h(x)=f(x)-g(x)=2x-a2-8,分别解出h(x)=0,h(x)>0,h(x)<0,画出图像,利用新定义即可得出H1x,H2x,进而得出A,B即可.解:令h(x)=f(x)-g(x)=x2-2(a+2)x+a2-[-x2+2(a-2)x-a2+8]=2x2-4ax+2a2-8=2(x-a)2-8,①由2x-a2-8=0,解得x=a±2,此时f(x)=g(x);②由h(x)>0,解得x>a+2,或x<a-2,此时f(x)>g(x);③由h(x)<0,解得a-2<x<a+2,此时f(x)<g(x).综上可知:(1)当x≤a-2时,则H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x)=[x-(a+2)]2-4a-4,H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x)=-[x-(a-2)]2-4a+12,(2)当a-2≤x≤a+2时,H1(x)=max{f(x),g(x)}=g(x),H2(x)=min{f(x),g(x)}=f(x);(3)当x≥a+2时,则H1x=max{f(x),g(x)}=f(x),H2x=min{f(x),g(x)}=g(x),故A=g(a+2)=-[(a+2)-(a-2)]2-4a+12=-4a-4,B=g(a-2)=-4a+12,∴A-B=-4a-4-(-4a+12)=-16.故选B.2.答案:A解析:解:∵复数z满足iz=2,\n∴z=2i=2ii2=-2i,故它的虚部为-2,故选:A.利用两个复数代数形式的乘除法以及虚数单位i的幂运算性质,化简复数,可得它的虚部.本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.3.答案:C解析:本题考查借助茎叶图求样本数据的平均数及标准差,属于中档题目.解:由茎叶图可知甲的成绩为72,77,78,86,92,平均成绩为81;乙的成绩为78,82,88,91,95,平均成绩为86.8;则易知x甲<x乙,从茎叶图上可以看出乙的成绩比较集中,分数分布呈单峰,所以乙比甲稳定则甲的标准差大于乙的标准差,即sA>sB.故选C.4.答案:D解析:本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.利用列举法求出基本事件有4个,有一天是星期二包含的基本事件有2个,由此能求出某学生随机选择的连续两天中,有一天是星期二的概率.解:某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动,要求每名学生选择连续的两天参加体验活动,基本事件有4个,分别为:(星期一,星期二),(星期二,星期三),(星期三,星期四),(星期四,星期五),有一天是星期二包含的基本事件有2个,分别为:(星期一,星期二),(星期二,星期三),\n∴某学生随机选择的连续两天中,有一天是星期二的概率为p=24=12.故选:D.5.答案:A解析:解:设f(x)=lnx-x,(x>0),则f'(x)=1x-1=1-xx;故f(x)在(1,+∞)上是减函数,且32<3<π,故ln32-32>ln3-3>lnπ-π,即a>c>b;故选:A.由题意设f(x)=lnx-x(x>0),求导判断函数的单调性,从而比较大小.本题考查了导数的综合应用及利用单调性比较函数值域的大小,属于基础题.6.答案:A解析:解:由题意,知c=5,又P为双曲线C的右支上一点,且满足|PF1|-|PF2|=25,∴2a=25,得a=5.则b2=c2-a2=25-5=20.∴双曲线C的方程为x25-y220=1.故选:A.由题意求得c,结合已知求得a,再由隐含条件求得b,则双曲线方程可求.本题考查双曲线的简单性质,考查了双曲线方程的求法,是基础题.7.答案:C解析:解:直线l,m和平面α,β,①,若存在平面γ,使α⊥γ,β⊥γ,则α//β或α,β相交,故①错误;②,若l,m是两条异面直线,1⊂α,m⊂β,1//β,m//α,平移直线l到l'与m相交,可得l'//β,由面面平行的判定定理可得α//β,故②正确;③,若l⊥α,1//m,则m⊥α,又m⊥β,则α//β,故③正确.故选:C.\n由面面垂直的性质定理和面面的位置关系,可判断①;由面面平行的判定定理可判断②;由线面垂直的性质定理和面面平行的判定,可判断③.本题考查空间线线、线面和面面的位置关系,主要是平行和垂直的判断和性质,考查推理能力,属于基础题.8.答案:B解析:解:1,2,…,2003个数中有1002个奇数,1001个偶数,依题意,A中的三个数成等差数列,可分两类:①3个数中有至少2个奇数:从1002个奇数里边任意选两个,一定找到另外唯一的一个与这两个奇数构成等差数列,共有C10022种方法;②3个数中有至少2个偶数:同理可得,共有C10012种方法;综上所述,共有C10012+C10022个,故选:B.1,2,…,2003个数中有1002个奇数,1001个偶数,依题意,A中的三个数成等差数列,可分两类:①3个数中有至少2个奇数,②3个数中有至少2个偶数,利用组合数公式即可求得答案.本题考查等差数列的概念,突出考查排列组合的应用,考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用,属于难题.9.答案:B解析:本题考查学生掌握平面向量的数量积的坐标运算,灵活运用两角和的正弦函数公式、同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值,是一道基础题.由A,B,C的坐标求出AC和BC,根据平面向量数量积的运算法则及同角三角函数间的基本关系化简AC⋅BC=-1得到sinα+cosα的和,然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出sin(α+π4)的值.解:∵AC=(cosα-3,sinα),BC=(cosα,sinα-3)∴AC⋅BC=(cosα-3)⋅cosα+sinα(sinα-3)=-1得cos2α+sin2α-3(cosα+sinα)=-1∴sinα+cosα=23,故sin(α+π4)=22(sinα+cosα)=22×23=23故选:B.\n10.答案:A解析:本题考查三角函数值的求法,考查两角和差的正弦公式的运用,属于基础题.将17°=31°-14°,运用两角差的正弦公式化简,再运用两角和的正弦公式,注意逆用公式,从而得到结果.解:2sin14°⋅cos31°+sin17°=2sin14°⋅cos31°+sin(31°-14°)=2sin14°cos31°+sin31°cos14°-cos31°sin14°=sin31°cos14°+cos31°sin14°=sin(31°+14°)=sin45°=22.故选A.11.答案:B解析:解:根据三视图转换为几何体为:所求的四棱锥为E-ABCD,所以S四边形ABCD=2⋅5,由于12⋅2⋅2=12⋅5⋅h解得h=45,所以V=13⋅S四边形ABCD⋅h=13⋅25⋅45=83.故选:B.首先利用三视图转换为几何体,进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果.本题考查的知识要点:三视图和几何体之间的转换,几何体的体积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.12.答案:B解析:解:命题是特称命题,则否定是:∀x∈(0,+∞),2020x+2021sinx≥0,\n故选:B.根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可.本题主要考查含有量词的命题的否定,利用特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键,是基础题.13.答案:143解析:解:作出不等式组对应的平面区域如图:∵M(x,y)为D上的动点,点N的坐标为(1,3),∴z=OM⋅ON=x+3y,由z=x+3y得y=-13x+13z,平移直线y=-13x+13z,由图象可知当直线y=-13x+13z经过点A时,y=-13x+13z的截距最小,此时z最小.由x-y-2=0x+2y-4=0,解得x=83y=23,即A(83,23),代入z=x+3y=83+23×3=143.即目标函数z=x+3y最小值为143.故答案为:143.利用向量的数量积运算,求出z=OM⋅ON=x+3y,利用z的几何意义,即可得到结论.本题主要考查线性规划的应用以及数量积的运算,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.14.答案:-2解析:解:∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)=f(x)+ax3+2,若g(2)=f(2)+8a+2=6,则f(2)+8a=4.∴g(-2)=f(-2)-8a+2=-f(2)-8a+2=-4+2=-2,故答案为:-2.由条件求得f(2)+8a=4,再根据g(-2)=-f(2)-8a+2求得结果.本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用,属于基础题.\n15.答案:-1008解析:本题考查数列的求和,考查三角函数的周期性,注意解题方法的积累,属于中档题.结合三角函数的周期性可知a4k-3=4k-3、a4k-2=0、a4k-1=-(4k-1)、a4k=0,进而可知a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k=-2,计算即得结论.解:因为an=nsinnπ2,所以a4k-3=4k-3,a4k-2=0,a4k-1=-(4k-1),a4k=0,所以a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k=-2,又因为504×4=2016,所以S2016=504×(-2)=-1008,故答案为:-1008.16.答案:π2解析:本题考查空间面面垂直的性质定理的运用,以及平面几何圆的定义,考查运算能力,属于中档题.根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知,若连接DK,则DKA=90°,得到K点的轨迹是以AD为直径的圆上一弧,根据正方形的边长得到圆的半径,求得此弧所对的圆心角的弧度数,利用弧长公式求出轨迹长度. 解:由题意,将△ADM沿AM折起,D至D'点,使平面AD'M⊥平面ABC,在平面AD'M内过点D'作D'K⊥AM,K为垂足,由翻折的特征知,连接DK,则∠DKA=90°,故K点的轨迹是以AD为直径的圆上一弧,根据正方形边长为2知圆半径是1,当M与C重合时,AK=2,取O为AD的中点,得到△OAK是直角三角形.故∠KOA=π2,∴∠KOD=π2,其所对的弧长为,故答案为 .17.答案:解:(1)证明:sin3B=sin(2B+B)=sin2BcosB+cos2BsinB=2sinBcosBcosB+(1-2sin2B)sinB=2sinBcos2B+sinB-2sin3B=2sinB(1-sin2B)+sinB-2sin3B=3sinB-4sin3B\n即sin3B=3sinB-4sin3B.得证.(2)∵b=3c,正弦定理bsinB=csinC,∴sinB=3sinC.∵A=2B∴C=π-3B,∴sinC=sin3B∴sinB=3sin3B=9sinB-12sin3B∵sinB>0,∴sinB=63,∵A>B,∴0<B<π2,∴cosB=1-sin2B=33∴sin(B-π3)=sinBcosπ3-cosBsinπ3=63×12-33×32=6-36.解析:(1)把sin3B=sin(2B+B)利用和与差打开,结合二倍角公式即可证明;(2)由A=2B,b=3c,利用正弦定理求出sinB,和cosB,和与差的公式打开sin(B-π3)可得值.本题考查了三角函数的化简能力和计算能力.属于中档题.18.答案:解:(1)根据散点图即可得出判断,y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型;(2)令w=x,先建立y关于w的线性回归方程,由于d∧=i=1n(wi-w)(yi-y)i=1n(wi-w)2=108.61.6=68,c∧=y-d∧x=563-68×6.8=100.6,所以y关于w的线性回归方程为y∧=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为y∧=100.6+68x;(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值为y∧=100.6+6849=576.6,年利润z的预报值为\nz∧=576.6×0.2-49=66.32;②根据(2)的结果可知,年利润z的预报值z∧=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12,当x=13.62=6.8,即x=46.24时z取得最大值,故宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.解析:(1)由散点图成线性分布,即可得出判断;(2)先建立y关于w的线性回归方程,再求y关于x的回归方程;(3)①由(2)计算x=49时年销售量y的预报值和年利润z的预报值,②根据(2)的结果,利用二次函数的图象与性质即可得出x为何值时z取得最大值.本题主要考查了线性回归方程和散点图的应用问题,准确的计算是解题的关键,属中档题.19.答案:(Ⅰ)证明:∵AB⊥AD,且AB=AD=2,∴BD=22,又△PBD为正三角形,所以PB=PD=BD=22,又∵AB=2,PA=23,所以AB⊥PB,又∵AB⊥AD,BC//AD,∴AB⊥BC,PB∩BC=B,所以AB⊥平面PBC.(Ⅱ)解:如图,连接BD,交AC于点O,因为BC//AD,且AD=2BC,所以OD=2OB,连接OE,因为PB//平面ACE,所以PB//OE,则DE=2PE,又因为点P到平面ABCD的距离为3,所以点E到平面ABCD的距离为h=23×3=2,所以VB-ADE=VE-ABD=13⋅S△ABD⋅h=13×(12×2×2)×2=43,即四面体B-ADE的体积为43.解析:(Ⅰ)证明AB⊥PB,AB⊥BC,然后证明AB⊥平面PBC.(Ⅱ)连接BD,交AC于点O,连接OE,求出点E到平面ABCD的距离,利用VB-ADE=VE-ABD,求解四面体B-ADE的体积.本题考查直线与平面垂直的判定,考查了棱柱、棱锥及棱台体积的求法,训练了等积法,是中档题.\n20.答案:解:(1)由题设可得:c=3,△F1PF2的面积Smax=12×2c×b=c×b=3,∴b=1,∵a2=b2+c2=4,故E的方程为x24+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx-2代入x24+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,k2>34时,x1+x2=16k1+4k2,x1⋅x2=121+4k2,从而|PQ|=k2+1|x1-x2|=4k2+1⋅4k2-34k2+1.又点O到直线PQ的距离d=2k2+1,所以△OPQ的面积为S△OPQ=12d⋅|PQ|=44k2-34k2+1=1⇒k2=74,即k=±72且满足Δ>0.所以直线l的方程为y=72x-2或y=-72x-2.解析:(1)利用焦距求解c,通过△F1PF2的面积求出b,然后求解a,得到椭圆方程.(2)设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx-2代入x24+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.利用韦达定理以及弦长公式,点到直线的距离求解三角形的面积,然后求解直线方程.本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力,是中档题.21.答案:(1)(2)解析:试题分析:(Ⅰ)解:,因为,所以.又当时,,,所以曲线在处的切线方程为.\n(Ⅱ)解:令,解得,.当,即时,在上单调递增,从而.当,即时,在上单调递减,从而.当,即时,在上单调递减,在上单调递增,从而综上所述,考点:函数的最值点评:该试题属于常规试题,解题的时候只要审题清晰,表示为数学代数式即可,让那后金额和函数求解最值。属于基础题。22.答案:解:曲线C1:ρ=2即ρ2=4,化为直角坐标方程为x2+y2=4,曲线C2:ρsin(θ-π4)=2展开为22ρ(sinθ-cosθ)=2,化为直角坐标方程为x+y-2=0.圆心到直线的距离d=22=2,∴|AB|=2r2-d2=24-2=22.解析:利用x=ρcosθy=ρsinθ把极坐标方程化为直角坐标方程,再利用弦长公式即可得出.本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交问题、弦长公式、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.23.答案:证明:设存在有理根则x=-2p±4p2-8q2中至少有一个为有理数.∴4p2-8q为有理数即存在有理数a使:4p2-8q=a2.p,q是奇数,a整数可设a=2b,∴p2-2q=b2,\n∴p2-b2=2q∴(p-b)(p+b)=2q若b奇数,则p-b,p+b偶数,则2q=(p-b)(p+b)为4的倍数,q为偶数,矛盾若b偶数,则p-b,p+b奇数,则2q=(p-b)(p+b)为奇数,矛盾,∴假设不成立,∴p,q是奇数,方程x2+2px+2q=0没有有理根.解析:设存在有理根,则x=-2p±4p2-8q2中至少有一个为有理数,可得存在有理数a使:4p2-8q=a2.设a=2b,再分类讨论,得出矛盾,即可证明结论.本题考查反证法,考查学生分析解决问题的能力,正确运用反证法是关键.
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