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高中数学试题-平面方程及其应用(学生版)

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§6平面方程及其应用秒杀知识点知识点1:(空间平面方程)设平面经过空间一点,且法向量,记平面内任一点为,则由得,所以,即,其形式为(不全为0).于是得到:定理1空间中,以为法向量的平面方程为(不全为0)(*).从方程形式可以很快确定该平面的法向量,给我们解决问题带来了很大的方便.一般地,若知道空间中不共线的三点,将它们的坐标代入(*)式,通过解方程组,就能确定平面的方程,从而确定其法向量.知识点2:(点到平面距离公式)定理2设空间中点的坐标为,平面的方程为,则点到平面的距离.证明:设平面内任一点,则,又平面的法向量,且,所以点到平面的距离.上述定理可看作平面内点到直线距离公式在空间的推广,该公式形式简捷,具备对称和谐之美,学生也便于记忆,有很强的操作性.平面方程问题在原人教B版选修2-1P106(探索与研究)专栏中有过介绍,但对它的应用教材并未涉及.本节主要介绍平面方程的一些基本应用.就运算来说虽然不能简化,但就解题思路是一种通性通法,就解题路径讲是一种“秒杀”方式.秒杀思路分析利用平面方程可以解决高考中的立体几何的平行、垂直、二面角、直线与平面成角以及点到平面距离问题.解题思路一般依条件建立空间坐标系,求出点的坐标进而求出相应平面方程,利用平面方程写出法向量或讨论相关问题.【示例1】如图,在正三棱柱中,,.是的沿长线上一点,,过三点的平面交于,交于.(1)当平面平面时,求的值;(2)求证:平面.【秒杀方法】(1)如图,取的中点,的中点,以为原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系.则在平面中,,,,设平面的方程为,则:,于是平面的方程为得平面的一个法向量.在平面中,,,,设平面的方程为,则:于是平面的方程为,得平面的一个法向量为,当平面平面时,,即.(2)由(1)知平面的一个法向量为,又,且,所以,即,所以平面.【示例2】(2017年全国卷Ⅱ理19)如图,四棱锥中,侧面为等边三角形且垂直于底面,,,是的中点.(1)证明:直线平面.(2)点在棱上,且直线与底面所成角为,求二面角的余弦值.【秒杀方法】(1)由已知得,以为坐标原点,方向为轴正方向,以为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,则.设平面的方程为.则于是平面的方程为,得平面的一个法向量.∵,∴平面.(2)由与平面所成角为,可求点.设平面的方程为,则,即,则平面的方程为.可得平面的一个法向量为.又平面的方程为,则法向量为.∴因此二面角的余弦值为【示例3】(原人教B版选修2-1P113例2)如图,已知四棱锥,底面,,,,,是中点,在上,且,求点到平面的距离.【秒杀方法】以为坐标原点,分别以直线,,为轴,轴,轴建立直角坐标系,如图所示,则,,,.设平面的方程为.即即则平面的方程为.即.∴到平面的距离.方法对比【例1】(2017年全国卷Ⅲ理19)如图,四面体中,是正三角形,是直角三角形,,.(1)证明:平面平面;(2)过的平面交于点,若平面把四面体分成体积相等的两部分,求二面角的余弦值.常规方法(1)证明:由题设可得,从而,又是直角三角形,所以.取的中点,连接,,则,.又因为是正三角形,故,所以为二面角的平面角,在中,,又,所以,故.所以平面平面.(2)解:由题设及(1)知,,,两两垂直,以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系﹐则,,,,由题设知,四面体的体积为四面体的体积的,从而到平面的距离为到平面的距离的,即为的中点,得,故,,,设是平面的法向量,则即可取.设是平面的法向量,则同理可取,则.所以二面角的余弦值为.秒杀方法(1)证明:取中点,中点,由已知,又,,,.∴平面,即.∴平面,又平面,故平面平面.(2)建立如图所示的空间直角坐标系.设,,,.由已知为中点,∴.设平面的方程为.即则平面的方程为,即.可得法向量.设平面的方程为.即即,∴平面的方程为.可得法向量.则.所以二面角的余弦值为.【例2】(2014年新课标全国Ⅱ文18)如图,四棱锥中,底面为矩形,平面,为的中点.(1)证明:平面;(2)设,,三棱锥的体积,求到平面的距离.常规方法(1)连接交于点,连接.∵为矩形,∴为中点.又为中点,则,又平面,平面,故平面.(2),由可得.作交于,由题意知平面,则,故平面.又,故到平面的距离为.秒杀方法(1)建立如图所示的空间直角坐标系.设,,,则,,设平面的方程为,则即则平面的方程为,即.可得法向量,又,∵,故平面.(2)由,可得,则,,,设平面的方程为,则即则平面的方程为,即,则到平面的距离.秒杀训练【试题1】已知点,平面经过点,,,求点到平面的距离.【试题2】已知为空间直角坐标系内一定点,过作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于三点,则所有这样的四面体的体积的最小值为_______.【试题3】如图,平面平面,四边形与都是直角梯形,,,.(1)证明:四点共面;(2)略.【试题4】已知三棱柱的侧棱与底面垂直,,,分别是的中点,点在直线上,且.(1)证明:无论取何值,总有;(2)当取何值时,直线与平面所成的角最大?并求该角取最大值时的正切值;(3)是否存在点,使得平面与平面所成的二面角为,若存在,试确定点的位置,若不存在,请说明理由.真题回放【试题1】(2016年江西预赛)如图,在四面体中,为正三角形,,,,则点到面的距离为___________.【试题2】(2017年安徽预赛)设正八面体的棱长为1,则其两个平行平面之间的距离为______.【试题3】(2017年清华大学领军计划试题)已知点集,则的体积是()A.B.C.D.【试题4】(2017年新课标全国卷Ⅰ理18)如图,在四棱锥中,,且.(1)证明平面平面;(2)若,,求二面角的余弦值.【试题5】(2011年江西高考理科题)(1)如图,对于任一给定的四面体,找出依次排列的四个相互平行的平面,使得,且其中每相邻两个平面间的距离都相等;(2)给定依次排列的四个相互平行的平面,其中每相邻两个平面间的距离都为1,若一个正四面体的四个顶点满足,求该正四面体的体积.

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发布时间:2022-07-01 09:00:12 页数:10
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文章作者:138****3419

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