2021年浙江省绍兴市中考数学试卷

2021年浙江省绍兴市中考数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分。请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选均不给分）1．（4分）（2021•绍兴）实数2，0，，中，最小的数是　　A．2B．0C．D．2．（4分）（2021•绍兴）第七次全国人口普查数据显示，绍兴市常住人口约为5270000人，这个数字5270000用科学记数法可表示为　　A．B．C．D．3．（4分）（2021•绍兴）如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是　　A．B．C．D．4．（4分）（2021•绍兴）在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为　　A．B．C．D．5．（4分）（2021•绍兴）如图，正方形内接于，点在上，则的度数为　　第41页（共41页）\nA．B．C．D．6．（4分）（2021•绍兴）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是　　A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值67．（4分）（2021•绍兴）如图，树在路灯的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，则树的高度长是　　A．B．C．D．8．（4分）（2021•绍兴）如图，菱形中，，点从点出发，沿折线方向移动，移动到点停止．在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是　　A．直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形第41页（共41页）\nB．直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形C．直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形D．等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形9．（4分）（2021•绍兴）如图，中，，，点是边的中点，以为底边在其右侧作等腰三角形，使，连结，则的值为　　A．B．C．D．210．（4分）（2021•绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是　　A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形第41页（共41页）\nC．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）（2021•绍兴）分解因式：　　．12．（5分）（2021•绍兴）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有　　两．13．（5分）（2021•绍兴）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形的对角线上，时钟中心在矩形对角线的交点上．若，则长为　　（结果保留根号）．14．（5分）（2021•绍兴）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连结，则的度数是　　．15．（5分）（2021•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，顶点，在第一象限，顶点的坐标，．反比例函数（常数，的图象恰好经过正方形的两个顶点，则的值是　　．第41页（共41页）\n16．（5分）（2021•绍兴）已知与在同一平面内，点，不重合，，，，则长为　　．三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程17．（8分）（2021•绍兴）（1）计算：．（2）解不等式：．18．（8分）（2021•绍兴）绍兴莲花落，又称“莲花乐”，“莲花闹”，是绍兴一带的曲艺．为了解学生对该曲种的熟悉度，某校设置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四个选项，随机抽查了部分学生进行问卷调查，要求每名学生只选其中的一项，并将抽查结果绘制成不完整的统计图．第41页（共41页）\n根据图中信息，解答下列问题：（1）本次接受问卷调查的学生有多少人？并求图2中“了解”的扇形圆心角的度数；（2）全校共有1200名学生，请你估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有多少人．19．（8分）（2021•绍兴）Ⅰ号无人机从海拔处出发，以的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔处同时出发，以的速度匀速上升，经过两架无人机位于同一海拔高度．无人机海拔高度与时间的关系如图．两架无人机都上升了．（1）求的值及Ⅱ号无人机海拔高度与时间的关系式；（2）问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米．第41页（共41页）\n20．（8分）（2021•绍兴）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为，底座固定，高为，连杆长度为，手臂长度为．点，是转动点，且，与始终在同一平面内．（1）转动连杆，手臂，使，，如图2，求手臂端点离操作台的高度的长（精确到，参考数据：，．（2）物品在操作台上，距离底座端的点处，转动连杆，手臂，手臂端点能否碰到点？请说明理由．21．（10分）（2021•绍兴）如图，在中，，点，分别在边，上，，连结，．（1）若，求，的度数；（2）写出与之间的关系，并说明理由．第41页（共41页）\n22．（12分）（2021•绍兴）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体是抛物线的一部分，抛物线的顶点在轴上，杯口直径，且点，关于轴对称，杯脚高，杯高，杯底在轴上．（1）求杯体所在抛物线的函数表达式（不必写出的取值范围）；（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长．23．（12分）（2021•绍兴）问题：如图，在中，，，，的平分线，分别与直线交于点，，求的长．答案：．探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．①当点与点重合时，求的长；第41页（共41页）\n②当点与点重合时，求的长．（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点，，，相邻两点间的距离相等时，求的值．24．（14分）（2021•绍兴）如图，矩形中，，点是边的中点，点是对角线上一动点，．连结，作点关于直线的对称点．（1）若，求的长；（2）若，求的长；（3）直线交于点，若是锐角三角形，求长的取值范围．第41页（共41页）\n2021年浙江省绍兴市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分。请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选均不给分）1．（4分）（2021•绍兴）实数2，0，，中，最小的数是　　A．2B．0C．D．【分析】根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，即可判断出最小的数．【解答】解：，最小的数是，故选：．【点评】本题考查了实数的比较大小，注意负数比较大小，绝对值大的反而小．2．（4分）（2021•绍兴）第七次全国人口普查数据显示，绍兴市常住人口约为5270000人，这个数字5270000用科学记数法可表示为　　A．B．C．D．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：．故选：．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．3．（4分）（2021•绍兴）如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是　　第41页（共41页）\nA．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左边一个小正方形，故选：．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．4．（4分）（2021•绍兴）在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为　　A．B．C．D．【分析】用白球的数量除以所有球的数量即可求得白球的概率．【解答】解：袋子中共有6个小球，其中白球有1个，摸出一个球是白球的概率是，故选：．【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）．5．（4分）（2021•绍兴）如图，正方形内接于，点在上，则的度数为　　第41页（共41页）\nA．B．C．D．【分析】根据正方形的性质得到弧所对的圆心角为，则，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：连接、，如图，正方形内接于，弧所对的圆心角为，，．故选：．【点评】本题考查了圆周角定理和正方形的性质，确定弧所对的圆心角为，是本题解题的关键．6．（4分）（2021•绍兴）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是　　A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为第41页（共41页）\n6，然后即可判断哪个选项是正确的．【解答】解：二次函数，，该函数图象开口向上，有最小值，当取得最小值6，故选：．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，会求函数的最值．7．（4分）（2021•绍兴）如图，树在路灯的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，则树的高度长是　　A．B．C．D．【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：，，，，，故选：．第41页（共41页）\n【点评】本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．8．（4分）（2021•绍兴）如图，菱形中，，点从点出发，沿折线方向移动，移动到点停止．在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是　　A．直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形B．直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形C．直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形D．等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形【分析】把点从点出发，沿折线方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可．【解答】解：，故菱形由两个等边三角形组合而成，当时，此时为等腰三角形；当点到达点处时，此时为等边三角形；当点在上且位于的中垂线时，则为等腰三角形；当点与点重合时，此时为等腰三角形，故选：．【点评】本题主要考查了菱形的性质，涉及到等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，题目有一定的综合性，难度适中．第41页（共41页）\n9．（4分）（2021•绍兴）如图，中，，，点是边的中点，以为底边在其右侧作等腰三角形，使，连结，则的值为　　A．B．C．D．2【分析】设交于，过点作于．首先证明，再证明，可得结论．【解答】解：设交于，过点作于．，，，，，，，第41页（共41页）\n，，，，，，，，，，，，，，故选：．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是证明，属于中考常考题型．10．（4分）（2021•绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是　　第41页（共41页）\nA．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形【分析】根据题意画出图形，从图形中找到出现的菱形的个数即可．【解答】解：如图所示，用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，第41页（共41页）\n用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形，故选：．【点评】本题主要考查菱形在实际生活中的应用，解题的关键是根据题意画出图形并熟练掌握菱形的判定．二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）（2021•绍兴）分解因式：　　．【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键．（1）三项式；（2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式；（3）另一项为这两个数（整式）的积的2倍（或积的2倍的相反数）．12．（5分）（2021•绍兴）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有　46　两．【分析】通过设两个未知数，可以列出银子总数相等的二元一次方程组，本题得以解决．【解答】解：设有人，银子两，第41页（共41页）\n由题意得：，解得，故答案为46．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．13．（5分）（2021•绍兴）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形的对角线上，时钟中心在矩形对角线的交点上．若，则长为　　（结果保留根号）．【分析】根据题意即可求得，即可求得，由矩形的性质结合平行线的性质可求得，利用含角的直角三角形的性质可求解．【解答】解：过点作，，垂足分别为，，由题意知，，，，在矩形中，，，，第41页（共41页）\n，，故答案为．【点评】本题考查的矩形的性质、钟面角，含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．14．（5分）（2021•绍兴）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连结，则的度数是　或　．【分析】根据等腰三角形的性质可以得到各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出的度数即可．【解答】解：如右图所示，当点在点的左侧时，，，，，，，；第41页（共41页）\n当点在点的右侧时，，，，，，，；由上可得，的度数是或，故答案为：或．【点评】本题考查等腰三角形的性质、圆的性质，解答本题的关键是画出合适的辅助线，利用分类讨论的方法解答．15．（5分）（2021•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，顶点，在第一象限，顶点的坐标，．反比例函数（常数，的图象恰好经过正方形的两个顶点，则的值是　5或22.5　．第41页（共41页）\n【分析】作轴于，轴于，过点作轴的平行线，交于，交于，通过证得三角形全等表示出、的坐标，然后根据反比例函数系数即可求得结果．【解答】解：作轴于，轴于，过点作轴的平行线，交于，交于，正方形中，，，，，在和中，，，，，顶点的坐标，．，，第41页（共41页）\n同理：，，，，，设，，，，当反比例函数（常数，的图象经过点、时，则；当反比例函数（常数，的图象经过点、时，则，解得，，故答案为5或22.5．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键．16．（5分）（2021•绍兴）已知与在同一平面内，点，不重合，，，，则长为　或4或　．第41页（共41页）\n【分析】分,在的同侧或异侧两种情形，分别求解，注意共有四种情形．【解答】解：如图，当,同侧时，过点作于．在中，,,，，，,，，是等腰直角三角形，，当,异侧时，过作于，是等边三角形，，,，在△中，，是等边三角形，第41页（共41页）\n，的长为或4或．故答案为：或4或．【点评】本题考查直角三角形角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程17．（8分）（2021•绍兴）（1）计算：．（2）解不等式：．【分析】（1）原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用开平方法则化简，最后一项利用零指数幂的意义化简，计算即可得到结果；（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1可得．【解答】解：（1）原式；（2），去括号得：，移项得：，合并同类项得：，第41页（共41页）\n解得：．【点评】本题主要考查实数的运算与解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．18．（8分）（2021•绍兴）绍兴莲花落，又称“莲花乐”，“莲花闹”，是绍兴一带的曲艺．为了解学生对该曲种的熟悉度，某校设置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四个选项，随机抽查了部分学生进行问卷调查，要求每名学生只选其中的一项，并将抽查结果绘制成不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）本次接受问卷调查的学生有多少人？并求图2中“了解”的扇形圆心角的度数；（2）全校共有1200名学生，请你估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有多少人．【分析】（1）从两个统计图中可知，在抽查人数中，“非常了解”的人数为30人，占调查人数的，可求出接受问卷调查的学生数，进而求出“了解”所占比例，即可得出“了解”的扇形圆心角的度数；（2）样本中“非常了解”、“了解”的占调查人数的，进而估计总体中“非常了解”和“了解”的人数．第41页（共41页）\n【解答】解：（1）接受问卷调查的学生数：（人，“了解”的扇形圆心角度数为；答：本次接受问卷调查的学生有200人，图2中“了解”的扇形圆心角的度数为；（3）（人，答：估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有600人．【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图的意义，从统计图中获取数量和数量之间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．19．（8分）（2021•绍兴）Ⅰ号无人机从海拔处出发，以的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔处同时出发，以的速度匀速上升，经过两架无人机位于同一海拔高度．无人机海拔高度与时间的关系如图．两架无人机都上升了．（1）求的值及Ⅱ号无人机海拔高度与时间的关系式；（2）问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米．【分析】（1）由题意得：；再用待定系数法求出函数表达式即可；（2）由题意得：，即可求解．第41页（共41页）\n【解答】解：（1），设函数的表达式为，将、代入上式得，解得，故函数表达式为；（2）由题意得：，解得，故无人机上升，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米．【点评】本题考查的是一次函数的应用，根据题意确定和的表达式是本题解题的关键．20．（8分）（2021•绍兴）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为，底座固定，高为，连杆长度为，手臂长度为．点，是转动点，且，与始终在同一平面内．（1）转动连杆，手臂，使，，如图2，求手臂端点离操作台的高度的长（精确到，参考数据：，．（2）物品在操作台上，距离底座端的点处，转动连杆，手臂，手臂端点能否碰到点？请说明理由．第41页（共41页）\n【分析】（1）过点作于点，过点作于点，在中，，再根据可得答案；（2）当，，共线时，根据勾股定理可得的长，进而可进行判断．【解答】解：（1）过点作于点，过点作于点，如图：，，在中，，，．（2）当，，共线时，如图：第41页（共41页）\n，，在中，，．手臂端点能碰到点．【点评】本题考查解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线构造直角三角形是解题关键．21．（10分）（2021•绍兴）如图，在中，，点，分别在边，上，，连结，．（1）若，求，的度数；（2）写出与之间的关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角定理得到，推出是等边三角形，得到，于是得到结论；（2）设，，由于，根据等腰三角形的性质得到，求得，推出，于是得到结论．第41页（共41页）\n【解答】解：（1），，，，，，，是等边三角形，，；（2）与之间的关系：，理由：设，，在中，，，，，，，，在中，，，，第41页（共41页）\n，．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．22．（12分）（2021•绍兴）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体是抛物线的一部分，抛物线的顶点在轴上，杯口直径，且点，关于轴对称，杯脚高，杯高，杯底在轴上．（1）求杯体所在抛物线的函数表达式（不必写出的取值范围）；（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长．【分析】（1）运用待定系数法，由题意设顶点式，进而求得答案；（2）由题意知：，进而求得，再由题意得抛物线过，，，，从而列方程求出和，进而求得的长．【解答】解：（1），第41页（共41页）\n顶点，设抛物线的函数表达式为，，，，，，将代入，得：，解得：，该抛物线的函数表达式为；（2）由题意得：，，，，，又杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，设，，，，当时，，解得：，，，第41页（共41页）\n杯口直径的长为．【点评】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解题的关键．23．（12分）（2021•绍兴）问题：如图，在中，，，，的平分线，分别与直线交于点，，求的长．答案：．探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．①当点与点重合时，求的长；②当点与点重合时，求的长．（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点，，，相邻两点间的距离相等时，求的值．【分析】（1）①证，得，同理，即可求解；②由题意得，再由，即可求解；（2）分三种情况，由（1）的结果结合点，，，相邻两点间的距离相等，分别求解即可．【解答】解：（1）①如图1所示：第41页（共41页）\n四边形是平行四边形，，，，，平分，，，，同理：，点与点重合，；②如图2所示：点与点重合，，，点与点重合，；（2）分三种情况：①如图3所示：第41页（共41页）\n同（1）得：，点，，，相邻两点间的距离相等，，；②如图4所示：同（1）得：，，；③如图5所示：同（1）得：，，；第41页（共41页）\n综上所述，的值为或或2．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．24．（14分）（2021•绍兴）如图，矩形中，，点是边的中点，点是对角线上一动点，．连结，作点关于直线的对称点．（1）若，求的长；（2）若，求的长；（3）直线交于点，若是锐角三角形，求长的取值范围．【分析】（1）由题意得点在上，根据含直角三角形的性质即可求解；（2）由对称可得是等腰三角形，分两种情况画出图形，根据含直角三角形的性质即可求解；（3）分两种情况画出图形，根据中点的定义以及直角三角形的性质分别求出、、的值，即可得出的值，结合（2）中求得的的值即可得出答案．【解答】解：（1）点、点关于直线的对称，，点在上，四边形是矩形，第41页（共41页）\n，，．，点是边的中点，，，；（2）①如图2，，．，由对称可得，平分，，是等腰三角形，，，．，，，第41页（共41页）\n，；②如图3，，．，由对称可得，，，平分，，，是等腰三角形，，，，．，，；的长为2或6；第41页（共41页）\n（3）由（2）得，当时，（如图或6（如图，当时，第一种情况，如图4，平分，，过点作于点，设，则，，，，，；第二种情况，如图5，第41页（共41页）\n平分，，过点作于点，设，则，，，，，，最大值为8，．综上，长的取值范围为或．【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、对称的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．第41页（共41页）