四川省泸州市2020年中考数学真题（解析版）

泸州市二○二○年初中学业水平考试数学试题全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分．考试时间共120分钟．注意事项：1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回．2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试题上作答无效．第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.2的倒数是（  ）A.2B.C.D.-2【答案】B【解析】【分析】倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，由此即可得出答案.【详解】∵2×=1，∴2的倒数是，故选B.【点睛】本题考查了倒数的定义，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键.2.将867000用科学记数法表示为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a第22页共22页\n时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：867000=8.67×105，故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.如下图所示的几何体的主视图是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析】根据主视图的意义和几何体得出即可．【详解】解：几何体的主视图是：故选：B．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图的应用，能理解三视图的意义是解此题的关键．4.在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度，得到的对应点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据横坐标，右移加，左移减可得点A（-2，3）向右平移4个单位长度后得到的对应点A′的坐标为（-2+4，3）．第22页共22页\n【详解】解：点A（-2，3）向右平移4个单位长度后得到的对应点A′的坐标为（-2+4，3），即（2，3），故选：C．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化—平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．5.下列正多边形中，不是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项正确；C、是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6.下列各式运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分别根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则逐一判断即可．【详解】解：A、，故选项A不合题意；B、，故选项B不合题意；C、，故选项C不合题意；D、，正确，故选项D符合题意．故选：D．第22页共22页\n【点睛】本题主要考查了合并同类项的方法，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．7.如图，中，，．则的度数为（）A.100°B.90°C.80°D.70°【答案】C【解析】【分析】首先根据弧、弦、圆心角的关系得到AB=AC，再根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，然后根据圆周角定理可得∠BOC=2∠A，进而可得答案．详解】解：∵，∴AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°-70°×2=40°，∵圆O是△ABC的外接圆，∴∠BOC=2∠A=40°×2=80°，故选C．【点睛】此题主要考查了弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，由圆周角定理得出结果是解决问题的关键．8.某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是（）A.1.2和1.5B.1.2和4C.1.25和1.5D.1.25和4【答案】A【解析】【分析】根据平均数和众数的定义即可得出答案．第22页共22页\n【详解】解：在这一组数据中1.5是出现次数最多的，故众数是1.5，平均数==1.2，故选：A．【点睛】本题考查了众数及平均数的知识，掌握概念和算法是解题关键.9.下列命题是假命题的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.矩形的对角线互相垂直C.菱形的对角线互相垂直平分D.正方形的对角线互相垂直平分且相等【答案】B【解析】【分析】利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质解题即可.【详解】解：A、正确，平行四边形的对角线互相平分，故选项不符合；B、错误，应该是矩形的对角线相等且互相平分，故选项符合；C、正确，菱形的对角线互相垂直且平分，故选项不符合；D、正确，正方形的对角线相等且互相垂直平分，故选项不符合；故选：B．【点睛】本题考查命题与定理、特殊四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质，属于中考常考题型．10.已知关于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的所有个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即可解题．【详解】解：去分母，得：m+2(x-1)=3，移项、合并，解得：x=，∵分式方程的解为非负数，∴≥0且≠1，解得：m≤5且m≠3，第22页共22页\n∵m为正整数∴m=1，2，4，5，共4个，故选：B．【点睛】本题考查了分式方程解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解．11.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.【详解】解：过点A作AF⊥BC，∵AB=AC，∴BF=BC=2，在Rt,AF=，∵D是边的两个“黄金分割”点，∴即，解得CD=，第22页共22页\n同理BE=，∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，∴DE=CD-CE=4-8，∴S△ABC===，故选：A.【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。12.已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（）A.B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图像经过，，可得到二次函数的对称轴x=，又根据对称轴公式可得x=b，由此可得到b与c的数量关系，然后由该二次函数的图象与x轴有公共点列出不等式解答即可【详解】解：∵二次函数的图像经过，，∴对称轴x=，即x=，∵对称轴x=b，∴=b，化简得c=b-1，∵该二次函数的图象与x轴有公共点，∴△=第22页共22页\n===∴b=2，c=1，∴b+c=3，故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，包括图像上点的坐标特征、对称轴，利用抛物线与x轴交点的情况列出不等式，求得b，c的值.第Ⅱ卷（非选择题共84分）注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13.函数中，自变量的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.【详解】依题意，得，解得：，故答案为．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．14.若与是同类项，则a的值是___________．【答案】5【解析】【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出a的值．第22页共22页\n【详解】解：∵与是同类项，∴a-1=4，∴a=5，故答案为：5.【点睛】本题考查了同类项定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．15.已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是_________．【答案】2【解析】【分析】由已知结合根与系数的关系可得：=4，=-7，=，代入可得答案.【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，∴=4，=-7，∴===2，故答案为：2．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，难度不大，属于基础题16.如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为_________．【答案】第22页共22页\n【解析】【分析】过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H，证明△BEG∽△BAF，求出EG的长，再证明△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，得出，，再求出BG=GF=BF=，从而求出NG和MG，可得MN的长.【详解】解：过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H，由题意可知：EH∥BC，∴△BEG∽△BAF，∴，∵AB=4，BC=6，点E为AB中点，F为AD中点，∴BE=2，AF=3，∴，∴EG=，∵EH∥BC，∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，∴，,∴，，即，，∴，，∵E为AB中点，EH∥BC，∴G为BF中点，∴BG=GF=BF=，∴NG==，MG=BG=，∴MN=NG+MG=，故答案为：.第22页共22页\n【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是添加辅助线EH，得到相似三角形.三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．17.计算：．【答案】8【解析】【分析】根据绝对值的化简、零指数幂、特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的计算方法运算.【详解】解：原式=5-1++3=5-1+1+3=8【点睛】本题主要考查了实数的运算．用到零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值的计算方法．这些是基础知识要熟练掌握．18.如图，AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：BC＝BD．【答案】见解析【解析】【分析】由AB平分∠CAD可知∠BAC＝∠BAD，再根据AC＝AD，AB＝AB可判断出△ABC≌△ABD，从而得到BC＝BD．【详解】证明：∵AB平分∠CAD，第22页共22页\n∴∠BAC＝∠BAD．∵AC＝AD，AB＝AB，∴△ABC≌△ABD（SAS）．∴BC＝BD．19.化简：．【答案】【解析】【分析】首先进行通分运算，进而利用因式分解变形，再约分化简分式.【详解】解：原式===【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确利用分解因式再化简分式是解题关键．四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．20.某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了n辆该型号汽车耗油所行使的路程作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：（1）求n的值，并补全频数分布直方图；（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车，试估计耗油所行使的路程低于的该型号汽车的辆数；（3）从被抽取的耗油所行使路程在，这两个范围内的4第22页共22页\n辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．【答案】（1）n=40，图见解析；（2）150辆；（3）【解析】【分析】（1）根据D所占的百分比以及频数，即可得到n的值；（2）根据A，B所占的百分比之和乘上该汽车公司有600辆该型号汽车的总数，即可得到结果．（3）从被抽取的耗油所行使路程在的有2辆，记为A，B，行使路程在的有2辆，记为1，2，任意抽取2辆，利用列举法即可求出抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．【详解】解：（1）n=12÷30%=40（辆），B：40-2-16-12-2=8，补全频数分布直方图如下：（2）=150（辆），答：耗油所行使的路程低于的该型号汽车的有150辆；（3）从被抽取的耗油所行使路程在的有2辆，记为A，B，行使路程在的有2辆，记为1，2，任意抽取2辆的可能结果有6种，分别为：（A，1），（A，2），（A，B），（B，1），（B，2），（1，2）其中抽取的2辆汽车来自同一范围的的结果有2种，所以抽取的2辆汽车来自同一范围的的概率P==.【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图以及列举法求概率的运用，解题时注意：通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．21.某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30第22页共22页\n元，乙种奖品每件20元．（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？（2）若购买乙种奖品件数不超过甲种奖品件数的3倍，如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？【答案】（1）甲购买了20件，乙购买了10件；（2）购买甲奖品8件，乙奖品22件，总花费最少【解析】【分析】（1）设甲购买了x件乙购买了y件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了800元列方程组，然后解方程组计算即可；（2）设甲种奖品购买了a件，乙种奖品购买了（30-a）件，利用购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，然后列不等式后确定x的范围即可得到该校的购买方案．【详解】解：（1）设甲购买了x件，乙购买了y件，，解得，答：甲购买了20件，乙购买了10件；（2）设购买甲奖品为a件．则乙奖品为（30-a）件，根据题意可得：30-a≤3a，解得a≥，又∵甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元，总花费=30a+20（30-a）=10a+600，总花费随a的增大而增大∴当a=8时，总花费最少，答：购买甲奖品8件，乙奖品22件，总费用最少.【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式以及一次函数的应用，解题的关键是找出等量关系.五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．22.如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点．且点A的坐标为．第22页共22页\n（1）求该一次函数的解析式；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）9【解析】【分析】（1）由点A在反比例函数图像上，求出a的值得到点A坐标，代入一次函数解析式即可；（2）联立两个函数的解析式，即可求得点B的坐标，然后由S△AOB=S△AOC+S△BOC求得答案.【详解】解：∵点A在反比例函数上，∴，解得a=2，∴A点坐标，∵点A在一次函数上，∴，解得b=3，∴该一次函数的解析式为；（2）设直线与x轴交于点C，令，解得x=-2，∴一次函数与x轴的交点坐标C（-2，0），第22页共22页\n∵，解得或，∴B（-4，-3），∴S△AOB=S△AOC+S△BOC，====9【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、点与函数的关系以及三角形的面积，难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.23.如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离，在河的岸边与平行的直线上取两点A，B，测得，，量得长为70米．求C，D两点间的距离（参考数据：，，）．【答案】40+10【解析】【分析】过点C作CH⊥AB，垂足为点H，过点D作DG⊥AB，垂足为点G，,先求出CH的长，然后在Rt△BCH中求得BH的长，则CD=GH=BH+BG即可求出【详解】解：过点C作CH⊥AB，垂足为点H，过点D作DG⊥AB，垂足为点G，第22页共22页\n在△ACH中，tan∠A＝，得AH=CH，同理可得BH=CH，∵AH+BH=AB，∴CH+CH=70．解得CH＝30，在△BCH中，tan∠ABC=，即，解得BH=40，又∵DG=CH=30，同理可得BG=10，∴CD=GH=BH+BG=40+10（米），答：C、D两点之间的距离约等于40+10米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．24.如图，是的直径，点D在上，的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段上的点，过点E的弦于点H．（1）求证：；（2）已知，，且，求的长．第22页共22页\n【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据题意得到∠ODA=∠OAD，∠ABC=90°，再利用三角形内角和得到∠C=∠AGD；（2）连接BD，求出BD的长，证明△BOD≌AOG，得到AG=BD=，再证明△AEG≌△DCB，得到EG=BC=6，AE=CD=4，再利用面积法求出AH，再求出HG，最后用EF=FG-EG求出结果．【详解】解：（1）∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∵BC和AB相切，∴∠ABC=90°，∵DG为圆O直径，∴∠DAG=90°，∵∠C=180°-∠CAB-∠ABC，∠AGD=180°-∠DAG-∠ADO，∴∠C=∠AGD；（2）连接BD，∵AB为直径，∴∠ADB=∠CDB=90°，∵，，∴BD=，∵OA=OB=OD=OG，∠AOG=∠BOD，∴△BOD≌AOG（SAS），∴AG=BD=，∵FG⊥AB，BC⊥AB，∴FG∥BC，∴∠AEG=∠C，∵∠EAG=∠CDB=90°，AG=BD，∴△AEG≌△DCB（AAS），∴EG=BC=6，AE=CD=4，∵AH⊥FG，AB为直径，第22页共22页\n∴AH=AE×AG÷EG=，FH=GH，∴FH=GH==，∴FG=2HG=，∴EF=FG-EG=-6=．【点睛】本题考查了切线的性质和全等三角形的判定和性质，属于圆的综合问题，熟练掌握定理的运用是解题的关键．25.如图，已知抛物线经过，，三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段于点E，若．①求直线的解析式；②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧．点R是直线上的动点，若是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）①；②（2，4）或（，）第22页共22页\n【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）①过点E作EG⊥x轴，垂足为G，设直线BD的表达式为：y=k（x-4），求出直线AC的表达式，和BD联立，求出点E坐标，证明△BDO∽△BEG，得到，根据比例关系求出k值即可；②根据题意分点R在y轴右侧时，点R在y轴左侧时两种情况，利用等腰直角三角形的性质求解即可.【详解】解：（1）∵抛物线经过点，，，代入，∴，解得：，∴抛物线表达式为：；（2）①过点E作EG⊥x轴，垂足为G，∵B（4，0），设直线BD的表达式为：y=k（x-4），设AC表达式为：y=mx+n，将A和C代入，得：，解得：，∴直线AC的表达式为：y=2x+4，联立：，解得：，∴E（，），∴G（，0），∴BG=，∵EG⊥x轴，第22页共22页\n∴△BDO∽△BEG，∴,∵，∴，∴，解得：k=，∴直线BD的表达式为：；②由题意：设P（s，），1＜s＜4，∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠PQR=90°，PQ=RQ，当点R在y轴右侧时，如图，分别过点P，R作l的垂线，垂足为M和N，∵∠PQR=90°，∴∠PQM+∠RQN=90°，∵∠MPQ+∠PQM=90°，∴∠RQN=∠MPQ，又PQ=RQ，∠PMQ=∠RNQ=90°，∴△PMQ≌△QNR，∴MQ=NR，PM=QN，∵Q在抛物线对称轴l上，纵坐标为1，∴Q（1，1），∴QN=PM=1，MQ=RN，则点P的横坐标为2，代入抛物线得：y=4，第22页共22页\n∴P（2，4）；当点R在y轴左侧时，如图，分别过点P，R作l的垂线，垂足为M和N，同理：△PMQ≌△QNR，∴NR=QM，NQ=PM，设R（t，），∴RN==QM，NQ=1-t=PM，∴P（，2-t），代入抛物线，解得：t=或（舍），∴点P的坐标为（，），综上：点P的坐标为（2，4）或（，）.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数，难度较大，解题时要理解题意，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形.第22页共22页