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2019-2020学年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(08)
2019-2020学年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(08)
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云南省玉溪市高考数学模拟试卷(08) 一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(5分)全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,5},集合B={3,4},则(∁UA)∩B=( )A.{4}B.{3,4}C.{2,3,4}D.{3}2.(5分)复数在复平面上对应的点的坐标是( )A.(1,1)B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣1)D.(1,﹣1)3.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d等于( )A.1B.C.2D.34.(5分)(理)的展开式中的常数项为( )A.﹣24B.﹣6C.6D.245.(5分)函数f(x)=log2x﹣的零点所在区间为( )A.B.C.(1,2)D.(2,3)6.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的S=( )A.5100B.2550C.5050D.1007.(5分)若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示,则其表面积为( )第18页共18页,A.6+2B.6+C.6+4D.108.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=,则S△ABC=( )A.B.C.D.29.(5分)下列命题:①函数f(x)=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π;②已知向量,,,则的充要条件是λ=﹣1;③若,则a=e;④圆x2+y2=4关于直线ax+by+c=0对称的充分不必要条件是c=0.其中所有的真命题是( )A.①②B.③④C.②④D.①③10.(5分)已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点,点P是该椭圆上的一个动点,那么的最小值是( )A.0B.1C.2D. 二.填空题(本题共4小题,满分共25分)11.(5分)200辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,则时速不低于60km/h的汽车数量为 辆.第18页共18页,12.(5分)观察下列式子:,,,…,根据以上式子可以猜想: .13.(5分)点P(x,y)在不等式组表示的平面区域内,则z=x+y的最大值为 .14.(5分)将一颗骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 . [几何证明选做题]15.(5分)如图,直线PC与圆O相切于点C,割线PAB经过圆心O,弦CD⊥AB于点E,PC=4,PB=8,则CE= . [坐标系与参数方程选做题]16.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为 . [不等式选做题]17.若不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立,则m的取值范围为 . 三、解答题:(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(12分)设函数f(x)=2sinxcosx﹣cos2x+1第18页共18页,(1)求f()(2)求f(x)的最大值和最小正周期.19.(12分)如图,在四棱锥S﹣ABCD中,SD⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,且SD=AD,E是SA的中点.(1)求证:直线BA⊥平面SAD;(2)求直线SA与平面BED的夹角的正弦值.20.(12分)已知:等比数列{an}的首项为a1,公比为q(1)写出数列{an}的前n项和Sn的公式;(2)给出(1)中的公式的证明.21.(12分)某学校数学兴趣小组有10名学生,其中有4名女同学;英语兴趣小组有5名学生,其中有3名女学生,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动.(1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数;(2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率;(3)记ξ表示抽取的3名学生中男学生数,求ξ的分布列及数学期望.22.(13分)已知函数f(x)=xlnx.(1)设函数g(x)=f(x)﹣a(x﹣1),其中a∈R,求函数g(x)的单调区间;(2)若直线l过点(0,﹣1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程.23.(14分)如图,已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴上,抛物线上的点A到F的距离为2,且A的横坐标为1.过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE,且AD、AE的斜率满足kAD•kAE=2.(1)求抛物线C的方程;第18页共18页,(2)直线DE是否过某定点?若过某定点,请求出该点坐标;若不过某定点,请说明理由. 第18页共18页,云南省玉溪市高考数学模拟试卷(08)参考答案与试题解析 一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(5分)全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,5},集合B={3,4},则(∁UA)∩B=( )A.{4}B.{3,4}C.{2,3,4}D.{3}【解答】解:根据题意,全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,5},则∁UA={2,4},又由集合B={3,4},则(CUA)∩B={4},故选A. 2.(5分)复数在复平面上对应的点的坐标是( )A.(1,1)B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣1)D.(1,﹣1)【解答】解:复数==,所以复数所对应的点的坐标(1,﹣1)故选D. 3.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d等于( )A.1B.C.2D.3【解答】解:设{an}的公差为d,首项为a1,由题意得,解得,故选C. 第18页共18页,4.(5分)(理)的展开式中的常数项为( )A.﹣24B.﹣6C.6D.24【解答】解:设的二项展开式的通项公式为Tr+1,则Tr+1=(﹣1)r••(2x)4﹣r•x﹣r=(﹣1)r••24﹣r•x4﹣2r,令4﹣2r=0,解得r=2.∴展开式中的常数项为T3=(﹣1)2••22=24.故选D. 5.(5分)函数f(x)=log2x﹣的零点所在区间为( )A.B.C.(1,2)D.(2,3)【解答】解:由题意可知函数在(0,+∞)单调递增,且连续f()=,f(1)=log21﹣1<0,由根的存在性定理可得,f(1)•f(2)<0故选:C 6.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的S=( )A.5100B.2550C.5050D.100【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,第18页共18页,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并输出S=S=2+4+…+2×50又∵S=2+4+…+2×50=2×=2550故选B. 7.(5分)若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示,则其表面积为( )A.6+2B.6+C.6+4D.10【解答】解:根据几何体的三视图,得出该几何体是底面为边长等于2的正三角形,高为1的正三棱柱,∴它的表面积为3×2×1+2××22×=6+2.故选:A. 8.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=,则S△ABC=( )A.B.C.D.2【解答】解:∵A、B、C依次成等差数列∴B=60°∴由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB得:c=2∴由正弦定理得:S△ABC=故选C 9.(5分)下列命题:第18页共18页,①函数f(x)=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π;②已知向量,,,则的充要条件是λ=﹣1;③若,则a=e;④圆x2+y2=4关于直线ax+by+c=0对称的充分不必要条件是c=0.其中所有的真命题是( )A.①②B.③④C.②④D.①③【解答】解:对于①∵f(x)=sin4x﹣cos4x=(cos2x+sin2x)(sin2x﹣cos2x)=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x,∴f(x)的最小正周期是T==π,所以①正确.对于②∵向量,,,∴=(λ﹣1,1+λ2),∴⇒(λ﹣1)+(1+λ2)=0⇒λ=0或λ=﹣1;λ=﹣1⇒=(﹣2,2)⇒()∥,∴()∥的充分不必要条件是λ=﹣1.故命题是假命题;对于③,,转化为:,解得a=e,③正确;对于④,圆x2+y2=4关于直线ax+by+c=0对称的充要条件是:圆的圆心坐标在直线方程⇒c=0,④不正确.正确命题是①③.故选D. 10.(5分)已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点,点P是该椭圆上的一个动点,那么的最小值是( )A.0B.1C.2D.【解答】解:∵O为F1F2的中点,∴=2,可得=2||第18页共18页,当点P到原点的距离最小时,||达到最小值,同时达到最小值.∵椭圆x2+2y2=2化成标准形式,得=1∴a2=2且b2=1,可得a=,b=1因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离,即||最小值为b=1∴=2||的最小值为2故选:C 二.填空题(本题共4小题,满分共25分)11.(5分)200辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,则时速不低于60km/h的汽车数量为 76 辆.【解答】解:时速不低于60km/h的汽车的频率为(0.028+0.01)×10=0.38∴时速不低于60km/h的汽车数量为200×0.38=76故答案为:76 12.(5分)观察下列式子:,,,…,根据以上式子可以猜想: 第18页共18页, .【解答】解:观察下列式子:,,,…,可知不等式的左边各式分子是1,分母是自然数的平方和,右边分母与最后一项的分母相同,分子是以3为首项,2为公差的等差数列,故可得:.故答案为:. 13.(5分)点P(x,y)在不等式组表示的平面区域内,则z=x+y的最大值为 6 .【解答】解:先根据约束条件画出可行域,当直线x+y=z过点A(2,4)时,z最大,z最大是6,故答案为:6. 14.(5分)将一颗骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 .【解答】解:∵骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列第18页共18页,∴落地时向上的点数若不同,则为1,2,3或1,3,5,或2,3,4或2,4,6或3,4,5或4,5,6.共有6×2=12种情况,也可全相同,有6种情况∴共有18种情况若不考虑限制,有63=216落地时向上的点数依次成等差数列的概率为=故答案为: [几何证明选做题]15.(5分)如图,直线PC与圆O相切于点C,割线PAB经过圆心O,弦CD⊥AB于点E,PC=4,PB=8,则CE= .【解答】解:∵PC是圆O的切线,∴由切割线定理得:PC2=PA×PB,∵PC=4,PB=8,∴PA=2,∴OA=OB=3,连接OC,OC=3,在直角三角形POC中,利用面积法有,∴CE==.故填:.第18页共18页, [坐标系与参数方程选做题]16.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为 .【解答】解:两条曲线的普通方程分别为x2+y2=2y,x=﹣1.解得由得点(﹣1,1),极坐标为.故填:. [不等式选做题]17.若不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立,则m的取值范围为 m∈[﹣3,5] .【解答】解:|x+1|+|x﹣3|表示数轴上的x对应点到﹣1和3对应点的距离之和,它的最小值等于4,由不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立知,|m﹣1|≤4,m∈[﹣3,5]故答案为m∈[﹣3,5]. 三、解答题:(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(12分)设函数f(x)=2sinxcosx﹣cos2x+1第18页共18页,(1)求f()(2)求f(x)的最大值和最小正周期.【解答】解:(1)函数f(x)=2sinxcosx﹣cos2x+1=sin2x﹣cos2x+1=sin(2x﹣)+1,∴f()=sin(2×﹣)+1=×+1=2;…(6分)(2)由f(x)=sin(2x﹣)+1,当2x﹣=+2kπ,k∈Z,即x=+kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值为+1,最小正周期为T==π.…(12分) 19.(12分)如图,在四棱锥S﹣ABCD中,SD⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,且SD=AD,E是SA的中点.(1)求证:直线BA⊥平面SAD;(2)求直线SA与平面BED的夹角的正弦值.【解答】(本题满分12分)解:(1)证明:∵SD⊥平面ABCD,∴SD⊥AB,又AD⊥AB,AD∩SD=D,∴AB⊥平面SAD,…(6分)(2)以D为原点,分别以DA、DC、DS为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,第18页共18页,设AB=2,则A(2,0,0),S(0,0,2),B(1,2,0),E(1,0,0),故=(2,0,﹣2),=(2,2,0),=(1,0,1),…(8分)设平面BED的一个法向量为=(x,y,z),由得,取=(1,﹣1,﹣1),…(10分)设直线SA与平面BED所成角为θ,因为cos==,所以sinθ=,即直线SA与平面BED所成角的正弦值为…(12分) 20.(12分)已知:等比数列{an}的首项为a1,公比为q(1)写出数列{an}的前n项和Sn的公式;(2)给出(1)中的公式的证明.【解答】(本题满分12分)解:(1)∵等比数列{an}的首项为a1,公比为q,∴当q=1时,Sn=na1,当q≠1时,Sn=,第18页共18页,∴数列{an}的前n项和Sn=.…(4分)(2)证明:由等比数列及其前n项和的定义知:Sn=a1+a2+…+an=,①当q=1时,Sn=na1,…(7分)当q≠1时,给①式两边同乘q,得qSn=+…+,②由①﹣②,得(1﹣q)Sn==a1(1﹣qn),…(10分)综上:当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,,即Sn=.…(12分) 21.(12分)某学校数学兴趣小组有10名学生,其中有4名女同学;英语兴趣小组有5名学生,其中有3名女学生,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动.(1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数;(2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率;(3)记ξ表示抽取的3名学生中男学生数,求ξ的分布列及数学期望.【解答】解:(1)按比例计算得,抽取数学小组的人数为2人;英语小组的人数为1人;(2)从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率为=;(3)分析知ξ的取值可以为0,1,2,3,故有,,,.第18页共18页,∴ξ的分布列为:ξ0123p=. 22.(13分)已知函数f(x)=xlnx.(1)设函数g(x)=f(x)﹣a(x﹣1),其中a∈R,求函数g(x)的单调区间;(2)若直线l过点(0,﹣1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程.【解答】解:(1)∵f(x)=xlnx,∴g(x)=f(x)﹣a(x﹣1)=xlnx﹣a(x﹣1),则g′(x)=lnx+1﹣a,由g′(x)<0,得lnx+1﹣a<0,解得:0<x<ea﹣1;由g′(x)>0,得lnx+1﹣a>0,解得:x>ea﹣1.所以g(x)在(0,ea﹣1)上单调递减,在(ea﹣1,+∞)上单调递增.(2)设切点坐标为(x0,y0),则y0=x0lnx0,切线的斜率为lnx0+1.所以切线l的方程为y﹣x0lnx0=(lnx0+1)(x﹣x0),又切线l过点(0,﹣1),所以有﹣1﹣x0lnx0=(lnx0+1)(0﹣x0),即﹣1﹣x0lnx0=﹣x0lnx0﹣x0,解得x0=1,y0=0,所以直线l的方程为y=x﹣1. 23.(14分)如图,已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴上,抛物线上的点A到F的距离为2,且A的横坐标为1.过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE,且AD、AE的斜率满足kAD•kAE=2.(1)求抛物线C的方程;第18页共18页,(2)直线DE是否过某定点?若过某定点,请求出该点坐标;若不过某定点,请说明理由.【解答】解:(1)设抛物线方程为C:y2=2px(p>0),由其定义知,又|AF|=2,所以p=2,y2=4x;(2)易知A(1,2),设D(x1,y1),E(x2,y2),DE方程为x=my+n(m≠0),把DE方程代入C,并整理得y2﹣4my﹣4n=0,△=16(m2+n)>0,y1+y2=4m,y1y2=﹣4n,由及,得y1y2+2(y1+y2)=4,即﹣4n+2×4m=4,所以n=2m﹣1,代入DE方程得:x=my+2m﹣1,即(y+2)m=x+1,故直线DE过定点(﹣1,﹣2). 第18页共18页
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高考 - 模拟考试
发布时间:2022-05-19 10:46:11
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