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2019-2020学年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(05)

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云南省玉溪市高考数学模拟试卷(05) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)“m=1”是“直线x﹣y=0和直线x+my=0互相垂直”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(5分)如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为(  )A.B.C.D.13.(5分)设a=30.5,b=log32,c=cos2,则(  )A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<c<a4.(5分)设向量,若,则=(  )A.﹣3B.3C.D.5.(5分)已知集合,集合N={y|y=3x,x>0},则如图所示的韦恩图中阴影部分所表示的集合为(  )A.(2,+∞)B.[0,1)∪(2,+∞)C.[0,1]∪(2,+∞)D.[0,1]∪[2,+∞)第21页共21页,6.(5分)由曲线xy=1,直线y=x,x=3及x轴所围成的曲边四边形的面积为(  )A.B.C.D.4﹣ln37.(5分)函数y=1﹣2sin2(x+)是(  )A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为2π的奇函数8.(5分)下列命题正确的是(  )A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行9.(5分)设a<b,函数y=(x﹣a)2(x﹣b)的图象可能是(  )A.B.C.D.10.(5分)已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形,则实数k的值为(  )A.﹣1B.﹣C.D.111.(5分)以双曲线的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是(  )A.B.(x﹣3)2+y2=3C.=3D.(x﹣3)2+y2=912.(5分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只需将f(x)的图象(  )第21页共21页,A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位 二、填空题:本大题共4个小题,每小题4分,共16分.请把答案填在答题纸的相应位置上.13.(4分)设非零向量满足,则=  .14.(4分)下面图形由小正方形组成,请观察图1至图4的规律,并依此规律,写出第n个图形中小正方形的个数是  .15.(4分)已知F是抛物线y=x2的焦点,M、N是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=3,则线段MN的中点到x轴的距离为  .16.(4分)已知函数f(x)的定义域为[﹣1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,给出关于f(x)的下列命题:x﹣10245f(x)12021①函数y=f(x)在x=2取到极小值;②函数f(x)在[0,1]是减函数,在[1,2]是增函数;③当1<a<2时,函数y=f(x)﹣a有4个零点;④如果当x∈[﹣1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最小值为0.其中所有正确命题是  (写出正确命题的序号).第21页共21页, 三、解答题:本大题共6个小题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.17.(12分)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且(I)求角C;(II)求的最大值.18.(12分)在等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且.(I)求an与bn;(II)设,求Tn的值.19.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PB⊥底面ABCD.底面ABCD为直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=AD=PB,BC=2AD.点E在棱PA上,且PE=2EA.(I)求证:CD⊥平面PBD;(II)求二面角A﹣BE﹣D的余弦值.第21页共21页,20.(12分)小张于年初支出50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售收入为25﹣x万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?(2)在第几年年底将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大?(利润=累计收入+销售收入﹣总支出)21.(12分)已知椭圆(a>b>0)的离心率为、F2分别为椭圆C的左、右焦点,过F2的直线l与C相交于A、B两点,△F1AB的周长为.(I)求椭圆C的方程;(II)若椭圆C上存在点P,使得四边形OAPB为平行四边形,求此时直线l的方程.22.(14分)已知函数f(x)=xlnx+ax(a∈R)(I)若函数f(x)在区间[e2,+∞)上为增函数,求a的取值范围;(II)若对任意x∈(1,+∞),f(x)>k(x﹣1)+ax﹣x恒成立,求正整数k的值. 第21页共21页,云南省玉溪市高考数学模拟试卷(05)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)“m=1”是“直线x﹣y=0和直线x+my=0互相垂直”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解:当m=1时,两直线的方程分别为x﹣y=0,与x+y=0,可得出此两直线是垂直的;当两直线垂直时1×1+(﹣1)×m=0,可解得,m=1,所以“m=1”可得出“直线x﹣y=0和直线x+my=0互相垂直”,由“直线x﹣y=0和直线x+my=0互相垂直”可得出“m=1”所以“m=1”是“直线x﹣y=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件,故选C 2.(5分)如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为(  )A.B.C.D.1【解答】第21页共21页,解:由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面为边长为1的正方形,高为1的四棱锥,所以体积为V=×1×1×1=.故选A. 3.(5分)设a=30.5,b=log32,c=cos2,则(  )A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<c<a【解答】解:∵,0=log31<log32<log33=1,又∵,∴cos2<0,所以c<b<a.故选A. 4.(5分)设向量,若,则=(  )A.﹣3B.3C.D.【解答】解:∵=(cosα,﹣1),=(2,sinα),⊥,∴2cosα﹣sinα=0,∴tanα=2.∴tan(α﹣)===.故选C. 第21页共21页,5.(5分)已知集合,集合N={y|y=3x,x>0},则如图所示的韦恩图中阴影部分所表示的集合为(  )A.(2,+∞)B.[0,1)∪(2,+∞)C.[0,1]∪(2,+∞)D.[0,1]∪[2,+∞)【解答】解:,N={y|y=3x,x>0}={y|y>1},则阴影部分为{x|x∈M∪N且x∉M∩N},M∪N={x|x≥0},M∩N={x|1<x≤2},所以,即阴影部分为{x|x∈M∪N且x∉M∩N}={x|0≤x≤1或x>2},即[0,1]∪(2,+∞),故选C. 6.(5分)由曲线xy=1,直线y=x,x=3及x轴所围成的曲边四边形的面积为(  )A.B.C.D.4﹣ln3【解答】解:由xy=1得,由得xD=1,所以曲边四边形的面积为:,故选C.第21页共21页, 7.(5分)函数y=1﹣2sin2(x+)是(  )A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为2π的奇函数【解答】解:因为函数y=f(x)=1﹣2sin2(x+)=cos2(x+)=﹣sin2x,x∈R;所以函数y=f(x)的最小正周期为T==π,且f(﹣x)=﹣sin2(﹣x)=sin2x=﹣f(x),所以f(x)是定义域R上的奇函数.故选:B. 8.(5分)下列命题正确的是(  )A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行【解答】解:A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行、相交或异面,故A错误;B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行或相交,故B错误;C、设平面α∩β=a,l∥α,l∥β,由线面平行的性质定理,在平面α内存在直线b第21页共21页,∥l,在平面β内存在直线c∥l,所以由平行公理知b∥c,从而由线面平行的判定定理可证明b∥β,进而由线面平行的性质定理证明得b∥a,从而l∥a,故C正确;D,若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,排除D.故选C. 9.(5分)设a<b,函数y=(x﹣a)2(x﹣b)的图象可能是(  )A.B.C.D.【解答】解:由题,=(x﹣a)2的值大于等于0,故当x>b时,y>0,x<b时,y≤0.对照四个选项,C选项中的图符合故选C. 10.(5分)已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形,则实数k的值为(  )A.﹣1B.﹣C.D.1【解答】解:∵不等式组所表示的平面区域三角形,如图:平面为三角形所以过点(2,0),∵y=kx﹣1,与x轴的交点为(,0),y=kx﹣1与y=﹣x+2的交点为(),三角形的面积为:=,第21页共21页,解得:k=1.故选D. 11.(5分)以双曲线的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是(  )A.B.(x﹣3)2+y2=3C.=3D.(x﹣3)2+y2=9【解答】解:由已知,双曲线中,c2=6+3,c=3,焦点在x轴上,故圆心(3,0),渐近线方程:y=±x,又圆与渐近线相切,∴圆心到渐近线距离即为半径长,r==,∴所求圆的方程为(x﹣3)2+y2=3,故选B. 12.(5分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只需将f(x)的图象(  )第21页共21页,A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位【解答】解:由已知中函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中)的图象,过(,0)点,()点,易得:A=1,T=4()=π,即ω=2即f(x)=sin(2x+φ),将()点代入得:+φ=+2kπ,k∈Z又由∴φ=∴f(x)=sin(2x+),设将函数f(x)的图象向左平移a个单位得到函数g(x)=sin2x的图象,则2(x+a)+=2x解得a=﹣故将函数f(x)的图象向右平移个长度单位得到函数g(x)=sin2x的图象,故选A 二、填空题:本大题共4个小题,每小题4分,共16分.请把答案填在答题纸的相应位置上.13.(4分)设非零向量满足,则= 120° .【解答】解:因为,所以,所以,第21页共21页,所以,即,所以,由向量夹角的范围可得.故答案为:120° 14.(4分)下面图形由小正方形组成,请观察图1至图4的规律,并依此规律,写出第n个图形中小正方形的个数是  .【解答】解:∵a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,∴a2﹣a1=2,a3﹣a2=3,a4﹣a3=4,…an﹣an﹣1=n,等式两边同时累加得an﹣a1=2+3+…+n,即,所以第n个图形中小正方形的个数是.故答案为 15.(4分)已知F是抛物线y=x2的焦点,M、N是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=3,则线段MN的中点到x轴的距离为  .【解答】解:抛物线的焦点为(0,),准线为y=﹣,过M,N分别作准线的垂线,则|MM'|=|MF|,|NN'|=|NF|,所以|MM'|+|NN'|=|MF|+|NF|=3,所以中位线|PP′|==,所以中点P到x轴的距离为|PP′|﹣=﹣=.第21页共21页,故答案为:. 16.(4分)已知函数f(x)的定义域为[﹣1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,给出关于f(x)的下列命题:x﹣10245f(x)12021①函数y=f(x)在x=2取到极小值;②函数f(x)在[0,1]是减函数,在[1,2]是增函数;③当1<a<2时,函数y=f(x)﹣a有4个零点;④如果当x∈[﹣1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最小值为0.其中所有正确命题是 ①③④ (写出正确命题的序号).【解答】解:由图象可知当﹣1<x<0,2<x<4时,f′(x)>0,此时函数单调递增,当0<x<2,4<x<5时,f′(x)<0,此时函数单调递减,所以当x=0或x=4时,函数取得极大值,当x=2时,函数取得极小值.所以①正确.②函数在[0,2]上单调递减,所以②错误.③因为x=0或x=4时,函数取得极大值,当x=2时,函数取得极小值.第21页共21页,所以f(0)=2,f(4)=2,f(2)=0,因为f(﹣1)=f(5)=1,所以由函数图象可知当1<a<2时,函数y=f(x)﹣a有4个零点;正确.④因为函数在[﹣1,0]上单调递增,且函数的最大值为2,所以要使当x∈[﹣1,t]时,f(x)的最大值是2,则t≥0即可,所以t的最小值为0,所以④正确.故答案为:①③④. 三、解答题:本大题共6个小题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.17.(12分)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且(I)求角C;(II)求的最大值.【解答】解:(I)∵∴即由余弦定理cosC==∵C∈(0,π)∴(II)由题意可得====2sin(A)∵A∈(0,π)∴第21页共21页,∴∴的最大值为2 18.(12分)在等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且.(I)求an与bn;(II)设,求Tn的值.【解答】解(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,∵差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,且,∴,即,解得:.∴an=a1+(n﹣1)d=3+(n﹣1)•3=3n,.(Ⅱ)Tn=anb1+an﹣1b2+an﹣2b3+…+a1bn=3n•1+3(n﹣1)•3+3(n﹣2)•32+…+3×2×3n﹣2+3•3n﹣1=n•3+(n﹣1)•32+(n﹣2)•33+…+2•3n﹣1+3n.∴.∴=(32+33+…+3n+1)﹣3n==.∴. 第21页共21页,19.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PB⊥底面ABCD.底面ABCD为直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=AD=PB,BC=2AD.点E在棱PA上,且PE=2EA.(I)求证:CD⊥平面PBD;(II)求二面角A﹣BE﹣D的余弦值.【解答】解:(Ⅰ)证明:因为PB⊥底面ABCD.底面ABCD为直角梯形,∠ABC=90°,所以AB⊥BC.PB⊥底面ABCD.而CD⊂底面ABCD,所以PB⊥CD.在底面ABCD中,因为∠ABC=∠BAD=90°,AB=AD=BC,所以BD=CD=BC,所以BD⊥CD.又因为PB∩BD=B,所以CD⊥平面PAC(Ⅱ)解:设平面EBD的法向量为=(x,y,1),B(0,0,0),E,,D(1,1,0),则,即,又∵平面ABE的法向量为=(0,1,0),∴cos==.即二面角A﹣BE﹣D的大小的余弦值为.第21页共21页, 20.(12分)小张于年初支出50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售收入为25﹣x万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?(2)在第几年年底将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大?(利润=累计收入+销售收入﹣总支出)【解答】解:(1)设大货车运输到第x年年底,该车运输累计收入与总支出的差为y万元,则y=25x﹣[6x+x(x﹣1)]﹣50=﹣x2+20x﹣50(0<x≤10,x∈N)由﹣x2+20x﹣50>0,可得10﹣5<x<10+5∵2<10﹣5<3,故从第3年,该车运输累计收入超过总支出;第21页共21页,(2)∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出,∴二手车出售后,小张的年平均利润为=19﹣(x+)≤19﹣10=9当且仅当x=5时,等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大. 21.(12分)已知椭圆(a>b>0)的离心率为、F2分别为椭圆C的左、右焦点,过F2的直线l与C相交于A、B两点,△F1AB的周长为.(I)求椭圆C的方程;(II)若椭圆C上存在点P,使得四边形OAPB为平行四边形,求此时直线l的方程.【解答】解:(I)∵椭圆离心率为,∴=,∴a=c,又△F1AB周长为4,∴4a=4,解得a=,∴c=1,b=,∴椭圆C的标准方程为:;(II)设点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),当斜率不存在时,这样的直线不满足题意,∴设直线l的斜率为k,则直线l的方程为:y=k(x﹣1),将直线l的方程代入椭圆方程,整理得:(2+3k2)x2﹣6k2x+3k2﹣6=0,∴x1+x2=,故y1+y2=k(x1+x2)﹣2k=﹣2k=,∵四边形OAPB为平行四边形,∴=+,从而,,第21页共21页,又P(x0,y0)在椭圆上,∴,整理得:,12k4+8k2=4+12k2+9k4,3k4﹣4k2﹣4=0,解得k=±,故所求直线l的方程为:y=±(x﹣1). 22.(14分)已知函数f(x)=xlnx+ax(a∈R)(I)若函数f(x)在区间[e2,+∞)上为增函数,求a的取值范围;(II)若对任意x∈(1,+∞),f(x)>k(x﹣1)+ax﹣x恒成立,求正整数k的值.【解答】(Ⅰ)解:由f(x)=xlnx+ax,得:f′(x)=lnx+a+1∵函数f(x)在区间[e2,+∞)上为增函数,∴当x∈[e2,+∞)时f′(x)≥0,即lnx+a+1≥0在区间[e2,+∞)上恒成立,∴a≥﹣1﹣lnx.又当x∈[e2,+∞)时,lnx∈[2,+∞),∴﹣1﹣lnx∈(﹣∞,﹣3].∴a≥﹣3;(Ⅱ)若对任意x∈(1,+∞),f(x)>k(x﹣1)+ax﹣x恒成立,即x•lnx+ax>k(x﹣1)+ax﹣x恒成立,也就是k(x﹣1)<x•lnx+ax﹣ax+x恒成立,∵x∈(1,+∞),∴x﹣1>0.则问题转化为k对任意x∈(1,+∞)恒成立,设函数h(x)=,则,第21页共21页,再设m(x)=x﹣lnx﹣2,则.∵x∈(1,+∞),∴m′(x)>0,则m(x)=x﹣lnx﹣2在(1,+∞)上为增函数,∵m(1)=1﹣ln1﹣2=﹣1,m(2)=2﹣ln2﹣2=﹣ln2,m(3)=3﹣ln3﹣2=1﹣ln3<0,m(4)=4﹣ln4﹣2=2﹣ln4>0.∴∃x0∈(3,4),使m(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0.∴当x∈(1,x0)时,m(x)<0,h′(x)<0,∴在(1,x0)上递减,x∈(x0,+∞)时,m(x)>0,h′(x)>0,∴在(x0,+∞)上递增,∴h(x)的最小值为h(x0)=.∵m(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,∴lnx0+1=x0﹣1,代入函数h(x)=得h(x0)=x0,∵x0∈(3,4),且k<h(x)对任意x∈(1,+∞)恒成立,∴k<h(x)min=x0,∴k≤3,∴k的值为1,2,3. 第21页共21页

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发布时间:2022-05-19 10:46:11 页数:21
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文章作者:yuanfeng

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