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2021年江苏省扬州市中考数学真题试卷【含答案解释,可编辑】
2021年江苏省扬州市中考数学真题试卷【含答案解释,可编辑】
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2021年江苏省扬州市中考数学真题试卷【含答案解释,可编辑】注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷(选择题)请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1.实数100的倒数是( )A.100B.C.D.2.把图中的纸片沿虚线折叠,可以围成一个几何体,这个几何体的名称是( )A.五棱锥B.五棱柱C.六棱锥D.六棱柱3.下列生活中的事件,属于不可能事件的是( )A.3天内将下雨B.打开电视,正在播新闻C.买一张电影票,座位号是偶数号D.没有水分,种子发芽4.不论x取何值,下列代数式的值不可能为0的是( )A.B.C.D.5.如图,点A、B、C、D、E在同一平面内,连接、、、、,若,则( )A.B.C.D.6.如图,在的正方形网格中有两个格点A、B,连接,在网格中再找一个格试卷第8页,共8页 点C,使得是等腰直角三角形,满足条件的格点C的个数是( )A.2B.3C.4D.57.如图,一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B,把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C,则线段长为( )A.B.C.D.8.如图,点P是函数的图像上一点,过点P分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为点A、B,交函数的图像于点C、D,连接、、、,其中,下列结论:①;②;③,其中正确的是( )A.①②B.①③C.②③D.①第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9.2021年扬州世界园艺博览会以“绿色城市,健康生活”为主题,在某搜索引擎中输入试卷第8页,共8页 “扬州世界园艺博览会”约有3020000个相关结果,数据3020000用科学记数法表示为______.10.计算:__________.11.在平面直角坐标系中,若点在第二象限,则整数m的值为_________.12.已知一组数据:a、4、5、6、7的平均数为5,则这组数据的中位数是__________.13.扬州雕版印刷技艺历史悠久,元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州,该书是中国较早的数学著作之一,书中记载一道问题:“今有良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何日追及之?”题意是:快马每天走240里,慢马每天走150里,慢马先走12天,试问快马几天追上慢马?答:快马_______天追上慢马.14.如图是某圆柱体果罐,它的主视图是边长为的正方形,该果罐侧面积为_____.15.如图,在中,,点D是的中点,过点D作,垂足为点E,连接,若,,则________.16.如图,在中,点E在上,且平分,若,,则的面积为________.试卷第8页,共8页 17.如图,在中,,矩形的顶点D、E在上,点F、G分别在、上,若,,且,则的长为________.18.将黑色圆点按如图所示的规律进行排列,图中黑色圆点的个数依次为:1,3,6,10,……,将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据,则新数据中的第33个数为___________.三、解答题19.计算或化简:(1); (2).20.已知方程组的解也是关于x、y的方程的一个解,求a的值.21.为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”,某校开展“每日健身操”活动,为了解学生对“每日健身操”活动的喜欢程度,随机抽取了部分学生进行调查,将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表:抽样调查各类喜欢程度人数分布扇形统计图试卷第8页,共8页 A.非常喜欢 B.比较喜欢 C.无所谓 D.不喜欢抽样调查各类喜欢程度人数统计表喜欢程度人数A.非常喜欢50人B.比较喜欢m人C.无所谓n人D.不喜欢16人根据以上信息,回答下列问题:(1)本次调查的样本容量是______;(2)扇形统计图中表示A程度的扇形圆心角为_____,统计表中______;(3)根据抽样调查的结果,请你估计该校2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动(包含非常喜欢和比较喜欢).22.一张圆桌旁设有4个座位,丙先坐在了如图所示的座位上,甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上.(1)甲坐在①号座位的概率是_________;(2)用画树状图或列表的方法,求甲与乙相邻而坐的概率.23.为保障新冠病毒疫苗接种需求,某生物科技公司开启“加速”模式,生产效率比原试卷第8页,共8页 先提高了20%,现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天,问原先每天生产多少万剂疫苗?24.如图,在中,的角平分线交于点D,.(1)试判断四边形的形状,并说明理由;(2)若,且,求四边形的面积.25.如图,四边形中,,,,连接,以点B为圆心,长为半径作,交于点E.(1)试判断与的位置关系,并说明理由;(2)若,,求图中阴影部分的面积.26.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像与x轴交于点.、,与y轴交于点C.(1)________,________;试卷第8页,共8页 (2)若点D在该二次函数的图像上,且,求点D的坐标;(3)若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点,且,直接写出点P的坐标.27.在一次数学探究活动中,李老师设计了一份活动单:已知线段,使用作图工具作,尝试操作后思考:(1)这样的点A唯一吗?(2)点A的位置有什么特征?你有什么感悟?“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报:点A的位置不唯一,它在以为弦的圆弧上(点B、C除外),…….小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图1).(1)小华同学提出了下列问题,请你帮助解决.①该弧所在圆的半径长为___________;②面积的最大值为_________;(2)经过比对发现,小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上,而在如图1所示的弓形内部,我们记为,请你利用图1证明;(3)请你运用所学知识,结合以上活动经验,解决问题:如图2,已知矩形的边长,,点P在直线的左侧,且.①线段长的最小值为_______;②若,则线段长为________.28.甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租,下面是两公司经理的一段对话:甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3000元,那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元,那么将少租出1辆汽车.另外,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.试卷第8页,共8页 乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3500元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计1850元.说明:①汽车数量为整数;②月利润=月租车费-月维护费;③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.在两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题:(1)当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是_______元;当每个公司租出的汽车为_______辆时,两公司的月利润相等;(2)求两公司月利润差的最大值;(3)甲公司热心公益事业,每租出1辆汽车捐出a元给慈善机构,如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,且当两公司租出的汽车均为17辆时,甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大,求a的取值范围.试卷第8页,共8页 参考答案:1.C【分析】直接根据倒数的定义求解.【详解】解:100的倒数为,故选C.【点睛】本题考查了倒数的定义:a(a≠0)的倒数为.2.A【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题.【详解】解:由图可知:折叠后,该几何体的底面是五边形,则该几何体为五棱锥,故选A.【点睛】本题考查了几何体的展开图,掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键.3.D【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.【详解】解:A、3天内将下雨,是随机事件;B、打开电视,正在播新闻,是随机事件;C、买一张电影票,座位号是偶数号,是随机事件;D、没有水分,种子不可能发芽,故是不可能事件;故选D.【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定答案第23页,共23页 发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.4.C【分析】分别找到各式为0时的x值,即可判断.【详解】解:A、当x=-1时,x+1=0,故不合题意;B、当x=±1时,x2-1=0,故不合题意;C、分子是1,而1≠0,则≠0,故符合题意;D、当x=-1时,,故不合题意;故选C.【点睛】本题考查了分式的值为零的条件,代数式的值.若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.5.D【分析】连接BD,根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB,再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和,即可得到结果.【详解】解:连接BD,∵∠BCD=100°,∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°,∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°,故选D.答案第23页,共23页 【点睛】本题考查了三角形内角和,四边形内角和,解题的关键是添加辅助线,构造三角形和四边形.6.B【分析】根据题意,结合图形,分两种情况讨论:①AB为等腰直角△ABC底边;②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰.【详解】解:如图:分情况讨论:①AB为等腰直角△ABC底边时,符合条件的C点有0个;②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时,符合条件的C点有3个.故共有3个点,故选:B.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定;解答本题关键是根据题意,画出符合实际条件的图形,数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.7.A【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标,得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长,过点C作CD⊥AB,垂足为D,证明△ACD为等腰直角三角形,设CD=AD=x,结合旋转的度数,用两种方法表示出BD,得到关于x的方程,解之即可.【详解】解:∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B,令x=0,则y=,令y=0,则x=,则A(,0),B(0,),答案第23页,共23页 则△OAB为等腰直角三角形,∠ABO=45°,∴AB==2,过点C作CD⊥AB,垂足为D,∵∠CAD=∠OAB=45°,∴△ACD为等腰直角三角形,设CD=AD=x,∴AC==x,∵旋转,∴∠ABC=30°,∴BC=2CD=2x,∴BD==x,又BD=AB+AD=2+x,∴2+x=x,解得:x=+1,∴AC=x=(+1)=,故选A.【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题,等腰直角三角形的判定和性质,直角三角形的性质,勾股定理,二次根式的混合运算,知识点较多,解题的关键是作出辅助线,构造特殊三角形.8.B【分析】设P(m,),分别求出A,B,C,D的坐标,得到PD,PC,PB,PA的长,判断答案第23页,共23页 和的关系,可判断①;利用三角形面积公式计算,可得△PDC的面积,可判断③;再利用计算△OCD的面积,可判断②.【详解】解:∵PB⊥y轴,PA⊥x轴,点P在上,点C,D在上,设P(m,),则C(m,),A(m,0),B(0,),令,则,即D(,),∴PC==,PD==,∵,,即,又∠DPC=∠BPA,∴△PDC∽△PBA,∴∠PDC=∠PBC,∴CD∥AB,故①正确;△PDC的面积===,故③正确;=====,故②错误;答案第23页,共23页 故选B.【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质,k的几何意义,相似三角形的判定和性质,解题关键是表示出各点坐标,得到相应线段的长度.9.3.02×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.【详解】解:将3020000用科学记数法表示为3.02×106.故答案为:3.02×106.【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.10.4041【分析】利用平方差公式进行简便运算即可.【详解】解:===4041故答案为:4041.【点睛】本题考查了平方差公式的应用,解题时注意运算顺序.11.2【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0,纵坐标大于0列出不等式组,然后求解即可.【详解】答案第23页,共23页 解:由题意得:,解得:,∴整数m的值为2,故答案为:2.【点睛】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键.12.5【分析】根据平均数的定义先算出a的值,再把数据按从小到大的顺序排列,找出最中间的数,即为中位数.【详解】解:∵这组数据的平均数为5,则,解得:a=3,将这组数据从小到大重新排列为:3,4,5,6,7,观察数据可知最中间的数是5,则中位数是5.故答案为:5.【点睛】本题考查了平均数和中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.13.20【分析】设良马行x日追上驽马,根据路程=速度×时间结合两马的路程相等,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论.【详解】解:设快马行x天追上慢马,则此时慢马行了(x+12)日,答案第23页,共23页 依题意,得:240x=150(x+12),解得:x=20,∴快马20天追上慢马,故答案为:20.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.14.【分析】根据圆柱体的主视图为边长为10cm的正方形,得到圆柱的底面直径和高,从而计算侧面积.【详解】解:∵果罐的主视图是边长为10cm的正方形,为圆柱体,∴圆柱体的底面直径和高为10cm,∴侧面积为=,故答案为:.【点睛】本题考查了几何体的三视图,解题的关键是根据三视图得到几何体的相关数据.15.3【分析】根据直角三角形的性质得到AB=10,利用勾股定理求出AC,再说明DE∥AC,得到,即可求出DE.【详解】解:∵∠ACB=90°,点D为AB中点,∴AB=2CD=10,∵BC=8,∴AC==6,∵DE⊥BC,AC⊥BC,∴DE∥AC,答案第23页,共23页 ∴,即,∴DE=3,故答案为:3.【点睛】本题考查了直角三角形的性质,勾股定理,平行线分线段成比例,解题的关键是通过平行得到比例式.16.50【分析】过点E作EF⊥BC,垂足为F,利用直角三角形的性质求出EF,再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE=∠BEC,可得BE=BC=10,最后利用平行四边形的面积公式计算即可.【详解】解:过点E作EF⊥BC,垂足为F,∵∠EBC=30°,BE=10,∴EF=BE=5,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE,又EC平分∠BED,即∠BEC=∠DEC,∴∠BCE=∠BEC,∴BE=BC=10,∴四边形ABCD的面积===50,故答案为:50.【点睛】答案第23页,共23页 本题考查了平行四边形的性质,30度的直角三角形的性质,角平分线的定义,等角对等边,知识点较多,但难度不大,图形特征比较明显,作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键.17.【分析】根据矩形的性质得到GF∥AB,证明△CGF∽△CAB,可得,证明△ADG≌△BEF,得到AD=BE=,在△BEF中,利用勾股定理求出x值即可.【详解】解:∵DE=2EF,设EF=x,则DE=2x,∵四边形DEFG是矩形,∴GF∥AB,∴△CGF∽△CAB,∴,即,∴,∴AD+BE=AB-DE==,∵AC=BC,∴∠A=∠B,又DG=EF,∠ADG=∠BEF=90°,∴△ADG≌△BEF(AAS),∴AD=BE==,在△BEF中,,即,解得:x=或(舍),∴EF=,故答案为:.【点睛】答案第23页,共23页 本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质,等边对等角,解题的关键是根据相似三角形的性质得到AB的长.18.1275【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数,得到第n个图形中的黑色圆点的个数为,再判断其中能被3整除的数,得到每3个数中,都有2个能被3整除,再计算出第33个能被3整除的数所在组,为原数列中第50个数,代入计算即可.【详解】解:第①个图形中的黑色圆点的个数为:1,第②个图形中的黑色圆点的个数为:=3,第③个图形中的黑色圆点的个数为:=6,第④个图形中的黑色圆点的个数为:=10,...第n个图形中的黑色圆点的个数为,则这列数为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,...,其中每3个数中,都有2个能被3整除,33÷2=16...1,16×3+2=50,则第33个被3整除的数为原数列中第50个数,即=1275,故答案为:1275.【点睛】此题考查了规律型:图形的变化类,关键是通过归纳与总结,得到其中的规律.19.(1)4;(2)【分析】(1)分别化简各数,再作加减法;(2)先通分,计算加法,再将除法转化为乘法,最后约分计算.【详解】解:(1)答案第23页,共23页 ==;(2)===【点睛】本题考查了实数的混合运算,特殊角的三角函数值,零指数幂,分式的混合运算,解题的关键是熟练掌握运算法则.20.【分析】求出方程组的解得到x与y的值,代入方程计算即可求出a的值.【详解】解:方程组,把②代入①得:,解得:,代入①中,解得:,把,代入方程得,,解得:.【点睛】此题考查了二元一次方程组的解,以及二元一次方程的解,方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.21.(1)200;(2)90,94;(3)1440名【分析】(1)用D程度人数除以对应百分比即可;(2)用A程度的人数与样本人数的比值乘以360°即可得到对应圆心角,算出B等级对应百分比,乘以样本容量可得m值;答案第23页,共23页 (3)用样本中A、B程度的人数之和所占样本的比例,乘以全校总人数即可.【详解】解:(1)16÷8%=200,则样本容量是200;(2)×360°=90°,则表示A程度的扇形圆心角为90°;200×(1-8%-20%-×100%)=94,则m=94;(3)=1440名,∴该校2000名学生中大约有1440名学生喜欢“每日健身操”活动.【点睛】本题考查了扇形统计图,统计表,样本估计总体等知识,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键,扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.22.(1);(2)【分析】(1)直接根据概率公式计算即可;(2)画树状图,共有6种等可能的结果,甲与乙相邻而坐的结果有4种,再由概率公式求解即可.【详解】解:(1)∵丙坐了一张座位,∴甲坐在①号座位的概率是;(2)画树状图如图:共有6种等可能的结果,甲与乙两同学恰好相邻而坐的结果有4种,答案第23页,共23页 ∴甲与乙相邻而坐的概率为=.【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.23.40万【分析】设原先每天生产x万剂疫苗,根据现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天可得方程,解之即可.【详解】解:设原先每天生产x万剂疫苗,由题意可得:,解得:x=40,经检验:x=40是原方程的解,∴原先每天生产40万剂疫苗.【点睛】此题主要考查了分式方程的应用,列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.必须严格按照这5步进行做题,规范解题步骤,另外还要注意完整性.24.(1)菱形,理由见解析;(2)4【分析】(1)根据DE∥AB,DF∥AC判定四边形AFDE是平行四边形,再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD,可得AE=DE,即可证明;(2)根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形,根据对角线AD求出边长,再根据面积公式计算即可.【详解】解:(1)四边形AFDE是菱形,理由是:∵DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AFDE是平行四边形,∵AD平分∠BAC,∴∠FAD=∠EAD,答案第23页,共23页 ∵DE∥AB,∴∠EDA=∠FAD,∴∠EDA=∠EAD,∴AE=DE,∴平行四边形AFDE是菱形;(2)∵∠BAC=90°,∴四边形AFDE是正方形,∵AD=,∴AF=DF=DE=AE==2,∴四边形AFDE的面积为2×2=4.【点睛】本题考查了菱形的判定,正方形的判定和性质,平行线的性质,角平分线的定义,解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法.25.(1)相切,理由见解析;(2)【分析】(1)过点B作BF⊥CD,证明△ABD≌△FBD,得到BF=BA,即可证明CD与圆B相切;(2)先证明△BCD是等边三角形,根据三线合一得到∠ABD=30°,求出AD,再利用S△ABD-S扇形ABE求出阴影部分面积.【详解】解:(1)过点B作BF⊥CD,∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∵CB=CD,∴∠CBD=∠CDB,∴∠ADB=∠CDB,又BD=BD,∠BAD=∠BFD=90°,∴△ABD≌△FBD(AAS),∴BF=BA,则点F在圆B上,∴CD与圆B相切;答案第23页,共23页 (2)∵∠BCD=60°,CB=CD,∴△BCD是等边三角形,∴∠CBD=60°∵BF⊥CD,∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°,∴∠ABF=60°,∵AB=BF=,∴AD=DF==2,∴阴影部分的面积=S△ABD-S扇形ABE==.【点睛】本题考查了切线的判定,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,扇形面积,三角函数的定义,题目的综合性较强,难度不小,解题的关键是正确做出辅助线.26.(1)-2,-3;(2)(,6)或(,6);(3)(4,5)【分析】(1)利用待定系数法求解即可;(2)先求出△ABC的面积,设点D(m,),再根据,得到方程求出m值,即可求出点D的坐标;(3)分点P在点A左侧和点P在点A右侧,结合平行线之间的距离,分别求解.【详解】答案第23页,共23页 解:(1)∵点A和点B在二次函数图像上,则,解得:,故答案为:-2,-3;(2)连接BC,由题意可得:A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),,∴S△ABC==6,∵S△ABD=2S△ABC,设点D(m,),∴,即,解得:x=或,代入,可得:y值都为6,∴D(,6)或(,6);(3)设P(n,),∵点P在抛物线位于x轴上方的部分,∴n<-1或n>3,当点P在点A左侧时,即n<-1,可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离,∴,不成立;当点P在点B右侧时,即n>3,∵△APC和△APB都以AP为底,若要面积相等,则点B和点C到AP的距离相等,即BC∥AP,答案第23页,共23页 设直线BC的解析式为y=kx+p,则,解得:,则设直线AP的解析式为y=x+q,将点A(-1,0)代入,则-1+q=0,解得:q=1,则直线AP的解析式为y=x+1,将P(n,)代入,即,解得:n=4或n=-1(舍),,∴点P的坐标为(4,5).【点睛】本题考查了二次函数综合,涉及到待定系数法求函数解析式,三角形面积,平行线之间的距离,一次函数,解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离.27.(1)①2;②;(2)见解析;(3)①;②【分析】(1)①设O为圆心,连接BO,CO,根据圆周角定理得到∠BOC=60°,证明△OBC是等边三角形,可得半径;②过点O作BC的垂线,垂足为E,延长EO,交圆于D,以BC为底,则当A与D重合时,△ABC的面积最大,求出OE,根据三角形面积公式计算即可;(2)延长BA′,交圆于点D,连接CD,利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可;(3)①根据,连接PD,设点Q为PD中点,以点Q为圆心,PD为半径画圆,可得点P在优弧CPD上,连接BQ,与圆Q交于P′,可得BP′即为BP答案第23页,共23页 的最小值,再计算出BQ和圆Q的半径,相减即可得到BP′;②根据AD,CD和推出点P在∠ADC的平分线上,从而找到点P的位置,过点C作CF⊥PD,垂足为F,解直角三角形即可求出DP.【详解】解:(1)①设O为圆心,连接BO,CO,∵∠BAC=30°,∴∠BOC=60°,又OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∴OB=OC=BC=2,即半径为2;②∵△ABC以BC为底边,BC=2,∴当点A到BC的距离最大时,△ABC的面积最大,如图,过点O作BC的垂线,垂足为E,延长EO,交圆于D,∴BE=CE=1,DO=BO=2,∴OE==,∴DE=,∴△ABC的最大面积为=;(2)如图,延长BA′,交圆于点D,连接CD,∵点D在圆上,∴∠BDC=∠BAC,∵∠BA′C=∠BDC+∠A′CD,∴∠BA′C>∠BDC,∴∠BA′C>∠BAC,即∠BA′C>30°;答案第23页,共23页 (3)①如图,当点P在BC上,且PC=时,∵∠PCD=90°,AB=CD=2,AD=BC=3,∴tan∠DPC==,为定值,连接PD,设点Q为PD中点,以点Q为圆心,PD为半径画圆,∴当点P在优弧CPD上时,tan∠DPC=,连接BQ,与圆Q交于P′,此时BP′即为BP的最小值,过点Q作QE⊥BE,垂足为E,∵点Q是PD中点,∴点E为PC中点,即QE=CD=1,PE=CE=PC=,∴BE=BC-CE=3-=,∴BQ==,∵PD==,∴圆Q的半径为,∴BP′=BQ-P′Q=,即BP的最小值为;②∵AD=3,CD=2,,答案第23页,共23页 则,∴△PAD中AD边上的高=△PCD中CD边上的高,即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等,则点P到AD和CD的距离相等,即点P在∠ADC的平分线上,如图,过点C作CF⊥PD,垂足为F,∵PD平分∠ADC,∴∠ADP=∠CDP=45°,∴△CDF为等腰直角三角形,又CD=2,∴CF=DF==,∵tan∠DPC==,∴PF=,∴PD=DF+PF==.【点睛】本题是圆的综合题,考查了圆周角定理,三角形的面积,等边三角形的判定和性质,最值问题,解直角三角形,三角形外角的性质,勾股定理,知识点较多,难度较大,解题时要根据已知条件找到点P的轨迹.28.(1)48000,37;(2)33150元;(3)【分析】(1)用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金,再乘以10,减去维护费用可得甲公司的月利润;设每个公司租出的汽车为x辆,根据月利润相等得到方程,解之即可得到结果;(2)设两公司的月利润分别为y甲,y乙,月利润差为y,同(1)可得y甲和y乙答案第23页,共23页 的表达式,再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况,列出y关于x的表达式,根据二次函数的性质,结合x的范围求出最值,再比较即可;(3)根据题意得到利润差为,得到对称轴,再根据两公司租出的汽车均为17辆,结合x为整数可得关于a的不等式,即可求出a的范围.【详解】解:(1)=48000元,当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是48000元;设每个公司租出的汽车为x辆,由题意可得:,解得:x=37或x=-1(舍),∴当每个公司租出的汽车为37辆时,两公司的月利润相等;(2)设两公司的月利润分别为y甲,y乙,月利润差为y,则y甲=,y乙=,当甲公司的利润大于乙公司时,0<x<37,y=y甲-y乙==,当x==18时,利润差最大,且为18050元;当乙公司的利润大于甲公司时,37<x≤50,y=y乙-y甲==,∵对称轴为直线x==18,当x=50时,利润差最大,且为33150元;综上:两公司月利润差的最大值为33150元;(3)∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,则利润差为=,答案第23页,共23页 对称轴为直线x=,∵x只能取整数,且当两公司租出的汽车均为17辆时,月利润之差最大,∴,解得:.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,二次函数的图像和性质,解题时要读懂题意,列出二次函数关系式,尤其(3)中要根据x为整数得到a的不等式.答案第23页,共23页
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中考 - 历年真题
发布时间:2022-04-17 22:30:15
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