2021年湖南省永州市中考数学真题试卷【含答案解释可编辑】
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2021年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分,每个小题只有一个正确选项请将正确的选项填涂到答题卡上)1.﹣|﹣2021|的相反数为( )A.﹣2021B.2021C.﹣D.2.如图,在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是( )A.B.C.D.3.据永州市2020年国民经济和社会发展统计公报,永州市全年全体居民人均可支配收入约为24000元,比上年增长6.5%,将“人均可支配收入”用科学记数法表示为( )A.24×103B.2.4×104C.2.4×105D.0.24×1054.已知一列数据:27,12,12,5,7,12,5.该列数据的众数是( )A.27B.12C.7D.55.下列计算正确的是( )A.(π﹣3)0=1B.tan30°=C.=±2D.a2•a3=a66.在一元一次不等式组的解集中,整数解的个数是( )A.4B.5C.6D.7,7.如图,在△ABC中,AB=AC,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN分别交BC、AB于点D和点E,若∠B=50°,则∠CAD的度数是( )A.30°B.40°C.50°D.60°8.中国传统数学重要著作《九章算术》中记载:今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数、物价各几何?据此设计一类似问题:今有人组团购一物,如果每人出9元,则多了4元;如果每人出6元,则少了5元,问组团人数和物价各是多少?若设x人参与组团,物价为y元,则以下列出的方程组正确的是( )A.B.C.D.9.小明计划到永州市体验民俗文化,想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项,则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为( )A.B.C.D.10.定义:若10x=N,则x=log10N,x称为以10为底的N的对数,简记为lgN,其满足运算法则:lgM+lgN=lg(M•N)(M>0,N>0).例如:因为102=100,所以2=lg100,亦即lg100=2;lg4+lg3=lg12.根据上述定义和运算法则,计算(lg2)2+lg2•lg5+lg5的结果为( )A.5B.2C.1D.0二、填空题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,请将答案填在答题卡的答案栏内),11.在0,,﹣0.101001,π,中无理数的个数是 个.12.已知二次根式有意义,则x的取值范围是 .13.请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式: .14.某初级中学坚持开展阳光体育活动,七年级至九年级每学期均进行体育技能测试.其中A班甲、乙两位同学6个学期的投篮技能测试成绩(投篮命中个数)折线图如图所示.为参加学校举行的毕业篮球友谊赛,A班需从甲、乙两位同学中选1人进入班球队,从两人成绩的稳定性考虑,请你决策A班应该选择的同学是 .15.某同学在数学实践活动中,制作了一个侧面积为60π,底面半径为6的圆锥模型(如图所示),则此圆锥的母线长为 .16.如图,A,B两点的坐标分别为A(4,3),B(0,﹣3),在x轴上找一点P,使线段PA+PB的值最小,则点P的坐标是 .,17.已知函数y=,若y=2,则x= .18.若x,y均为实数,43x=2021,47y=2021,则:(1)43xy•47xy=( )x+y;(2)+= .三、解答题(共8小题,满分78分)19.(8分)先化简,再求值:(x+1)2+(2+x)(2﹣x),其中x=1.20.(8分)若x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,则x1+x2=﹣,x1•x2=.现已知一元二次方程px2+2x+q=0的两根分别为m,n.(1)若m=2,n=﹣4,求p,q的值;(2)若p=3,q=﹣1,求m+mn+n的值.21.(8分)为庆祝中国共产党成立100周年,某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动根据竞赛结果,抽取了200名学生的成绩(得分均为正整数,满分为100分,大于80分的为优秀)进行统计,绘制了如图所示尚不完整的统计图表.200名学生党史知识竞赛成绩的频数表组别频数频率A组(60.5~70.5)a0.3B组(70.5~80.5)300.15C组(80.5~90.5)50bD组(90.5~100.5)600.3请结合图表解决下列问题:,(1)频数表中,a= ,b= ;(2)请将频数分布直方图补充完整;(3)抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是 组;(4)若该校共有1000名学生,请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数.22.(10分)如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,AE∥BF.(1)求证:△AEC≌△BFD.(2)判断四边形DECF的形状,并证明.23.(10分)永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下,根据市场需求,计划在2022年将30亩土地全部用于种植A、B两种经济作物.预计B种经济作物亩产值比A种经济作物亩产值多2万元,为实现2022年A种经济作物年总产值20万元,B种经济作物年总产值30万元的目标,问:2022年A、B两种经济作物应各种植多少亩?24.(10分)已知锐角△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,边角总满足关系式:==.,(1)如图1,若a=6,∠B=45°,∠C=75°,求b的值;(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD(如图2所示),若CD⊥AB,AC=14米,AB=10米,sin∠ACB=,求景观桥CD的长度.25.(12分)如图1,AB是⊙O的直径,点E是⊙O上一动点,且不与A,B两点重合,∠EAB的平分线交⊙O于点C,过点C作CD⊥AE,交AE的延长线于点D.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)求证:AC2=2AD•AO;(3)如图2,原有条件不变,连接BE,BC,延长AB至点M,∠EBM的平分线交AC的延长线于点P,∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q.求证:无论点E如何运动,总有∠P=∠Q.26.(12分)已知关于x的二次函数y1=x2+bx+c(实数b,c为常数).(1)若二次函数的图象经过点(0,4),对称轴为x=1,求此二次函数的表达式;(2)若b2﹣c=0,当b﹣3≤x≤b时,二次函数的最小值为21,求b的值;(3)记关于x的二次函数y2=2x2+x+m,若在(1)的条件下,当0≤x≤1时,总有y2≥y1,求实数m的最小值.,2021年湖南省永州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分,每个小题只有一个正确选项请将正确的选项填涂到答题卡上)1.﹣|﹣2021|的相反数为( )A.﹣2021B.2021C.﹣D.【分析】根据绝对值的定义、相反数的定义解题即可.【解答】解:∵﹣|﹣2021|=﹣2021,∴﹣2021的相反数为2021.故选:B.2.如图,在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是( )A.B.C.D.【分析】根据旋转的性质,旋转前后,各点的相对位置不变,得到的图形全等,找到关键点,分析选项可得答案.【解答】解:根据旋转的性质,旋转前后,各点的相对位置不变,得到的图形全等,五角星图案绕中心旋转180°后,阴影部分的等腰三角形的顶点向下,得到的图案是C.,故选:C.3.据永州市2020年国民经济和社会发展统计公报,永州市全年全体居民人均可支配收入约为24000元,比上年增长6.5%,将“人均可支配收入”用科学记数法表示为( )A.24×103B.2.4×104C.2.4×105D.0.24×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解:24000=2.4×104.故选:B.4.已知一列数据:27,12,12,5,7,12,5.该列数据的众数是( )A.27B.12C.7D.5【分析】根据众数的意义求解即可.【解答】解:这组数据中出现次数最多的是12,共出现3次,因此众数是12,故选:B.5.下列计算正确的是( )A.(π﹣3)0=1B.tan30°=C.=±2D.a2•a3=a6【分析】根据零次幂,特殊锐角三角函数值,平方根以及同底数幂乘法逐项进行计算即可.【解答】解:A.因为π﹣3≠0,所以(π﹣3)0=1,因此选项A符合题意;B.tan30°=,因此选项B不符合题意;C.=2,因此选项C不符合题意;D.a2•a3=a2+3=a5,因此选项D不符合题意;故选:A.6.在一元一次不等式组的解集中,整数解的个数是( )A.4B.5C.6D.7,【分析】先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集,求出不等式组的整数解,即可得出答案.【解答】解:∵解不等式①得:x>﹣0.5,解不等式②得:x≤5,∴不等式组的解集为﹣0.5<x≤5,∴不等式组的整数解为0,1,2,3,4,5,共6个,故选:C.7.如图,在△ABC中,AB=AC,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN分别交BC、AB于点D和点E,若∠B=50°,则∠CAD的度数是( )A.30°B.40°C.50°D.60°【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB,则DA=DB,所以∠DAB=∠B=50°,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAC,然后计算∠BAC﹣∠DAB即可.【解答】解:由作法得MN垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠DAB=∠B=50°,∵AB=AC,∴∠C=∠B=50°,∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣50°=80°,∴∠CAD=∠BAC﹣∠DAB=80°﹣50°=30°.故选:A.,8.中国传统数学重要著作《九章算术》中记载:今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数、物价各几何?据此设计一类似问题:今有人组团购一物,如果每人出9元,则多了4元;如果每人出6元,则少了5元,问组团人数和物价各是多少?若设x人参与组团,物价为y元,则以下列出的方程组正确的是( )A.B.C.D.【分析】根据如果每人出9元,则多了4元;如果每人出6元,则少了5元,可以列出相应的方程组,从而可以解答本题.【解答】解:由题意可得,,故选:A.9.小明计划到永州市体验民俗文化,想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项,则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为( )A.B.C.D.【分析】画树状图,共有12种等可能的结果,小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的结果有2种,再由概率公式求解即可.【解答】解:把“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化分别记为:A、B、C、D,画树状图如图:共有12种等可能的结果,小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的结果有2种,∴小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为=,,故选:D.10.定义:若10x=N,则x=log10N,x称为以10为底的N的对数,简记为lgN,其满足运算法则:lgM+lgN=lg(M•N)(M>0,N>0).例如:因为102=100,所以2=lg100,亦即lg100=2;lg4+lg3=lg12.根据上述定义和运算法则,计算(lg2)2+lg2•lg5+lg5的结果为( )A.5B.2C.1D.0【分析】根据题意,按照题目的运算法则计算即可.【解答】解:(lg2)2+lg2•lg5+lg5=lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2+lg5=1g10=1.故选:C.二、填空题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,请将答案填在答题卡的答案栏内)11.在0,,﹣0.101001,π,中无理数的个数是 1 个.【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.【解答】解:0,,是整数,属于有理数;是分数,属于有理数;﹣0.101001是有限小数,属于有理数;无理数有π,共1个.故答案为:1.12.已知二次根式有意义,则x的取值范围是 x≥﹣3 .【分析】二次根式有意义,被开方数为非负数,列不等式求解.【解答】解:根据二次根式的意义,得x+3≥0,解得x≥﹣3.,故答案为:x≥﹣3.13.请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式: y=﹣ .【分析】根据反比例函数的性质可得k<0,写一个k<0的反比例函数即可.【解答】解:∵图象在第二、四象限,∴y=﹣,故答案为:y=﹣.14.某初级中学坚持开展阳光体育活动,七年级至九年级每学期均进行体育技能测试.其中A班甲、乙两位同学6个学期的投篮技能测试成绩(投篮命中个数)折线图如图所示.为参加学校举行的毕业篮球友谊赛,A班需从甲、乙两位同学中选1人进入班球队,从两人成绩的稳定性考虑,请你决策A班应该选择的同学是 甲 .【分析】根据折线统计图中甲、乙成绩的起伏情况判断即可得解.【解答】解:根据折线统计图可得,甲的投篮技能测试成绩起伏小,比较平稳,乙的投篮技能测试成绩起伏大,不稳定,因此A班应该选择的同学是甲.故答案为:甲.15.某同学在数学实践活动中,制作了一个侧面积为60π,底面半径为6的圆锥模型(如图所示),则此圆锥的母线长为 10 .,【分析】设此圆锥的母线长为l,利用扇形的面积公式得到×2π×6×l=60π,然后解方程即可.【解答】解:设此圆锥的母线长为l,根据题意得×2π×6×l=60π,解得l=10,所以此圆锥的母线长为10.故答案为10.16.如图,A,B两点的坐标分别为A(4,3),B(0,﹣3),在x轴上找一点P,使线段PA+PB的值最小,则点P的坐标是 (2,0) .【分析】连接AB交x轴于点P',求出直线AB的解析式与x轴交点坐标即可.【解答】解:如图,连接AB交x轴于点P',根据两点之间,线段最短可知:P'即为所求,设直线AB的关系式为:y=kx+b,,解得,,∴y=,当y=0时,x=2,∴P'(2,0),故答案为:(2,0).17.已知函数y=,若y=2,则x= 2 .【分析】根据题意,进行分类解答,即可求值.【解答】解:∵y=2.∴当x2=2时,x=.∵0≤x<1.∴x=(舍去).当2x﹣2=2时,x=2.故答案为:2.18.若x,y均为实数,43x=2021,47y=2021,则:(1)43xy•47xy=( 2021 )x+y;(2)+= 1 .【分析】(1)将43xy•47xy化成(43x)y•(47y)x代入数值即可计算;(2)由(1)知43xy•47xy=2021(x+y),43xy•47xy=(43×47)xy=2021xy,得出xy=x+y即可求.【解答】解:(1)43xy•47xy=(43x)y•(47y)x=2021y×2021x=2021x+y,故答案为:2021;(2)由(1)知,43xy•47xy=2021(x+y),∵43xy•47xy=(43×47)xy=2021xy,,∴xy=x+y,∴+==1,故答案为:1.三、解答题(共8小题,满分78分)19.(8分)先化简,再求值:(x+1)2+(2+x)(2﹣x),其中x=1.【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算,再合并同类项,最后代入求出答案即可.【解答】解:(x+1)2+(2+x)(2﹣x)=x2+2x+1+4﹣x2=2x+5,当x=1时,原式=2+5=7.20.(8分)若x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,则x1+x2=﹣,x1•x2=.现已知一元二次方程px2+2x+q=0的两根分别为m,n.(1)若m=2,n=﹣4,求p,q的值;(2)若p=3,q=﹣1,求m+mn+n的值.【分析】(1)利用根与系数的关系得到2﹣4=﹣,2×(﹣4)=,然后分别解方程求出p与q的值;(2)利用根与系数的关系得到m+n=﹣,mn=﹣,然后利用整体代入的方法计算.【解答】解:(1)根据题意得2﹣4=﹣,2×(﹣4)=,所以p=1,q=﹣8;(2)根据m+n=﹣=﹣,mn=﹣,所以m+mn+n=m+n+mn=﹣﹣=﹣1.21.(8分)为庆祝中国共产党成立100周年,某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动根据竞赛结果,抽取了200名学生的成绩(得分均为正整数,满分为100分,大于80分的为优秀)进行统计,绘制了如图所示尚不完整的统计图表.,200名学生党史知识竞赛成绩的频数表组别频数频率A组(60.5~70.5)a0.3B组(70.5~80.5)300.15C组(80.5~90.5)50bD组(90.5~100.5)600.3请结合图表解决下列问题:(1)频数表中,a= 60 ,b= 0.25 ;(2)请将频数分布直方图补充完整;(3)抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是 C 组;(4)若该校共有1000名学生,请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数.【分析】(1)根据频数分布表中的数据,可以计算出a、b、c的值;(2)根据(1)中a、b的值,可以将频数分布直方图补充完整;(3)根据频数分布表中的数据,可以计算出本次党史知识竞赛成绩超过80分的学生人数.【解答】解:(1)∵30÷0.15=200,∴a=200×0.3=60,b=50÷200=0.25,故答案为:60,0.25;(2)由(1)知,a=60,,如图,即为补全的频数分布直方图;(3)抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是C组;故答案为:C;(4)1000×(0.25+0.3)=1000×0.55=550(人),即本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数有550人.22.(10分)如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,AE∥BF.(1)求证:△AEC≌△BFD.(2)判断四边形DECF的形状,并证明.【分析】(1)根据已知条件得到AC=BD,根据平行线的判定定理得到∠A=∠B,由全等三角形的判定定理即可得到结论;(2)根据全等三角形的性质得到∠ACE=∠BDF,CE=DF,.由平行线的判定定理得到CE∥DF,根据平行四边形的判定定理即可得到结论.【解答】(1)证明:∵AD=BC,∴AD+DC=BC+DC,∴AC=BD,∵AE∥BF,∴∠A=∠B,在△AEC和△BFD中,,,∴△AEC≌△BFD(SAS).(2)四边形DECF是平行四边形,证明:∵△AEC≌△BFD,∴∠ACE=∠BDF,CE=DF,∴CE∥DF,∴四边形DECF是平行四边形.23.(10分)永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下,根据市场需求,计划在2022年将30亩土地全部用于种植A、B两种经济作物.预计B种经济作物亩产值比A种经济作物亩产值多2万元,为实现2022年A种经济作物年总产值20万元,B种经济作物年总产值30万元的目标,问:2022年A、B两种经济作物应各种植多少亩?【分析】设2022年A种经济作物应种植x亩,则B种经济作物应种植(30﹣x)亩,根据“预计B种经济作物亩产值比A种经济作物亩产值多2万元”列出方程并解答.【解答】解:设2022年A种经济作物应种植x亩,则B种经济作物应种植(30﹣x)亩,根据题意,得+2=.解得x=20或x=﹣15(舍去).经检验x=20是原方程的解,且符合题意.所以30﹣x=10.答:2022年A种经济作物应种植20亩,则B种经济作物应种植10亩.24.(10分)已知锐角△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,边角总满足关系式:==.,(1)如图1,若a=6,∠B=45°,∠C=75°,求b的值;(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD(如图2所示),若CD⊥AB,AC=14米,AB=10米,sin∠ACB=,求景观桥CD的长度.【分析】(1)由边角关系式可求解;(2)由边角关系式可求∠B=60°,在Rt△ACD中,利用勾股定理可求CD的长.【解答】解:∵∠B=45°,∠C=75°,∴∠A=60°,∵==,∴=,∴b=2;(2)∵=,∴=,∴sinB=,∴∠B=60°,∴tanB==,∴BD=CD,∵AC2=CD2+AD2,∴196=CD2+(10﹣CD)2,∴CD=8,CD=﹣3(舍去),,∴CD的长度为8米.25.(12分)如图1,AB是⊙O的直径,点E是⊙O上一动点,且不与A,B两点重合,∠EAB的平分线交⊙O于点C,过点C作CD⊥AE,交AE的延长线于点D.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)求证:AC2=2AD•AO;(3)如图2,原有条件不变,连接BE,BC,延长AB至点M,∠EBM的平分线交AC的延长线于点P,∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q.求证:无论点E如何运动,总有∠P=∠Q.【分析】(1)连接OC,由角平分线的定义、等腰三角形性质、三角形外角性质和切线的定义证明;(2)由△CDA∽△BCA,得证AC2=2AD•AO;(3)由外角性质、直径所对的圆周角是直角和角平分线定义证明.【解答】证明:(1)连接OC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠BOC=2∠OAC,∵AC平分∠BAE,∴∠BAE=2∠OAC,∴∠BAE=∠BOC,∴CO∥AD,∵∠D=90°,∴∠DCO=90°,,∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线.(2)∵AC平分∠BAE,∴∠BAC=∠CAD,∵AB是⊙O的直径,∴∠BCA=90°,∵∠D=90°,∴∠D=∠BCA,∴△BAC∽△CAD,∴,∴AC2=AB•AD,∵AB=2AO,∴AC2=2AD•AO.(3)∵∠CAB、∠CBM的角平分线交于点Q,∴∠QAM=∠CAB,∠QBM=∠CBM,∵∠Q是△QAB的一个外角,∠CBM是△ABC的一个外角,∴∠Q=∠QBM﹣∠QAM=(∠CBM﹣∠CAM),∠ACB=∠CBM﹣∠CAM,∴∠Q=∠ACB,∵∠ACB=90°,∴∠Q=45°,同理可证:∠P=45°,∴∠P=∠Q.,26.(12分)已知关于x的二次函数y1=x2+bx+c(实数b,c为常数).(1)若二次函数的图象经过点(0,4),对称轴为x=1,求此二次函数的表达式;(2)若b2﹣c=0,当b﹣3≤x≤b时,二次函数的最小值为21,求b的值;(3)记关于x的二次函数y2=2x2+x+m,若在(1)的条件下,当0≤x≤1时,总有y2≥y1,求实数m的最小值.【分析】(1)由待定系数法,及对称轴为直线x=﹣,可求出二次函数的表达式;(2)需要分三种情况:①b<﹣;②b﹣3>﹣;③b﹣3≤﹣≤b分别进行讨论;(3)根据二次函数图象的增减性可得结论.【解答】解:(1)∵二次函数的图象经过点(0,4),∴c=4;∵对称轴为直线:x=﹣=1,∴b=﹣2,∴此二次函数的表达式为:y1=x2﹣2x+4.(2)当b2﹣c=0时,b2=c,此时函数的表达式为:y1=x2+bx+b2,根据题意可知,需要分三种情况:①当b<﹣,即b<0时,二次函数的最小值在x=b处取到;∴b2+b2+b2=21,解得b=,b=﹣舍去;②b﹣3>﹣,即b>2时,二次函数的最小值在x=b﹣3处取到;∴(b﹣3)2+b(b﹣3)+b2=21,解得b=4,b=﹣1(舍去);③b﹣3≤﹣≤b,即0≤b≤2时,二次函数的最小值在x=﹣处取到;∴(﹣)2+b•(﹣)+b2=21,解得b=±2(舍去).综上,b的取值为或4.(3)由(1)知,二次函数的表达式为:y1=x2﹣2x+4,对称轴为直线:x=1,,∵1>0,∴当0≤x≤1时,y随x的增大而减小,且最大值为4;∵二次函数y2=2x2+x+m的对称轴为直线:x=﹣,且2>0,∴当0≤x≤1时,y随x的增大而增大,且最小值为m,∵当0≤x≤1时,总有y2≥y1,∴m≥4,即m的最小值为4.
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