2021年湖南省益阳市中考数学真题试卷【含答案解释可编辑】
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2021年湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题(本题共10个小题,每小题4分,共40分。每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.﹣2021的相反数等于( )A.2021B.﹣2021C.D.﹣2.已知a≠0,下列运算正确的是( )A.3a﹣2a=1B.3a•2a=6aC.a3÷a2=aD.(2a)3=6a33.将化为最简二次根式,其结果是( )A.B.C.D.4.解方程组时,若将①﹣②可得( )A.﹣2y=﹣1B.﹣2y=1C.4y=1D.4y=﹣15.正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象或性质的共有特征之一是( )A.函数值y随x的增大而增大B.图象在第一、三象限都有分布C.图象与坐标轴有交点D.图象经过点(2,1)6.以下有关勾股定理证明的图形中,不是中心对称图形的是( )A.B.C.D.7.如图,AB∥CD,△ACE为等边三角形,∠DCE=40°,则∠EAB等于( ),A.40°B.30°C.20°D.15°8.如图,在△ABC中,AC>BC,分别以点A,B为圆心,以大于AB的长为半径画弧,两弧交于D,E,经过D,E作直线分别交AB,AC于点M,N,连接BN,下列结论正确的是( )A.AN=NCB.AN=BNC.MN=BCD.BN平分∠ABC9.小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工,公司承诺:正常上班的工资为200元/天,不能正常上班(如下雨)的工资为80元/天,如果某月(30天)正常上班的天数占80%,则当月小刘的日平均工资为( )A.140元B.160元C.176元D.182元10.如图,已知▱ABCD的面积为4,点P在AB边上从左向右运动(不含端点),设△APD的面积为x,△BPC的面积为y,则y关于x的函数图象大致是( ),A.B.C.D.二、填空题(本题共8个小题,每小题4分,共32分.请将答案填在答题卡中对应题号的横线上)11.若实数a的立方等于27,则a= .12.一元二次方程x2﹣3x=0的解是 .13.已知x满足不等式组,写出一个符合条件的x的值 .14.小李在双休日到田间参加除草劳动,他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具,则他选到锄头的概率是 .15.已知y是x的二次函数,如表给出了y与x的几对对应值:x…﹣2﹣101234…y…11a323611…由此判断,表中a= .16.如图,AB与CD相交于点O,OE是∠AOC的平分线,且OC恰好平分∠EOB,则∠AOD= 度.17.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,从①AB=AD,②AC=BD,③∠,ABC=∠ADC中选择一个作为条件,补充后使四边形ABCD成为菱形,则其选择是 (限填序号).18.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,tan∠ABC=,将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α(0°<α<90°)得到△AB′C′,连接BB′,CC′,则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 .三、解答题(本题共8个小题,共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19先化简,再求值:,其中a=2.20如图,在矩形ABCD中,已知AB=6,∠DBC=30°,求AC的长.21如图,已知点A是一次函数y=2x﹣4的图象与x轴的交点,将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上.(1)求点A的坐标;(2)确定该反比例函数的表达式.,22为了促进全民健身活动的开展,某镇准备兴建一座休闲公园.为了解群众的运动需求,对周边爱好运动的居民的运动偏好进行了随机调查(每人限填一项),绘制成待完善的统计图表(综合类含舞蹈、太极拳等其他项目).(1)本次被调查的居民人数是多少?(2)补全条形统计图;(3)若该休闲公园辐射周边居民约1万人,爱好运动者占80%,请由此估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数.23.“2021湖南红色文化旅游节﹣﹣重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行,该镇南面山坡上有一座宝塔,一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量.如图所示,在山坡上的A点测得塔底B的仰角∠BAC=13°,塔顶D的仰角∠DAC=38°,斜坡AB=50米,求宝塔BD的高(精确到1米).(参考数据:sin13°≈0.22,cos13°≈0.97,tan13°≈0.23,sin38°≈0.62,cos38°≈0.79,tan38°≈0.78),24为了改善湘西北地区的交通,我省正在修建长(沙)﹣益(阳)﹣常(德)高铁,其中长益段将于2021年底建成.开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米,运行时间为16分钟;现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟,平均速度是开通后的高铁的.(1)求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米?(2)甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工,每天对其施工的长度比为7:9,计划40天完成;施工5天后,工程指挥部要求甲工程队提高工效,以确保整个工程提早3天以上(含3天)完成,那么甲工程队后期每天至少施工多少千米?25如图,在等腰锐角三角形ABC中,AB=AC,过点B作BD⊥AC于D,延长BD交△ABC的外接圆于点E,过点A作AF⊥CE于F,AE,BC的延长线交于点G.(1)判断EA是否平分∠DEF,并说明理由;(2)求证:①BD=CF;②BD2=DE2+AE•EG.,26已知函数y=的图象如图所示,点A(x1,y1)在第一象限内的函数图象上.(1)若点B(x2,y2)也在上述函数图象上,满足x2<x1.①当y2=y1=4时,求x1,x2的值;②若|x2|=|x1|,设w=y1﹣y2,求w的最小值;(2)过A点作y轴的垂线AP,垂足为P,点P关于x轴的对称点为P′,过A点作x轴的垂线AQ,垂足为Q,Q关于直线AP′的对称点为Q′,直线AQ′是否与y轴交于某定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.,参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.﹣2021的相反数等于( )A.2021B.﹣2021C.D.﹣【分析】根据相反数的定义即可得出答案.【解答】解:﹣2021的相反数是2021,故选:A.2.已知a≠0,下列运算正确的是( )A.3a﹣2a=1B.3a•2a=6aC.a3÷a2=aD.(2a)3=6a3【分析】A.直接合并同类项判断结果是否正确;B.直接利用单项式乘单项式运算法则判断结果是否正确;C.直接利用同底数幂的除法运算法则判断结果是否正确;D.直接利用积的乘方运算法则判断结果是否正确.【解答】解:A.3a﹣2a=a,故此选项不合题意;B.3a•2a=6a2,故此选项不合题意;C.a3÷a2=a,故此选项符合题意;D.(2a)3=8a3,故此选项不合题意;故选:C.3.将化为最简二次根式,其结果是( )A.B.C.D.【分析】根据二次根式的性质进行化简即可.【解答】解:==,故选:D.4.解方程组时,若将①﹣②可得( )A.﹣2y=﹣1B.﹣2y=1C.4y=1D.4y=﹣1【分析】①﹣②得出(2x+y)﹣(2x﹣3y)=3﹣4,再去括号,合并同类项即可.,【解答】解:,①﹣②,得4y=﹣1,故选:D.5.正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象或性质的共有特征之一是( )A.函数值y随x的增大而增大B.图象在第一、三象限都有分布C.图象与坐标轴有交点D.图象经过点(2,1)【分析】利用正比例函数y=2x与反比例函数y=的性质,对每个选项进行判断后得出结论.【解答】解:∵对于正比例函数y=2x,2>0,函数值y随x的增大而增大,对于反比例函数y=,2>0,双曲线在每一象限内函数值y随x的增大而减小,∴A选项不符合题意;∵对于正比例函数y=2x,2>0,直线y=2x在第一、三象限,对于反比例函数y=,2>0,双曲线的两个分支在第一、三象限,∴B选项符合题意;∵对于正比例函数y=2x,它的图象经过原点,对于反比例函数y=,它的图象与坐标轴没有交点,∴C选项不符合题意;∵当x=2,y=2×2=4≠1∴正比例函数y=2x的图象不经过点(2,1).∵当x=2时,y=,∴反比例函数y=的图象经过(2,1),∴D选项不符合题意.综上,正确选项为:B.故选:B.,6.以下有关勾股定理证明的图形中,不是中心对称图形的是( )A.B.C.D.【分析】根据中心对称图形的概念求解.把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.【解答】解:A.不是中心对称图形,符合题意;B.是中心对称图形,不符合题意;C.是中心对称图形,不符合题意;D.是中心对称图形,不符合题意.故选:A.7.如图,AB∥CD,△ACE为等边三角形,∠DCE=40°,则∠EAB等于( )A.40°B.30°C.20°D.15°【分析】根据平行线的性质可得∠DCA+∠CAB=180°,即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB=180°,由△ACE为等边三角形得∠ECA=∠EAC=60°,即可得出∠EAB的度数.【解答】解:∵AB∥CD,∴∠DCA+∠CAB=180°,即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB=180°,∵△ACE为等边三角形,,∴∠ECA=∠EAC=60°,∴∠EAB=180°﹣40°﹣60°﹣60°=20°.故选:C.8.如图,在△ABC中,AC>BC,分别以点A,B为圆心,以大于AB的长为半径画弧,两弧交于D,E,经过D,E作直线分别交AB,AC于点M,N,连接BN,下列结论正确的是( )A.AN=NCB.AN=BNC.MN=BCD.BN平分∠ABC【分析】直接利用线段垂直平分线的性质求解.【解答】解:由作法得DE垂直平分AB,∴NA=NB.故选:B.9.小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工,公司承诺:正常上班的工资为200元/天,不能正常上班(如下雨)的工资为80元/天,如果某月(30天)正常上班的天数占80%,则当月小刘的日平均工资为( )A.140元B.160元C.176元D.182元【分析】利用加权平均数的计算方法求解即可.【解答】解:[200×30×80%+80×30×(1﹣80%)]÷30=(4800+480)÷30=176(元),故选:C.10.如图,已知▱ABCD的面积为4,点P在AB边上从左向右运动(不含端点),设△APD的面积为x,△BPC的面积为y,则y关于x的函数图象大致是( ),A.B.C.D.【分析】根据平行四边形的性质可知,当点P在A处时(即x=0),△BPC的面积为2,当点P运动到B时(即x=2),△BPC的面积为0,因为△BPC的底边AP边上的高不变,所以y是x的一次函数,据此判断即可.【解答】解:∵▱ABCD的面积为4,∴当x=0时,y=2;x=2时,y=0;∵△BPC的底边AP边上的高不变,∴y是x的一次函数,故只有选项B符合题意.故选:B.二.填空题(共8小题)11.若实数a的立方等于27,则a= 3 .【分析】根据立方根的定义即可得出答案.【解答】解:∵a3=27,∴a==3,故答案为:3.12.一元二次方程x2﹣3x=0的解是 x1=0,x2=3 .,【分析】首先利用提取公因式法分解因式,由此即可求出方程的解.【解答】解:x2﹣3x=0,x(x﹣3)=0,∴x1=0,x2=3.故答案为:x1=0,x2=3.13.已知x满足不等式组,写出一个符合条件的x的值 0 .【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集,从而得出答案.【解答】解:解不等式x﹣2≤0,得:x≤2,又x>﹣1,∴不等式组的解集为﹣1<x≤2,∴符合不等式组的x的值为0或1或2等,故答案为:0(答案不唯一).14.小李在双休日到田间参加除草劳动,他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具,则他选到锄头的概率是 .【分析】由小李在双休日到田间参加除草劳动,他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具,利用概率公式可求他选到锄头的概率.【解答】解:∵小李在双休日到田间参加除草劳动,他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具,∴他选到锄头的概率是:.故答案为:.15.已知y是x的二次函数,如表给出了y与x的几对对应值:x…﹣2﹣101234…y…11a323611…由此判断,表中a= 6 .【分析】确定二次函数的对称轴,利用二次函数的对称性即可求解.【解答】解:由上表可知函数图象经过点(0,3)和点(2,3),,∴对称轴为x==1,∴x=﹣1时的函数值等于x=3时的函数值,∵当x=3时,y=6,∴当x=﹣1时,a=6.故答案为:6.16.如图,AB与CD相交于点O,OE是∠AOC的平分线,且OC恰好平分∠EOB,则∠AOD= 60 度.【分析】根据角平分线的定义得出∠AOE=∠COE,∠COE=∠BOC,求出∠AOE=∠COE=∠BOC,根据∠AOE+∠COE+∠BOC=180°求出∠BOC,再根据对顶角相等求出答案即可.【解答】解:∵OE是∠AOC的平分线,OC恰好平分∠EOB,∴∠AOE=∠COE,∠COE=∠BOC,∴∠AOE=∠COE=∠BOC,∵∠AOE+∠COE+∠BOC=180°,∴∠BOC=60°,∴∠AOD=∠BOC=60°,故答案为:60.17.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,从①AB=AD,②AC=BD,③∠ABC=∠ADC中选择一个作为条件,补充后使四边形ABCD成为菱形,则其选择是 ① (限填序号).,【分析】由菱形的判定、矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个条件进行判断即可.【解答】解:①∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,∴平行四边形ABCD是菱形;②∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形;③∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC,因此∠ABC=∠ADC时,四边形ABCD还是平行四边形;故答案为:①.18.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,tan∠ABC=,将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α(0°<α<90°)得到△AB′C′,连接BB′,CC′,则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 .【分析】证明△ACC′∽△ABB′,可得=()2,解决问题.【解答】解:由旋转的性质可知,∠BAC=∠B′AC′,∴∠BAB′=∠CAC′,∵AB=AB′,AC=AC′,,∴=,∴△ACC′∽△ABB′,∴=()2,∵∠CAB=90°,∴tan∠ABC==,∴∴=()2=.故答案为:.三.解答题19先化简,再求值:,其中a=2.【考点】分式的化简求值.【专题】分式;运算能力.【答案】,﹣2.【分析】先根据分式的加法法则进行计算,再根据分式的乘法法则进行计算,最后代入求出答案即可.【解答】解:原式=•=,当x=2时,原式==﹣2.20如图,在矩形ABCD中,已知AB=6,∠DBC=30°,求AC的长.【考点】等边三角形的判定与性质;矩形的性质.【专题】矩形菱形正方形;推理能力.【答案】AC=12.,【分析】根据矩形的性质得出CD=6,∠BCD=90°,AC=BD,再根据直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半,得出结论.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=6,AC=BD,∠BCD=90°,又∵∠DBC=30°,∴BD=2CD=2×6=12,∴AC=12.21如图,已知点A是一次函数y=2x﹣4的图象与x轴的交点,将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上.(1)求点A的坐标;(2)确定该反比例函数的表达式.【考点】一次函数的性质;一次函数图象与几何变换;反比例函数的性质;反比例函数图象上点的坐标特征;待定系数法求反比例函数解析式.【专题】一次函数及其应用;反比例函数及其应用;应用意识.【答案】(1)(2,0);(2)y=.【分析】(1)把y=0代入一次函数y=2x﹣4,求出x,即可得到点A的坐标;(2)根据平移的性质求出点B的坐标,设所求反比例函数解析式为y=,将B点坐标代入,即可求出该反比例函数的表达式.【解答】解:(1)∵点A是一次函数y=2x﹣4的图象与x轴的交点,∴当y=0时,2x﹣4=0,解得x=2,,∴点A的坐标为(2,0);(2)将点A(2,0)向上平移2个单位后得点B(2,2).设过点B的反比例函数解析式为y=,则2=,解得k=4,∴该反比例函数的表达式为y=.22为了促进全民健身活动的开展,某镇准备兴建一座休闲公园.为了解群众的运动需求,对周边爱好运动的居民的运动偏好进行了随机调查(每人限填一项),绘制成待完善的统计图表(综合类含舞蹈、太极拳等其他项目).(1)本次被调查的居民人数是多少?(2)补全条形统计图;(3)若该休闲公园辐射周边居民约1万人,爱好运动者占80%,请由此估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数.【考点】用样本估计总体;扇形统计图;条形统计图.【专题】统计的应用;数据分析观念;应用意识.【答案】(1)本次被调查的居民人数是400人;(2)见解析;(3)估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数是800人.【分析】(1)由步行类的人数及百分比即可求出本次被调查的居民人数;(2)用样本容量乘以球类的百分比求出其人数,从而补全图形;,(3)用总人数乘以爱好运动者的百分比求出爱好运动的人数,爱好运动的人数乘以偏好器械的百分比即可.【解答】解:(1)140÷35%=400(人),答:本次被调查的居民人数是400人;(2)偏好球类的人数:400×25%=100(人),补全条形统计图如下:(3)10000×80%×(1﹣35%﹣30%﹣25%)=800(人),答:估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数是800人.23.“2021湖南红色文化旅游节﹣﹣重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行,该镇南面山坡上有一座宝塔,一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量.如图所示,在山坡上的A点测得塔底B的仰角∠BAC=13°,塔顶D的仰角∠DAC=38°,斜坡AB=50米,求宝塔BD的高(精确到1米).(参考数据:sin13°≈0.22,cos13°≈0.97,tan13°≈0.23,sin38°≈0.62,cos38°≈0.79,tan38°≈0.78)【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题;解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.,【专题】解直角三角形及其应用;运算能力.【答案】27米.【分析】要求BD的长,由题意知可先求出BC、CD的长.再利用BD=CD﹣BC求出BD的长.【解答】解:在Rt△ABC中,sin∠BAC=,cos∠BAC=,∴BC=AB•sin∠BAC=AB•sin13°≈50×0.22=11(米);AC=AB•cos∠BAC=AB•cos13°≈50×0.97=48.5(米);在Rt△ADC中,tan∠DAC=,∴CD=AC•tan∠DAC=AC•tan38°≈48.5×0.78﹣37.83(米);∴BD=CD﹣BC≈37.83﹣11=26.83≈27(米),答:宝塔BD的高约为27米.24为了改善湘西北地区的交通,我省正在修建长(沙)﹣益(阳)﹣常(德)高铁,其中长益段将于2021年底建成.开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米,运行时间为16分钟;现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟,平均速度是开通后的高铁的.(1)求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米?(2)甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工,每天对其施工的长度比为7:9,计划40天完成;施工5天后,工程指挥部要求甲工程队提高工效,以确保整个工程提早3天以上(含3天)完成,那么甲工程队后期每天至少施工多少千米?【考点】二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用.【专题】一元一次不等式(组)及应用;应用意识.,【答案】(1)长益段高铁全长为64千米,长益城际铁路全长为104千米.(2)甲工程队后期每天至少施工0.85千米,可确保工程提早3天以上(含3天)完成.【分析】(1)设长益段高铁全长为x千米,长益城际铁路全长为y千米,由题意得到二元一次方程组,求解即可.(2)设甲队后期每天施工a千米,甲原来每天的施工长度为64÷40×=0.7(千米),乙每天的施工长度为64÷40×=0.9(千米),根据题意列出一元一次不等式即可.【解答】解:(1)设长益段高铁全长为x千米,长益城际铁路全长为y千米,根据题意,得:,解得:,答:长益段高铁全长为64千米,长益城际铁路全长为104千米.(2)设甲队后期每天施工a千米,甲原来每天的施工长度为64÷40×=0.7(千米),乙每天的施工长度为64÷40×=0.9(千米),根据题意,得:0.7×5+0.9×(40﹣3)+(40﹣3﹣5)a≥64,解得:a≥0.85,答:甲工程队后期每天至少施工0.85千米,可确保工程提早3天以上(含3天)完成.25如图,在等腰锐角三角形ABC中,AB=AC,过点B作BD⊥AC于D,延长BD交△ABC的外接圆于点E,过点A作AF⊥CE于F,AE,BC的延长线交于点G.(1)判断EA是否平分∠DEF,并说明理由;(2)求证:①BD=CF;②BD2=DE2+AE•EG.,【考点】圆的综合题.【专题】图形的相似;推理能力.【答案】(1)EA平分∠DEF,理由见解答过程;(2)证明见解答过程.【分析】(1)由AB=AC,得∠ABC=∠ACB,由∠ABC+∠AEC=180°,∠AEF+∠AEC=180°,得∠ABC=∠AEF,可推得∠AEB=∠AEF即可;(2)①通过HL证Rt△ABD≌Rt△ACF即可得出BD=CF;②由全等知DE=EF,BD2﹣DE2=BE•CE,通过相似可证BE•CE=AE•EG,即可解决问题.【解答】解:(1)EA平分∠DEF,理由如下:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又∵∠ACB=∠AEB,∴∠ABC=∠AEB∵∠ABC+∠AEC=180°,∠AEF+∠AEC=180°,∴∠ABC=∠AEF,∴∠AEB=∠AEF,∴EA平分∠DEF,(2)①由(1)知:EA平分∠DEF,∵BD⊥AC,AF⊥CE,∴AD=AF,在Rt△ABD和Rt△ACF中,,∴Rt△ABD≌Rt△ACF(HL),,∴BD=CF,②由△ADE≌△AFE可知:DE=FE,∴BD2﹣DE2=(BD+DE)(BD﹣DE)=BE(CF﹣EF)=BE•CE,∵∠BAE+∠BCE=180°,∠BCE+∠ECG=180°,∴∠BAE=∠ECG,∴△AEB∽△CEG,∴,∴BE•CE=AE•EG,∴BD2﹣DE2=AE•EG,即BD2=DE2+AE•EG.26已知函数y=的图象如图所示,点A(x1,y1)在第一象限内的函数图象上.(1)若点B(x2,y2)也在上述函数图象上,满足x2<x1.①当y2=y1=4时,求x1,x2的值;②若|x2|=|x1|,设w=y1﹣y2,求w的最小值;(2)过A点作y轴的垂线AP,垂足为P,点P关于x轴的对称点为P′,过A点作x轴的垂线AQ,垂足为Q,Q关于直线AP′的对称点为Q′,直线AQ′是否与y轴交于某定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.【考点】二次函数综合题.,【专题】函数的综合应用;推理能力.【答案】(1)①x1=2,x2=﹣4;②﹣;(2)直线AQ'与y轴交于一定点M,坐标为(0,).【分析】(1)①将y2=y1=4时代入相应解析式计算即可;②由|x2|=|x1|且x2<x1.x1>0得x1=﹣x2,将w化为自变量为x1的二次函数,求出最小值;(2)设直线AQ'交y轴于点M(0,b),连接QQ',由角平分线与平行,可推导出AM=MP',表示出AM,PM,AP的长度,通过勾股定理得出等式,化简即可解决问题.【解答】解:(1)①∵y=,由x2<x1且y2=y1=4时,由y1=x12=4,∴x1=2(负值舍),由y2=﹣x2=4,∴x2=﹣4,②∵|x2|=|x1|且x2<x1.x1>0,∴x2<0且x1=﹣x2,∴y1=x12,y2=﹣x2=x1,∴w=y1﹣y2=x12﹣x1=(x1﹣)2﹣,∴当x1=时,w有最小值为﹣,(2)如图,设直线AQ'交y轴于点M(0,b),连接QQ',,∵AQ⊥x轴,∴AQ∥y轴,∴∠AP'M=∠P'AQ,∵点Q与Q'关于AP'对称,∴AQ=AQ',AP'⊥QQ',∴∠P'AQ=∠P'AQ',∴∠AP'M=∠P'AQ',∴AM=P'M,∵点A(x1,y1)在第一象限内的函数图象上.∴x1>0,y1=x12>0,∴x1=,∵AP⊥y轴,∴P点的坐标为(0,y1),AP=x1=,∵点P与P'关于x轴对称,∴点P'的坐标为(0,﹣y1),∴PM=|y1﹣b|,AM=P'M=|y1+b|,∵在Rt△APM中,由勾股定理得:()2+|y1﹣b|2=|y1+b|2,化简得:y1﹣4by1=0,,∵y1>0,∴b=,∴直线AQ'与y轴交于一定点M,坐标为(0,).
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