2021年河北省中考数学试卷

2021年河北省中考数学试卷一、选择题（本大题有16个小题，共42分。1～10小题各3分，11～16小题各2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（　　）A．aB．bC．cD．d2．（3分）不一定相等的一组是（　　）A．a+b与b+aB．3a与a+a+aC．a3与a•a•aD．3（a+b）与3a+b3．（3分）已知a＞b，则一定有﹣4a□﹣4b，“□”中应填的符号是（　　）A．＞B．＜C．≥D．＝4．（3分）与结果相同的是（　　）A．3﹣2+1B．3+2﹣1C．3+2+1D．3﹣2﹣15．（3分）能与﹣（﹣）相加得0的是（　　）A．﹣﹣B．+C．﹣+D．﹣+6．（3分）一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（　　）第41页（共41页）,A．A代B．B代C．C代D．B代7．（3分）如图1，▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（　　）A．甲、乙、丙都是B．只有甲、乙才是C．只有甲、丙才是D．只有乙、丙才是8．（3分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（　　）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm9．（3分）若取1.442，计算﹣3﹣98的结果是（　　）A．﹣100B．﹣144.2C．144.2D．﹣0.0144210．（3分）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO＝8，S△CDO第41页（共41页）,＝2，则S正六边边ABCDEF的值是（　　）A．20B．30C．40D．随点O位置而变化11．（2分）如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a1，a2，a3，a4，a5，则下列正确的是（　　）A．a3＞0B．|a1|＝|a4|C．a1+a2+a3+a4+a5＝0D．a2+a5＜012．（2分）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　）A．0B．5C．6D．713．（2分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．证法1：如图，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．证法2：如图，∵∠A＝76°，∠B＝59°，第41页（共41页）,且∠ACD＝135°（量角器测量所得）又∵135°＝76°+59°（计算所得）∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．下列说法正确的是（　　）A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B．证法1用严谨的推理证明了该定理C．证法2用特殊到一般法证明了该定理D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理14．（2分）小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1及条形图2（柱的高度从高到低排列）．条形图不小心被撕了一块，图2中“（　　）”应填的颜色是（　　）A．蓝B．粉C．黄D．红15．（2分）由（﹣）值的正负可以比较A＝与的大小，下列正确的是（　　）A．当c＝﹣2时，A＝B．当c＝0时，A≠C．当c＜﹣2时，A＞D．当c＜0时，A＜16．（2分）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：①以O为圆心，OA为半径画圆；②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．第41页（共41页）,结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　）A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对二、填空题（本大题有3个小题，每小题有2个空，每空2分，共12分）17．（4分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为　　；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片　　块．18．（4分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应　　（填“增加”或“减少”）　　度．19．（4分）用绘图软件绘制双曲线m：y＝与动直线l：y＝a，且交于一点，图1为a＝8时的视窗情形．（1）当a＝15时，l与m的交点坐标为　　；第41页（共41页）,（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由﹣15≤x≤15及﹣10≤y≤10变成了﹣30≤x≤30及﹣20≤y≤20（如图2）．当a＝﹣1.2和a＝﹣1.5时，l与m的交点分别是点A和B，为能看到m在A和B之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数k＝　　．三、解答题（本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．（1）用含m，n的代数式表示Q；（2）若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值．21．（9分）已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x个．（1）淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：101﹣x＝2x．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；（2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A品牌球最多有几个．22．（9分）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示．嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．第41页（共41页）,23．（9分）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方．2号机从原点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处．（1）求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；（2）求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；（3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少．[注：（1）及（2）中不必写s的取值范围]24．（9分）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长PA7的值．第41页（共41页）,25．（10分）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD（包括端点）上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：（2）中不必写x的取值范围]26．（12分）在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？第41页（共41页）,尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出a的余弦值．第41页（共41页）,2021年河北省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有16个小题，共42分。1～10小题各3分，11～16小题各2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（　　）A．aB．bC．cD．d【解答】解：利用直尺画出图形如下：可以看出线段a与m在一条直线上．故答案为：a．故选：A．2．（3分）不一定相等的一组是（　　）A．a+b与b+aB．3a与a+a+aC．a3与a•a•aD．3（a+b）与3a+b【解答】解：A：因为a+b＝b+a，所以A选项一定相等；B：因为a+a+a＝3a，所以B选项一定相等；C：因为a•a•a＝a3，所以C选项一定相等；D：因为3（a+b）＝3a+3b，所以3（a+b）与3a+b不一定相等．第41页（共41页）,故选：D．3．（3分）已知a＞b，则一定有﹣4a□﹣4b，“□”中应填的符号是（　　）A．＞B．＜C．≥D．＝【解答】解：根据不等式的性质，不等式两边同时乘以负数，不等号的方向改变．∵a＞b，∴﹣4a＜﹣4b．故选：B．4．（3分）与结果相同的是（　　）A．3﹣2+1B．3+2﹣1C．3+2+1D．3﹣2﹣1【解答】解：＝＝＝2，∵3﹣2+1＝2，故A符合题意；∵3+2﹣1＝4，故B不符合题意；∵3+2+1＝6，故C不符合题意；∵3﹣2﹣1＝0，故D不符合题意．故选：A．5．（3分）能与﹣（﹣）相加得0的是（　　）A．﹣﹣B．+C．﹣+D．﹣+【解答】解：﹣（﹣）＝﹣+，与其相加得0的是﹣+的相反数．﹣+的相反数为+﹣，故选：C．6．（3分）一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（　　）第41页（共41页）,A．A代B．B代C．C代D．B代【解答】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，A与点数是1的对面，B与点数是2的对面，C与点数是4的对面，∵骰子相对两面的点数之和为7，∴A代表的点数是6，B代表的点数是5，C代表的点数是4．故选：A．7．（3分）如图1，▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（　　）A．甲、乙、丙都是B．只有甲、乙才是C．只有甲、丙才是D．只有乙、丙才是【解答】解：方案甲中，连接AC，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BN＝NO，OM＝MD，∴NO＝OM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；方案乙中：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，第41页（共41页）,∴∠ABN＝∠CDM，∵AN⊥B，CM⊥BD，∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（AAS），∴AN＝CM，又∵AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；方案丙中：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，∴∠BAN＝∠DCM，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（ASA），∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，∴∠ANM＝∠CMN，∴AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确；故选：A．8．（3分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（　　）第41页（共41页）,A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N，∵CD∥AB，∴△CDO∽ABO，即相似比为，∴＝，∵OM＝15﹣7＝8，ON＝11﹣7＝4，∴＝，＝，∴AB＝3，故选：C．9．（3分）若取1.442，计算﹣3﹣98的结果是（　　）A．﹣100B．﹣144.2C．144.2D．﹣0.01442【解答】解：∵取1.442，∴原式＝×（1﹣3﹣98）第41页（共41页）,＝1.442×（﹣100）＝﹣144.2．故选：B．10．（3分）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO＝8，S△CDO＝2，则S正六边边ABCDEF的值是（　　）A．20B．30C．40D．随点O位置而变化【解答】解：设正六边形ABCDEF的边长为x，过E作FD的垂线，垂足为M，连接AC，∵∠FED＝120°，FE＝ED，∴∠EFD＝∠FDE，∴∠EDF＝（180°﹣∠FED）＝30°，∵正六边形ABCDEF的每个角为120°．∴∠CDF＝120°﹣∠EDF＝90°．同理∠AFD＝∠FAC＝∠ACD＝90°，∴四边形AFDC为矩形，∵S△AFO＝FO×AF，S△CDO＝OD×CD，在正六边形ABCDEF中，AF＝CD，∴S△AFO+S△CDO＝FO×AF+OD×CD＝（FO+OD）×AF＝FD×AF第41页（共41页）,＝10，∴FD×AF＝20，DM＝cos30°DE＝x，DF＝2DM＝x，EM＝sin30°DE＝，∴S正六边形ABCDEF＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC＝AF×FD+2S△EFD＝x•x+2×x•x＝x2+x2＝20+10＝30，故选：B．11．（2分）如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a1，a2，a3，a4，a5，则下列正确的是（　　）A．a3＞0B．|a1|＝|a4|C．a1+a2+a3+a4+a5＝0D．a2+a5＜0【解答】解：﹣6与6两点间的线段的长度＝6﹣（﹣6）＝12，六等分后每个等分的线段的长度＝12÷6＝2，∴a1，a2，a3，a4，a5表示的数为：﹣4，﹣2，0，2，4，A选项，a3＝﹣6+2×3＝0，故该选项错误；B选项，|﹣4|≠2，故该选项错误；C选项，﹣4+（﹣2）+0+2+4＝0，故该选项正确；第41页（共41页）,D选项，﹣2+4＝2＞0，故该选项错误；故选：C．12．（2分）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　）A．0B．5C．6D．7【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，OP1+OP2＞P1P2，P1P2＜5.6，故选：B．13．（2分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．证法1：如图，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．证法2：如图，∵∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135°（量角器测量所得）第41页（共41页）,又∵135°＝76°+59°（计算所得）∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．下列说法正确的是（　　）A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B．证法1用严谨的推理证明了该定理C．证法2用特殊到一般法证明了该定理D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理【解答】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，∴A的说法不正确，不符合题意；∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，∴B的说法正确，符合题意；∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，∴C的说法不正确，不符合题意；∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次解答数的多少无关，∴D的说法不正确，不符合题意；综上，B的说法正确．故选：B．14．（2分）小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1及条形图2（柱的高度从高到低排列）．条形图不小心被撕了一块，图2中“（　　）”应填的颜色是（　　）第41页（共41页）,A．蓝B．粉C．黄D．红【解答】解：根据题意得：5÷10%＝50（人），16÷50%＝32%，则喜欢红色的人数是：50×28%＝14（人），50﹣16﹣5﹣14＝15（人），∵柱的高度从高到低排列，∴图2中“（　　）”应填的颜色是红色．故选：D．15．（2分）由（﹣）值的正负可以比较A＝与的大小，下列正确的是（　　）A．当c＝﹣2时，A＝B．当c＝0时，A≠C．当c＜﹣2时，A＞D．当c＜0时，A＜【解答】解：A选项，当c＝﹣2时，A＝＝﹣，故该选项不符合题意；B选项，当c＝0时，A＝，故该选项不符合题意；C选项，﹣＝﹣＝，∵c＜﹣2，∴2+c＜0，c＜0，∴2（2+c）＜0，∴＞0，∴A＞，故该选项符合题意；D选项，当c＜0时，∵2（2+c）的正负无法确定，∴A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意；故选：C．16．（2分）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：第41页（共41页）,①以O为圆心，OA为半径画圆；②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　）A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对【解答】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．∵OM＝ON，OE＝OF，∴四边形MENF是平行四边形，∵EF＝MN，∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，观察图象可知当∠MOF＝∠AOB，∴S扇形FOM＝S扇形AOB，观察图象可知，这样的点P不唯一，故（Ⅱ）错误，故选：D．第41页（共41页）,二、填空题（本大题有3个小题，每小题有2个空，每空2分，共12分）17．（4分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为　a2+b2　；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片　4　块．【解答】解：（1）由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2+b2，故答案为：a2+b2；（2）设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，∴a2+4b2+xab是一个完全平方式，∴x为4，故答案为：4．18．（4分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应　减小　（填“增加”或“减少”）　10　度．第41页（共41页）,【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠ECD＝∠ACB＝70°．∵∠DGF＝∠DCE+∠E，∴∠DGF＝70°+30°＝100°．∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，∴∠D＝10°．而图中∠D＝20°，∴∠D应减小10°．故答案为：减小，10．19．（4分）用绘图软件绘制双曲线m：y＝与动直线l：y＝a，且交于一点，图1为a＝8时的视窗情形．（1）当a＝15时，l与m的交点坐标为　（4，15）　；（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由﹣15≤x≤15及﹣10≤y≤10变成了﹣30≤x≤30及﹣20≤y≤20（如图2）．当a＝﹣1.2和a＝﹣1.5时，l与m的交点分别是点A和B，为能看到m在A和B之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数k＝　4　．第41页（共41页）,【解答】解：（1）a＝15时，y＝15，由得：，故答案为：（4，15）；（2）由得，∴A（﹣50，﹣1.2），由得，∴B（﹣40，﹣1.5），为能看到m在A（﹣50，﹣1.2）和B（﹣40，﹣1.5）之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，∴整数k＝4．故答案为：4．三、解答题（本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．（1）用含m，n的代数式表示Q；（2）若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值．【解答】（1）由题意可得：Q＝4m+10n；（2）将m＝5×104，n＝3×103代入（1）式得：Q＝4×5×104+10×3×103＝2.3×105．21．（9分）已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x第41页（共41页）,个．（1）淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：101﹣x＝2x．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；（2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A品牌球最多有几个．【解答】解：（1）嘉嘉所列方程为101﹣x＝2x，解得：x＝33，又∵x为整数，∴x＝33不合题意，∴淇淇的说法不正确．（2）设A品牌乒乓球有x个，则B品牌乒乓球有（101﹣x）个，依题意得：101﹣x﹣x≥28，解得：x≤36，又∵x为整数，∴x可取的最大值为36．答：A品牌球最多有36个．22．（9分）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示．嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．【解答】解：（1）嘉淇走到十字道口A向北走的概率为；第41页（共41页）,（2）补全树状图如下：共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种，∴向西参观的概率为＝，向南参观的概率＝向北参观的概率＝向东参观的概率＝，∴向西参观的概率大．23．（9分）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方．2号机从原点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处．（1）求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；（2）求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；（3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少．[注：（1）及（2）中不必写s的取值范围]【解答】解：（1）∵2号飞机爬升角度为45°，∴OA上的点的横纵坐标相同．第41页（共41页）,∴A（4，4）．设OA的解析式为：h＝ks，∴4k＝4．∴k＝1．∴OA的解析式为：h＝s．∵2号试飞机一直保持在1号机的正下方，∴它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同．∵2号机的爬升到A处时水平方向上移动了4km，爬升高度为4km，又1号机的飞行速度为3km/min，∴2号机的爬升速度为：4÷＝3km/min．（2）设BC的解析式为h＝ms+n，由题意：B（7，4），∴，解得：．∴BC的解析式为h＝．令h＝0，则s＝19．∴预计2号机着陆点的坐标为（19，0）．（3）∵PQ不超过3km，∴5﹣h≤3．∴，解得：2≤s≤13．∴两机距离PQ不超过3km的时长为：（13﹣2）÷3＝min．24．（9分）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；第41页（共41页）,（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长PA7的值．【解答】解：（1）由题意，∠A7OA11＝120°，∴的长＝＝4π＞12，∴比直径长．（2）结论：PA1⊥A7A11．理由：连接A1A7．∵A1A7是⊙O的直径，∴∠A7A11A1＝90°，∴PA1⊥A7A11．（3）∵PA7是⊙O的切线，∴PA7⊥A1A7，∴∠PA7A1＝90°，∵∠PA1A7＝60°，A1A7＝12，∴PA7＝A1A7•tan60°＝12．第41页（共41页）,25．（10分）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD（包括端点）上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：（2）中不必写x的取值范围]【解答】解：（1）图形如图所示，由题意台级T4左边的端点坐标（4.5，7），右边的端点（6，7），对于抛物线y＝﹣x2+4x+12，令y＝0，x2﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣2或6，∴A（﹣2，0），∴点A的横坐标为﹣2，当x＝4.5时，y＝9.75＞7，当x＝6时，y＝0＜7，当y＝7时，7＝﹣x2+4x+12，解得x＝﹣1或5，∴抛物线与台级T4有交点，设交点为R（5，7），第41页（共41页）,∴点P会落在哪个台阶T4上．（2）由题意抛物线C：y＝﹣x2+bx+c，经过R（5，7），最高点的纵坐标为11，∴，解得或（舍弃），∴抛物线C的解析式为y＝﹣x2+14x﹣38，对称轴x＝7，∵台阶T5的左边的端点（6，6），右边的端点为（7.5，6），∴抛物线C的对称轴与台阶T5有交点．（3）对于抛物线C：y＝﹣x2+14x﹣38，令y＝0，得到x2﹣14x+38＝0，解得x＝7±，∴抛物线C交x轴的正半轴于（7+，0），当y＝2时，2＝﹣x2+14x﹣38，解得x＝4或40，∴抛物线经过（10，2），Rt△BDE中，∠DEB＝90°，DE＝1，BE＝2，∴当点D与（7+，0）重合时，点B的横坐标的值最大，最大值为8+，当点B与（10，2）重合时，点B的横坐标最小，最小值为10，∴点B横坐标的最大值比最小值大﹣1．26．（12分）在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA第41页（共41页）,＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出a的余弦值．【解答】论证：证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（ASA），∴AO＝BO，∵AO+BO＝AB＝20，第41页（共41页）,∴AO＝10；发现：设AB的中点为O，如图：当AD从初始位置AO绕A顺时针旋转60°时，BC也从初始位置BC'绕点B顺时针旋转60°，而BO＝BC'＝10，∴△BC'O是等边三角形，∴BC旋转到BO的位置，即C以O重合，∵AO＝AD＝CD＝10，∴△ADC是等边三角形，∴∠ADC＝60°；尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，D、C、B共线，过D作DQ⊥AB于Q，过M作MN⊥AB于N，如图：由已知可得AD＝10，BD＝BC+CD＝20，BM＝CM+BC＝15，设AQ＝x，则BQ＝20﹣x，∵AD2﹣AQ2＝DQ2＝BD2﹣BQ2，∴100﹣x2＝400﹣（20﹣x）2，解得x＝，∴AQ＝，∴DQ＝＝，第41页（共41页）,∵DQ⊥AB，MN⊥AB，∴MN∥DQ，∴＝，即＝，∴MN＝，∴点M到AB的距离为；拓展：①设直线CP交DB于H，过G作DG⊥AB于G，连接DP，如图：∵BC＝DC＝10，CP平分∠BCD，∴∠BHC＝∠DHC＝90°，BH＝BD＝d，设BG＝m，则AG＝20﹣m，∵AD2﹣AG2＝BD2﹣BG2，∴100﹣（20﹣m）2＝d2﹣m2，∴m＝，∴BG＝，∵∠BHP＝∠BGD＝90°，∠PBH＝∠DBG，∴△BHP∽△BGD，∴＝，∴BP＝＝；②过B作BG⊥CD于G，如图：第41页（共41页）,设AN＝t，则BN＝20﹣t，DN＝＝，∵∠D＝∠BGN＝90°，∠AND＝∠BNG，∴△ADN∽△BGN，∴＝＝，即＝＝，∴NG＝，BG＝，Rt△BCG中，BC＝10，∴CG＝＝，∵CD＝10，∴DN+NG+CG＝10，即++＝10，∴t+（20﹣t）+20＝10t，20+20＝10t，即2＝t﹣2，两边平方，整理得：3t2﹣40t＝﹣4t，∵t≠0，∴3t﹣40＝﹣4，解得t＝（大于20，舍去）或t＝，∴AN＝，∴cosα＝＝＝．第41页（共41页）,方法二：过C作CK⊥AB于K，过F作FH⊥AC于H，如图：∵AD＝CD＝10，AD⊥DC，∴AC2＝200，∵AC2﹣AK2＝BC2﹣BK2，∴200﹣AK2＝100﹣（20﹣AK）2，解得AK＝，∴CK＝＝，Rt△ACK中，tan∠KAC＝＝，Rt△AFH中，tan∠KAC＝＝，设FH＝n，则CH＝FH＝n，AH＝5n，∵AC＝AH+CH＝10，∴5n+n＝10，解得n＝，∴AF＝＝n＝•＝，Rt△ADF中，cosα＝＝＝．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布第41页（共41页）,2021年北京市中考数学试卷一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　）A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱2．党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014﹣2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（　　）A．0.1692×1012B．1.692×1012C．1.692×1011D．16.92×10103．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为（　　）A．30°B．40°C．50°D．60°4．下列多边形中，内角和最大的是（　　）A．B．C．D．5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）第41页（共41页）,A．a＞﹣2B．|a|＞bC．a+b＞0D．b﹣a＜06．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（　　）A．B．C．D．7．已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜＜n+1，则n的值为（　　）A．43B．44C．45D．468．如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　）A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系二、填空题(共16分，每题2分)9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　　．10．分解因式：5x2﹣5y2＝　　．11．方程＝的解为　　．12．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为　　．13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝　　．14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC第41页（共41页）,．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是　　（写出一个即可）．15．有甲、乙两组数据，如下表所示：甲1112131415乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2　　s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．16．某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为　　．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为　　．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17．计算：2sin60°++|﹣5|﹣（π+）0．18．解不等式组：．19．已知a2+2b2﹣1＝0，求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）的值．20．《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．第41页（共41页）,（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在△ABC中，BA＝　　，D是CA的中点，∴CA⊥DB（　　）（填推理的依据）．∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．22．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝，求BF和AD的长．23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．第41页（共41页）,24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．25．为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：10.010.010.110.911.411.511.611.8c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：平均数中位数甲城市10.8m乙城市11.011.5根据以上信息，回答下列问题：第41页（共41页）,（1）写出表中m的值；（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由；（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．26．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是　　；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．第41页（共41页）,声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/6/257:42:04；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第41页（共41页）