2021年山东省德州市中考数学试卷

2021年山东省德州市中考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记分.1．（4分）的相反数是（　　）A．﹣3B．3C．D．2．（4分）据国家统计局公布，我国第七次全国人口普查结果约为14.12亿人，14.12亿用科学记数法表示为（　　）A．14.12×109B．0.1412×1010C．1.412×109D．1.412×1083．（4分）下列运算正确的是（　　）A．3a﹣4a＝﹣1B．﹣2a3•a2＝﹣2a6C．（﹣3a）3＝﹣9a3D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a24．（4分）如图所示的几何体，对其三视图叙述正确的是（　　）A．左视图和俯视图相同B．三个视图都不相同C．主视图和左视图相同D．主视图和俯视图相同5．（4分）八年级二班在一次体重测量中，小明体重54.5kg，低于全班半数学生的体重，分析得到结论所用的统计量是（　　）A．中位数B．众数C．平均数D．方差6．（4分）下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是（　　）A．AB＝CDB．AB＝BCC．∠BAD＝90°D．AC＝BD7．（4分）为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多10km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的第29页（共29页） ．小王乘公交车上班平均每小时行驶（　　）A．30kmB．36kmC．40kmD．46km8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为（　　）A．6﹣B．4﹣C．6﹣D．6﹣9．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（a是常数）的图象上，且y1＜y2＜0＜y3，则x1，x2，x3的大小关系为（　　）A．x2＞x1＞x3B．x1＞x2＞x3C．x3＞x2＞x1D．x3＞x1＞x210．（4分）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（　　）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．A．6米B．3米C．2米D．1米11．（4分）将含有30°的三角板ABC按如图所示放置，点A在直线DE上，其中∠BAD＝15°，分别过点B，C作直线DE的平行线FG，HI，点B到直线DE，HI的距离分别为h1，h2，则的值为（　　）第29页（共29页） A．1B．C．D．12．（4分）小红同学在研究函数y＝|x|+的图象时，发现有如下结论：①该函数有最小值；②该函数图象与坐标轴无交点；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④该函数图象关于y轴对称；⑤直线y＝8与该函数图象有两个交点，则上述结论中正确的个数为（　　）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分.13．（4分）方程x2﹣4x＝0的解为　　．14．（4分）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．请添加一个条件　　，使△ABF≌△DCE．15．（4分）如图所示的电路图中，当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为　　．16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交x第29页（共29页） 轴正半轴于点A，交y轴于点B，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧在y轴右侧相交于点P，连接OP，若OP＝2，则点P的坐标为　　．17．（4分）小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离S（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前12分钟的平均速度是70米/分钟；②他在第19分钟到家；③他在第15分钟离家的距离和第24分钟离家的距离相等；④他在第33分钟离家的距离是720米．其中正确的序号为　　．18．（4分）如图，在等边三角形ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，DJ⊥BC交CA延长线于点J，EK⊥AC交AB延长线于点K，FL⊥AB交BC延长线于点L；直线DJ，EK，FL两两相交得到△GHI，若S△GHI＝3，则AD＝　　．三、解答题：本大题共7小题，共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19．（8分）（1）计算：；（2）化简：．第29页（共29页） 20．（10分）国家航天局消息北京时间2021年5月15日，我国首次火星着陆任务宣告成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：（1）此次调查中接受调查的人数为　　人；（2）补全图1条形统计图；（3）扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为　　；（4）该校共有900人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？21．（10分）已知点A为函数y＝（x＞0）图象上任意一点，连接OA并延长至点B，使AB＝OA，过点B作BC∥x轴交函数图象于点C，连接OC．（1）如图1，若点A的坐标为（4，n），求点C的坐标；（2）如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，求四边形OCDA的面积．22．（12分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，点G，H分别在边AB，BC上，且FG⊥EH，垂足为P．（1）求证：FG＝EH；（2）若正方形ABCD边长为5，AE＝2，tan∠AGF＝，求PF的长度．第29页（共29页） 23．（12分）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝x2+20x+100，B城生产产品的每件成本为60万元．（1）当A城生产多少件产品时，A，B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？（2）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使A，B两城运费的和最小？24．（12分）已知⊙O为△ACD的外接圆，AD＝CD．（1）如图1，延长AD至点B，使BD＝AD，连接CB．①求证：△ABC为直角三角形；②若⊙O的半径为4，AD＝5，求BC的值；（2）如图2，若∠ADC＝90°，E为⊙O上的一点，且点D，E位于AC两侧，作△ADE关于AD对称的图形△ADQ，连接QC，试猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系并给予证明．25．（14分）小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：第29页（共29页） x…01234…y…36763…（1）请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：　　；（2）求抛物线C1的解析式；（3）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；①若直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ．求证：AB∥DQ．第29页（共29页） 2021年山东省德州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记分.1．（4分）的相反数是（　　）A．﹣3B．3C．D．【解答】解：根据相反数的定义，得的相反数是．故选：D．2．（4分）据国家统计局公布，我国第七次全国人口普查结果约为14.12亿人，14.12亿用科学记数法表示为（　　）A．14.12×109B．0.1412×1010C．1.412×109D．1.412×108【解答】解：14.12亿＝1412000000＝1.412×109．故选：C．3．（4分）下列运算正确的是（　　）A．3a﹣4a＝﹣1B．﹣2a3•a2＝﹣2a6C．（﹣3a）3＝﹣9a3D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2【解答】解：A.3a﹣4a＝﹣a，故错误；B．﹣2a3•a2＝﹣2a5，故错误；C．（﹣3a）3＝﹣27a3，故错误；D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，正确．故选：D．4．（4分）如图所示的几何体，对其三视图叙述正确的是（　　）第29页（共29页） A．左视图和俯视图相同B．三个视图都不相同C．主视图和左视图相同D．主视图和俯视图相同【解答】解：如图所示：故该几何体的主视图和左视图相同．故选：C．5．（4分）八年级二班在一次体重测量中，小明体重54.5kg，低于全班半数学生的体重，分析得到结论所用的统计量是（　　）A．中位数B．众数C．平均数D．方差【解答】解：八年级二班在一次体重排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数，半数学生的体重位于中位数或中位数以下，小明低于全班半数学生的体重所用的统计量是中位数，故选：A．6．（4分）下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是（　　）A．AB＝CDB．AB＝BCC．∠BAD＝90°D．AC＝BD【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴▱ABCD为菱形，故选项B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，∴▱ABCD为矩形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；第29页（共29页） 故选：B．7．（4分）为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多10km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的．小王乘公交车上班平均每小时行驶（　　）A．30kmB．36kmC．40kmD．46km【解答】解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶xkm，则乘公交车平均每小时行驶（x+10）km，由题意得：＝×，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，则x+10＝40，即小王乘公交车上班平均每小时行驶40km，故选：C．8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为（　　）A．6﹣B．4﹣C．6﹣D．6﹣【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝BC＝4，∴∠B＝∠DAB＝90°，AD＝AE＝4，∵AB＝2，∴cos∠BAE＝＝，∴∠BAE＝30°，∠EAD＝60°，∴BE＝AE＝2，第29页（共29页） ∴阴影部分的面积S＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD＝2×4﹣××2﹣＝6﹣．故选：D．9．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（a是常数）的图象上，且y1＜y2＜0＜y3，则x1，x2，x3的大小关系为（　　）A．x2＞x1＞x3B．x1＞x2＞x3C．x3＞x2＞x1D．x3＞x1＞x2【解答】解：∵a2+1＞0，∴反比例函数y＝（a是常数）的图象在一、三象限，如图所示，当y1＜y2＜0＜y3时，x3＞0＞x1＞x2，故选：D．10．（4分）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（　　）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．A．6米B．3米C．2米D．1米【解答】解：在Rt△BAD中，AB＝5米，∠BAD＝37°，则BD＝AB•sin∠BAD≈5×＝3（米），第29页（共29页） 在Rt△BCD中，∠C＝30°，∴BC＝2BD＝6（米），则调整后的楼梯会加长：6﹣5＝1（米），故选：D．11．（4分）将含有30°的三角板ABC按如图所示放置，点A在直线DE上，其中∠BAD＝15°，分别过点B，C作直线DE的平行线FG，HI，点B到直线DE，HI的距离分别为h1，h2，则的值为（　　）A．1B．C．D．【解答】解：设CE交FG于点M，∵∠CAB＝30°，∠BAD＝15°，∴∠DAC＝∠BAD+∠CAB＝45°，∵FG∥DE，∴∠CMB＝∠DAC＝45°，∴三角形BCM为等腰直角三角形，第29页（共29页） 在Rt△ABC中，设BC长为x，则CM＝BC＝x，∵∠CAB＝30°，∴CE＝BC＝x，∴ME＝x﹣x，∵HI∥FG∥DE，∴＝＝＝﹣1，故选：B．12．（4分）小红同学在研究函数y＝|x|+的图象时，发现有如下结论：①该函数有最小值；②该函数图象与坐标轴无交点；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④该函数图象关于y轴对称；⑤直线y＝8与该函数图象有两个交点，则上述结论中正确的个数为（　　）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣11234…y…545545…画出函数图象如图，观察图象：①该函数有最小值，符合题意；②该函数图象与坐标轴无交点，符合题意；第29页（共29页） ③当x＞0时，y随x的增大而增大，不合题意；④该函数图象关于y轴对称，符合题意；⑤令x|+＝8，整理得x2﹣8x+4＝0或x2+8x+4＝0，∵Δ＝82﹣4×1×4＞0，∴直线y＝8与函数y＝x2﹣8x+4和y＝x2+8x+4各有两个交点，∴直线y＝8与该函数图象有四个交点，不符合题意，综上，以上结论正确的有：①②④，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分.13．（4分）方程x2﹣4x＝0的解为　x1＝0，x2＝4　．【解答】解：x2﹣4x＝0x（x﹣4）＝0x＝0或x﹣4＝0x1＝0，x2＝4故答案是：x1＝0，x2＝4．14．（4分）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．请添加一个条件　∠B＝∠C　，使△ABF≌△DCE．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，∴BF＝CE，添加∠B＝∠C，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（AAS），第29页（共29页） 故答案为：∠B＝∠C．15．（4分）如图所示的电路图中，当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为　　．【解答】解：设S1、S2、S3、S4中分别用1、2、3、4表示，画树状图得：∵共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果，∴能够让灯泡发光的概率为：＝，故答案为：．16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧在y轴右侧相交于点P，连接OP，若OP＝2，则点P的坐标为　（2，2）　．【解答】解：如图，由作图知点P在第一象限角平分线上，第29页（共29页） ∴设点P的坐标为（m，m）（m＞0），∵OP＝2，∴m2+m2＝（2）2，∴m＝2，∴P（2，2），故答案为（2，2）．17．（4分）小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离S（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前12分钟的平均速度是70米/分钟；②他在第19分钟到家；③他在第15分钟离家的距离和第24分钟离家的距离相等；④他在第33分钟离家的距离是720米．其中正确的序号为　①④　．【解答】解：由图象知，前12分中的平均速度为：（1800﹣960）÷12＝70（米/分），故①正确；由图象知，小亮第19分中又返回学校，故②错误；小亮在返回学校时的速度为：（1800﹣960）÷（19﹣12）＝840÷7＝120（米/分），∴第15分离家距离：960+（15﹣12）×120＝1320，从21分到41分小亮的速度为：1800÷（41﹣21）＝1800÷20＝90（米/分），∴第24分离家距离：1800﹣（24﹣21）×90＝1800﹣270＝1530（米），∵1320≠1530，故③错误；小亮在33分离家距离：1800﹣（33﹣21）×90＝1800﹣1080＝720（米），故④正确，故答案为：①④．18．（4分）如图，在等边三角形ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，DJ⊥BC交CA第29页（共29页） 延长线于点J，EK⊥AC交AB延长线于点K，FL⊥AB交BC延长线于点L；直线DJ，EK，FL两两相交得到△GHI，若S△GHI＝3，则AD＝　2　．【解答】解：延长JD交BC于点N，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠BDN＝∠JDA＝90°﹣60°＝30°，∴∠J＝∠BAC﹣∠JDA＝30°，同理可得：∠L＝∠K＝∠CFL＝∠JFH＝∠GEL＝∠BEK＝30°，∴AD＝AJ＝CF＝CL＝BE＝BK，∴DK＝EL＝JF，∴△JDA≌△LFC≌△KEB（AAS），△JHF≌△LJE≌△DIK（ASA），过点A作AT⊥BC，交BC于点T，设AB＝BC＝AC＝a，第29页（共29页） 在Rt△ABT中，∠BAT＝30°，∴BT＝，AT＝，∴S△ABC＝，∵AD＝AJ＝CF＝CL＝BE＝BK，△JHF≌△LJE≌△DIK，∴JF＝EL＝DK＝a，过点H作HM⊥AC，交AC于点M，∵∠J＝∠JFH＝30°，∴JH＝FH，∴JM＝，在Rt△JHM中，HM＝，∴S△JHF＝，∴S△JHF+S△LJE+S△DIK＝3S△JHF＝3×＝S△ABC，∴S△JDA+S△FCL+S△BEK＝3S△JDA＝S△GHI，第29页（共29页） 过点A作AP⊥DJ，交DJ于点P，设AD＝x，在Rt△APD中，∠ADP＝30°，∴AP＝，DP＝，∴JD＝2DP＝，∴3S△JDA＝3×，∴，解得：x＝±2（负值舍去），即AD的值为2，故答案为：2．三、解答题：本大题共7小题，共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19．（8分）（1）计算：；（2）化简：．【解答】解：（1）原式＝1﹣4×+（﹣3）+3＝1﹣2﹣3+3＝1﹣2；（2）原式＝＝•＝﹣a﹣b．第29页（共29页） 20．（10分）国家航天局消息北京时间2021年5月15日，我国首次火星着陆任务宣告成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：（1）此次调查中接受调查的人数为　50　人；（2）补全图1条形统计图；（3）扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为　43.2°　；（4）该校共有900人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？【解答】解：（1）不关注、关注、比较关注的共有4+6+24＝34（人），占调查人数的1﹣32%＝68%，∴此次调查中接受调查的人数为34÷68%＝50（人），故答案为：50；（2）50×32%＝16（人），补全统计图如图所示：（3）360°×＝43.2°，故答案为：43.2°；第29页（共29页） （4）900×＝828（人），答：估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共有828人．21．（10分）已知点A为函数y＝（x＞0）图象上任意一点，连接OA并延长至点B，使AB＝OA，过点B作BC∥x轴交函数图象于点C，连接OC．（1）如图1，若点A的坐标为（4，n），求点C的坐标；（2）如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，求四边形OCDA的面积．【解答】解：（1）将点A坐标代入到反比例函数y＝中得，4n＝4，∴n＝1，∴点A的坐标为（4，1），∵AB＝OA，O（0，0），∴点B的坐标为（8，2），∵BC∥x轴，∴点C的纵坐标为2，令y＝2，则＝2，∴x＝2，∴点C的坐标为（2，2）；（2）∵BC∥x轴，∴BC⊥y轴，又AD⊥BC，∴AD∥y轴，∴D的横坐标为4，第29页（共29页） ∵D在BC上，∴D的纵坐标为2，∴D（4，2），∵S△OBC＝•BC•2＝BC＝8﹣2＝6，S△ADB＝BD•AD＝×4×1＝2，∴四边形OCDA的面积为：S△OBC﹣S△ADB＝6﹣2＝4．22．（12分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，点G，H分别在边AB，BC上，且FG⊥EH，垂足为P．（1）求证：FG＝EH；（2）若正方形ABCD边长为5，AE＝2，tan∠AGF＝，求PF的长度．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠A＝∠B＝90°，∴∠AGF+∠AFG＝90°，∵FG⊥EH，∴∠AGF+∠GEP＝90°，∴∠AFG＝∠GEP＝∠BEH，∵AE＝DF，∴AD﹣DF＝AB﹣AE，即AF＝BE，在△AFG和△BEH中，，∴△AFG≌△BEH（ASA），第29页（共29页） ∴FG＝EH；（2）解：∵AD＝5，AE＝DF＝2，∴AF＝5﹣2＝3，在Rt△AFG中，tan∠AGF＝，即＝，∴AG＝4，∴EG＝2，在Rt△AFG中，FG＝＝＝5，∵∠A＝∠EPG＝90°，∠AGF＝∠PGE，∴△AFG∽△PEG，∴＝，即＝，∴PG＝，∴PF＝FG﹣PG＝5﹣＝．23．（12分）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝x2+20x+100，B城生产产品的每件成本为60万元．（1）当A城生产多少件产品时，A，B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？（2）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使A，B两城运费的和最小？【解答】解：（1）设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W（万元），则W＝x2+20x+100+60（100﹣x）＝x2﹣40x+6100＝（x﹣20）2+5700，∴当x＝20时，W取得最小值，最小值为5700万元，∴A城生产20件，A，B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是5700万元；第29页（共29页） （2）设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，则从A城把该产品运往D地的产品数量为（20﹣n）件；从B城把该产品运往C地的产品数量为（90﹣n）件，则从B城把该产品运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，运费的和为P，由题意得：，解得10≤n≤20，P＝n+3（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n）＝n+60﹣3n+90﹣n+2n﹣20＝n﹣2n+130＝﹣n+130，根据一次函数的性质可得：P随x的增大而减小，∴当n＝20时，P取得最小值，最小值为110．24．（12分）已知⊙O为△ACD的外接圆，AD＝CD．（1）如图1，延长AD至点B，使BD＝AD，连接CB．①求证：△ABC为直角三角形；②若⊙O的半径为4，AD＝5，求BC的值；（2）如图2，若∠ADC＝90°，E为⊙O上的一点，且点D，E位于AC两侧，作△ADE关于AD对称的图形△ADQ，连接QC，试猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系并给予证明．【解答】证明：（1）①∵AD＝CD，BD＝AD，第29页（共29页） ∴DB＝DC．∴DC＝AB．∴△ABC为直角三角形；解：②连接OA，OD，如图，∵AD＝CD，∴，∴OD⊥AC且AH＝CH．∵⊙O的半径为4，∴OA＝OD＝4．设DH＝x，则OH＝4﹣x，∵AH2＝OA2﹣OH2，AH2＝AD2﹣DH2，∴52﹣x2＝42﹣（4﹣x）2．解得：x＝．∴DH＝．由①知：BC⊥AC，∵OD⊥AC，∴OD∥BC．∵AH＝CH，∴BC＝2DH＝．（2）QA，QC，QD三者之间的数量关系为：QC2＝2QD2+QA2．理由：第29页（共29页） 延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，如图，∵∠ADC＝90°，AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝45°．∴∠DFA＝∠E＝∠DCA＝45°，∠DFC＝∠DAC＝45°．∴∠QFC＝∠AFD+∠DFC＝90°．∴QC2＝QF2+CF2．∵△ADQ与△ADE关于AD对称，∴∠DQA＝∠E＝45°，∴∠DQA＝∠DFA＝45°，∴DQ＝DF．∴∠QDF＝180°﹣∠DQA﹣∠QFD＝90°．∴DQ2+DF2＝QF2．即QF2＝2DQ2．∵∠QDF＝∠ADC＝90°，∴∠QDA＝∠CDF．在△QDA和△FDC中，，∴△QDA≌△FDC（AAS）．∴QA＝FC．∴QC2＝2QD2+QA2．25．（14分）小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：x…01234…y…36763…第29页（共29页） （1）请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：　抛物线的顶点坐标为（2，7）　；（2）求抛物线C1的解析式；（3）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；①若直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ．求证：AB∥DQ．【解答】解：（1）∵表中的数据关于（2，7）对称，∴该抛物线的顶点为（2，7）．故答案为：抛物线的顶点坐标为（2，7）；（2）由题意抛物线的解析式为y＝aax2+bx+c，将表中的三对对应值代入得：，解得：．∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+4x+3．（3）①由（1）知：抛物线C1的顶点为（2，7），∴将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2的顶点为（﹣2，4）．∴抛物线C2的解析式为y＝﹣（x+2）2+4＝﹣x2+4x．第29页（共29页） 将（2，7）代入y＝x+b得：b＝6，将（﹣2，4）代入y＝x+b得：b＝5，∵直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，∴5＜b＜6．②由题意画出图形如下：过点A作AE⊥x轴于点E，∵抛物线C2的解析式为y＝﹣x2+4x，∴令y＝0，则＝﹣x2+4x＝0，解得：x＝0或x＝﹣4．∵抛物线C2与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），∴B（﹣4，0），C0，0）．∴OB＝2．由①知：抛物线C2的顶点为A（﹣2，4）．∴AE＝4，OE＝2，∴BE＝OB﹣OE＝2．在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝2．∵点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，∴设点P（m，﹣m2+4m），则m＜0，﹣m2+4m＞0．∵PD⊥x轴，∴OD＝﹣m．设直线AP的解析式为y＝kx+n，则：第29页（共29页） ，解得：．∴直线AP的解析式为y＝﹣（m+2）x﹣2m．令x＝0，则y＝﹣2m．∴Q（0，﹣2m）．∴OQ＝﹣2m．在Rt△ODQ中，tan∠QDO＝＝＝2．∴tan∠ABE＝tan∠QDO．∴∠ABE＝∠QDO．∴AB∥DQ．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/9/147:32:25；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第29页（共29页）