2021年广西百色市中考数学试卷

2021年广西百色市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1．（3分）﹣2022的相反数是（　　）A．﹣2022B．2022C．±2022D．20212．（3分）如图，与∠1是内错角的是（　　）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠53．（3分）骰子各面上的点数分别是1，2，…，6．抛掷一枚骰子，点数是偶数的概率是（　　）A．B．C．D．14．（3分）已知∠α＝25°30′，则它的余角为（　　）A．25°30′B．64°30′C．74°30′D．154°30′5．（3分）方程＝的解是（　　）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝36．（3分）一组数据4，6，x，7，10的众数是7，则这组数据的平均数是（　　）A．5B．6.4C．6.8D．77．（3分）下列各式计算正确的是（　　）A．33＝9B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．2+3＝5D．（2a2b）3＝8a8b38．（3分）下列展开图中，不是正方体展开图的是（　　）A．B．第24页（共24页） C．D．9．（3分）如图，在⊙O中，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以弦AB的端点A、B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；（2）作直线OM交AB于点N．若OB＝10，AB＝16，则tanB等于（　　）A．B．C．D．10．（3分）当x＝﹣2时，分式的值是（　　）A．﹣15B．﹣3C．3D．1511．（3分）下列四个命题：①直径是圆的对称轴；②若两个相似四边形的相似比是1：3，则它们的周长比是1：3，面积比是1：6；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．其中真命题有（　　）A．①③B．①④C．③④D．②③④12．（3分）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（　　）第24页（共24页） A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）的倒数是　　．14．（3分）某公司开展“爱心公益”活动，将价值16000元的物品捐赠给山区小学，数据16000用科学记数法表示为　　．15．（3分）如图，是一组数据的折线统计图，则这组数据的中位数是　　．16．（3分）实数的整数部分是　　．第24页（共24页） 17．（3分）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为　　米．18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝　　．三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：（π﹣1）0+|﹣2|﹣（）﹣1+tan60°．20．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．21．（6分）如图，O为坐标原点，直线l⊥y轴，垂足为M，反比例函数y＝＝（k≠0）的图象与交于点A（m，3），△AOM的面积为6．（1）求m、k的值；（2）在x轴正半轴上取一点B，使OB＝OA，求直线AB的函数表达式．第24页（共24页） 22．（8分）如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE．求证：（1）OD＝OE；（2）△ABE≌△ACD．23．（8分）为了解某校九年级500名学生周六做家务的情况，黄老师从中随机抽取了部分学生进行调查，将他们某一周六做家务的时间t（小时）分成四类（A：0≤t＜1，B：1≤t＜2，C：2≤t＜3，D：t≥3），并绘制如下不完整的统计表和扇形统计图．类别ABCD人数2183根据所给信息：（1）求被抽查的学生人数；（2）周六做家务2小时以上（含2小时）为“热爱劳动”，请你估计该校九年级“热爱劳动”的学生人数；（3）为让更多学生积极做家务，从A类与D类学生中任选2人进行交流，求恰好选中A类与D类各一人的概率（用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来）．第24页（共24页） 24．（10分）据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：第一圈长：87×2+2π（36+1.2×0）≈400（米）；第二圈长：87×2+2π（36+1.2×1）≈408（米）；第三圈长：87×2+2π（36+1.2×2）≈415（米）；……请问：（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）25．（10分）如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN第24页（共24页） ，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM．（1）求证：∠P＝45°；（2）若CD＝6，求PF的长．26．（12分）已知O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D．（1）求证：AD＝CD；（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．第24页（共24页） 2021年广西百色市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1．（3分）﹣2022的相反数是（　　）A．﹣2022B．2022C．±2022D．2021【解答】解：﹣2022的相反数是：2022．故选：B．2．（3分）如图，与∠1是内错角的是（　　）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5【解答】解：根据内错角的定义，∠1的内错角是∠4．故选：C．3．（3分）骰子各面上的点数分别是1，2，…，6．抛掷一枚骰子，点数是偶数的概率是（　　）A．B．C．D．1【解答】解：∵任意抛掷一次骰子共有6种等可能结果，其中朝上一面的点数为偶数的只有3种，∴朝上一面的点数为偶数的概率＝．故选：A．4．（3分）已知∠α＝25°30′，则它的余角为（　　）A．25°30′B．64°30′C．74°30′D．154°30′【解答】解：由题意得：∠α＝25°30′，故其余角为（90°﹣∠α）＝64°30′．故选：B．第24页（共24页） 5．（3分）方程＝的解是（　　）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝3【解答】解：∵＝，∴．去分母，得3（x﹣1）＝2x．去括号，得3x﹣3＝2x．移项，得3x﹣2x＝3．合并同类项，得x＝3．经检验：当x＝3时，3x（x﹣1）≠0．∴这个分式方程的解为x＝3．故选：D．6．（3分）一组数据4，6，x，7，10的众数是7，则这组数据的平均数是（　　）A．5B．6.4C．6.8D．7【解答】解：这组数据4，6，x，7，10的众数是7，因此x＝7，这组数据的平均数为＝6.8，故选：C．7．（3分）下列各式计算正确的是（　　）A．33＝9B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．2+3＝5D．（2a2b）3＝8a8b3【解答】解：A.33＝27，因此选项A不符合题意；B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，因此选项B不符合题意；C.2+3＝（2+3）＝5，因此选项C符合题意；D．（2a2b）3＝8a6b3，因此选项D不符合题意；故选：C．8．（3分）下列展开图中，不是正方体展开图的是（　　）A．B．第24页（共24页） C．D．【解答】解：选项A、B、C均能围成正方体；选项D围成几何体时，有两个面重合，故不能围成正方体．故选：D．9．（3分）如图，在⊙O中，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以弦AB的端点A、B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；（2）作直线OM交AB于点N．若OB＝10，AB＝16，则tanB等于（　　）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接OA，∴OA＝OB，根据作图过程可知：OM是AB的垂直平分线，∴AN＝BN＝AB＝8，在Rt△OBN中，OB＝10，BN＝8，第24页（共24页） 根据勾股定理，得ON＝＝6，∴tanB＝＝＝．故选：B．10．（3分）当x＝﹣2时，分式的值是（　　）A．﹣15B．﹣3C．3D．15【解答】解：原式＝＝＝，当x＝﹣2时，原式＝＝＝﹣15．故选：A．11．（3分）下列四个命题：①直径是圆的对称轴；②若两个相似四边形的相似比是1：3，则它们的周长比是1：3，面积比是1：6；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．其中真命题有（　　）A．①③B．①④C．③④D．②③④【解答】解：①直径所在的直线是圆的对称轴，原命题是假命题；②若两个相似四边形的相似比是1：3，则它们的周长比是1：3，面积比是1：9，原命题是假命题；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，是真命题；④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，是真命题；故选：C．第24页（共24页） 12．（3分）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（　　）A．B．C．D．【解答】解：①当M点运动在AE段，此时S＝S△HAE+S△GHD﹣S△EOM﹣S△GPS，∵四边形ABCD是矩形，直线l⊥AB，H、E、F、G为AD、AB、BC、CD的中点，第24页（共24页） ∴AH＝AD＝＝1，AE＝AB＝，S△HAE＝S△GHD，S△EOM＝S△GPS，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM，∴S△HAE＝AE•AH＝；∵直线l⊥AB，∴∠OME＝∠A＝90°，∠HEA＝∠OEM，∴△HAE∽△OME，∴，∴OM＝，又∵ME＝AE﹣AM＝﹣x，∴OM＝ME＝，∴S△EOM＝，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM＝，此时，对应抛物线开口向下；②当M点运动到在BE段，此时，S＝S△HAE+S△GHD+S△EO1M1+S△GP1S1，即S＝2S△HAE+2S△EO1M1，与①同理，O1M1＝，又∵M1E＝AM1﹣AE＝x﹣，∴O1M1＝M1E＝，第24页（共24页） ∴S△EO1M1＝，∴S＝2S△HAE+2S△EO1M1＝，此时，对应抛物线开口向上，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）的倒数是　　．【解答】解：的倒数是．故答案为：．14．（3分）某公司开展“爱心公益”活动，将价值16000元的物品捐赠给山区小学，数据16000用科学记数法表示为　1.6×104　．【解答】解：16000＝1.6×104，故答案为：1.6×104．15．（3分）如图，是一组数据的折线统计图，则这组数据的中位数是　9　．【解答】解：由图可得，这组数据分别是：4，8，9，11，12，所以这组数据的中位数是9，故答案为：9．16．（3分）实数的整数部分是　10　．【解答】解：∵＜＜，∴10＜＜11，∴的整数部分为10，第24页（共24页） 故答案为：10．17．（3分）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为　20　米．【解答】解：在Rt△APO中，OP＝15米，∠APO＝30°，∴OA＝（米），在Rt△POB中，OP＝15米，∠OPB＝60°，∴OB＝（米），∴AB＝OA+OB＝20（米），故答案为：20．18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝　3﹣　．【解答】解：∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠ACB＝72°，∠A＝36°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，∴∠A＝∠ACD，第24页（共24页） ∴AD＝CD，∵∠CDB＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∴∠CDB＝∠B，∴BC＝CD，∴BC＝AD，∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A＝36°，∴△BCD∽△BAC，∴BC：AB＝BD：BC，∴AD：AB＝BD：AD，∴点D是AB边上的黄金分割点，AD＞BD，∴AD＝AB＝﹣1，∴BD＝AB﹣AD＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故答案为：3﹣．三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：（π﹣1）0+|﹣2|﹣（）﹣1+tan60°．【解答】解：原式＝1+2﹣﹣3+＝0．20．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：解不等式5x≥8+x，得：x≥2，解不等式＞x﹣2，得：x＜7，则不等式组的解集为2≤x＜7，将不等式组的解集表示在数轴上如下：21．（6分）如图，O为坐标原点，直线l⊥y轴，垂足为M，反比例函数y＝＝（k≠0）的图象与交于点A（m，3），△AOM的面积为6．（1）求m、k的值；第24页（共24页） （2）在x轴正半轴上取一点B，使OB＝OA，求直线AB的函数表达式．【解答】解：（1）由题意可得：，∴，即m＝4，∴A（4，3），∴k＝xy＝12．（2）∵l⊥y轴，∴OB＝OA＝＝5，∴B（5，0）．设直线AB为y＝ax+b，∴，解得：a＝﹣3，b＝15．∴y＝﹣3x+15．22．（8分）如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE．求证：（1）OD＝OE；（2）△ABE≌△ACD．【解答】证明：（1）在△BOD和△COE中，第24页（共24页） ，∴△BOD≌△COE（AAS），∴OD＝OE；（2）∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴AD＝BD＝AB，AE＝CE＝AC，∵BD＝CE．∴AD＝AE，AB＝AC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）．23．（8分）为了解某校九年级500名学生周六做家务的情况，黄老师从中随机抽取了部分学生进行调查，将他们某一周六做家务的时间t（小时）分成四类（A：0≤t＜1，B：1≤t＜2，C：2≤t＜3，D：t≥3），并绘制如下不完整的统计表和扇形统计图．类别ABCD人数2183根据所给信息：（1）求被抽查的学生人数；（2）周六做家务2小时以上（含2小时）为“热爱劳动”，请你估计该校九年级“热爱劳动”的学生人数；（3）为让更多学生积极做家务，从A类与D类学生中任选2人进行交流，求恰好选中A类与D类各一人的概率（用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来）．【解答】解：（1）被抽查的学生人数为：18÷36%＝50（人）；第24页（共24页） （2）估计该校九年级“热爱劳动”的学生人数为：500×＝300（人）；（3）画树状图如图：共有20种等可能的结果，恰好选中A类与D类各一人的结果有12种，∴恰好选中A类与D类各一人的概率为＝．24．（10分）据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：第一圈长：87×2+2π（36+1.2×0）≈400（米）；第二圈长：87×2+2π（36+1.2×1）≈408（米）；第三圈长：87×2+2π（36+1.2×2）≈415（米）；……请问：（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）第24页（共24页） 【解答】解：（1）由题意得：（415﹣400）＝7.5（米），87×2+2π（36+1.2×7）≈453（米），答：第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多7.5米，小王计算的第八圈长约453米；（2）设小王的平均速度为x米/秒，邓教练的平均速度为y米/秒，由题意得：，解得：，答：小王的平均速度为米/秒，邓教练的平均速度为米/秒．25．（10分）如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM．（1）求证：∠P＝45°；（2）若CD＝6，求PF的长．【解答】解：（1）证明：连接OB，第24页（共24页） ∵PM、PN切⊙O于点A、B，∴OA⊥PM，OB⊥PN，∵CE∥PN，∴OB⊥CE，∵OB＝OC，∴∠C＝45°，∵BC∥PM，∴四边形PBCE是平行四边形，∴∠P＝∠C＝45°；（2）∵CD＝6，∴OB＝OA＝OD＝3，由（1）得∠1＝∠P＝45°，∴AE＝OA＝3，∴OE＝＝3＝BC，∴PE＝BC＝3，ED＝OE﹣OD＝3﹣3，∵ED∥PF，∴△AED∽△APF，∴＝，即＝，∴PF＝3．26．（12分）已知O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D．第24页（共24页） （1）求证：AD＝CD；（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点，∴A（4，0），C（0，2），由对称得∠ACD＝∠ACB，∵B（4，2），∴四边形O4BC是矩形，∴OA∥BC，∴∠BCA＝∠OAC，∴∠ACD＝∠OAC，∴AD＝CD；（2）解：设OD＝m，由对称可得CE＝BC＝4，AE＝AB＝OC＝2，∠AED＝∠B＝90°，∴CD＝AD＝4﹣m，在Rt△OCD中，OD2+OC2＝CD2，∴m2+22＝（4﹣m）2，∴m＝，∴D（，0），设经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式为：y＝ax2+bx+c，第24页（共24页） 把B（4，2），C（0，2），D（，0）代入得：，解得：．∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣x+2；（3）解：存在，过点E作EM⊥x轴于M，∵ED＝EC﹣CD＝EC﹣AD＝OD＝，∴S△AED＝AE•DE＝AD•EM，∴×2×＝×（4﹣）EM，∴EM＝，设△PBC中BC边上的高为h，∵S△PBC＝S△OAE，∴×OA•EM＝BC•h，∴××4×＝×4h，∴h＝2，第24页（共24页） ∵C（0，2），B（4，2），∴点P的纵坐标为0或4，①y＝0时，x2﹣x+2＝0，解得：x1＝，x2＝；②y＝4时，x2﹣x+2＝4，解得：x3＝，x2＝（舍去），∴存在，点P的坐标为（，0）或（，0）或（，4）．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/413:54:33；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第24页（共24页）