2020年河南省中考数学试卷
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2020年河南省中考数学试卷一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的.1.(3分)2的相反数是( )A.﹣2B.﹣C.D.22.(3分)如图摆放的几何体中,主视图与左视图有可能不同的是( )A.B.C.D.3.(3分)要调查下列问题,适合采用全面调查(普查)的是( )A.中央电视台《开学第一课》的收视率B.某城市居民6月份人均网上购物的次数C.即将发射的气象卫星的零部件质量D.某品牌新能源汽车的最大续航里程4.(3分)如图,l1∥l2,l3∥l4,若∠1=70°,则∠2的度数为( )A.100°B.110°C.120°D.130°5.(3分)电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位,其中1GB=210MB,1MB=210KB,1KB=210B.某视频文件的大小约为1GB,1GB等于( )A.230BB.830BC.8×1010BD.2×1030B6.(3分)若点A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数y=﹣的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )A.y1>y2>y3B.y2>y3>y1C.y1>y3>y2D.y3>y2>y17.(3分)定义运算:m☆n=mn2﹣mn﹣1.例如:4☆2=4×22﹣4×2﹣1=7.则方程1☆x=0的根的情况为( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根8.(3分)国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列方程为( )A.500(1+2x)=7500B.5000×2(1+x)=7500C.5000(1+x)2=7500D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=75009.(3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,边BC在x轴上,顶点A,B的坐标分别为(﹣2,6)和(7,0).将正方形OCDE沿x轴向右平移,当点E落在AB边上时,点D的坐标为( )第20页(共20页),A.(,2)B.(2,2)C.(,2)D.(4,2)10.(3分)如图,在△ABC中,AB=BC=,∠BAC=30°,分别以点A,C为圆心,AC的长为半径作弧,两弧交于点D,连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为( )A.6B.9C.6D.3二、填空题(每小题3分,共15分)11.(3分)请写出一个大于1且小于2的无理数 .12.(3分)已知关于x的不等式组其中a,b在数轴上的对应点如图所示,则这个不等式组的解集为 .13.(3分)如图所示的转盘,被分成面积相等的四个扇形,分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色.固定指针,自由转动转盘两次,每次停止后,记下指针所指区域(指针指向区域分界线时,忽略不计)的颜色,则两次颜色相同的概率是 .14.(3分)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长度为 .15.(3分)如图,在扇形BOC中,∠BOC=60°,OD平分∠BOC交于点D,点E为半径OB上一动点.若OB=2,则阴影部分周长的最小值为 .三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)第20页(共20页),16.(8分)先化简,再求值:(1﹣)÷,其中a=+1.17.(9分)为发展乡村经济,某村根据本地特色,创办了山药粉加工厂.该厂需购置一台分装机,计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择.试用时,设定分装的标准质量为每袋500g,与之相差大于10g为不合格.为检验分装效果,工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析,过程如下:[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋,测得实际质量(单位:g)如下:甲:501497498502513489506490505486502503498497491500505502504505乙:505499502491487506493505499498502503501490501502511499499501[整理数据]整理以上数据,得到每袋质量x(g)的频数分布表.质量频数机器485≤x<490490≤x<495495≤x<500500≤x<505505≤x<510510≤x<515甲224741乙135731[分析数据]根据以上数据,得到以下统计量.统计量机器平均数中位数方差不合格率甲499.7501.542.01b乙499.7a31.8110%根据以上信息,回答下列问题:(1)表格中的a= ,b= ;(2)综合上表中的统计量,判断工厂应迭购哪一台分装机,并说明理由.18.(9分)位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文化遗产之一.某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪,先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°,然后沿MP方向前进16m到达点N处,测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6m.(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1m.参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,≈1.41);(2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6m.请计算本次测量结果的误差,并提出一条减小误差的合理化建议.19.(9分)暑期将至,某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动,活动方案如下.方案一:购买一张学生暑期专享卡,每次健身费用按六折优惠;方案二:不购买学生暑期专享卡,每次健身费用按八折优惠.设某学生暑期健身x(次),按照方案一所需费用为y1(元),且y1=k1x+b;按照方案二所需费用为y2(元),且y2=k2x.其函数图象如图所示.(1)求k1和b的值,并说明它们的实际意义;(2)求打折前的每次健身费用和k2的值;第20页(共20页),(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次,应选择哪种方案所需费用更少?说明理由.20.(9分)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要,发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器.图1是它的示意图,其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上,且AB的长度与半圆的半径相等;DB与AC垂直于点B,DB足够长.使用方法如图2所示,若要把∠MEN三等分,只需适当放置三分角器,使DB经过∠MEN的顶点E,点A落在边EM上,半圆O与另一边EN恰好相切,切点为F,则EB,EO就把∠MEN三等分了.为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证明”过程.已知:如图2,点A,B,O,C在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点B, .求证: .21.(10分)如图,抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A,B,且OA=OB,点G为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及点G的坐标;(2)点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点,求点Q的纵坐标yQ的取值范围.22.(10分)小亮在学习中遇到这样一个问题:如图,点D是上一动点,线段BC=8cm,点A是线段BC的中点,过点C作CF∥BD,交DA的延长线于点F.当△DCF为等腰三角形时,求线段BD的长度.第20页(共20页),小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合学习函数的经验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整:(1)根据点D在上的不同位置,画出相应的图形,测量线段BD,CD,FD的长度,得到下表的几组对应值.BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0操作中发现:①“当点D为的中点时,BD=5.0cm”.则上表中a的值是 ;②“线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由.(2)将线段BD的长度作为自变量x,CD和FD的长度都是x的函数,分别记为yCD和yFD,并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象,如图所示.请在同一坐标系中画出函数yCD的图象;(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,并结合图象直接写出:当△DCF为等腰三角形时,线段BD长度的近似值(结果保留一位小数).23.(11分)将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′,记旋转角为α,连接BB′,过点D作DE垂直于直线BB′,垂足为点E,连接DB′,CE.(1)如图1,当α=60°时,△DEB′的形状为 ,连接BD,可求出的值为 ;(2)当0°<α<360°且α≠90°时,①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请仅就图2的情形进行证明;如果不成立,请说明理由;②当以点B′,E,C,D为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出的值.第20页(共20页),第20页(共20页),2020年河南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的.1.(3分)2的相反数是( )A.﹣2B.﹣C.D.2【解答】解:2的相反数是﹣2.故选:A.2.(3分)如图摆放的几何体中,主视图与左视图有可能不同的是( )A.B.C.D.【解答】解:A、主视图和左视图是长方形,一定相同,故本选项不合题意题意;B、主视图和左视图都是等腰三角形,一定相同,故选项不符合题意;C、主视图和左视图都是圆,一定相同,故选项不符合题意;D、主视图是长方形,左视图是正方形,故本选项符合题意;故选:D.3.(3分)要调查下列问题,适合采用全面调查(普查)的是( )A.中央电视台《开学第一课》的收视率B.某城市居民6月份人均网上购物的次数C.即将发射的气象卫星的零部件质量D.某品牌新能源汽车的最大续航里程【解答】解:A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率,适合抽查,故本选项不合题意;B、调查某城市居民6月份人均网上购物的次数,适合抽查,故本选项不合题意;C、调查即将发射的气象卫星的零部件质量,适合采用全面调查(普查),故本选项符合题意;D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程,适合抽查,故本选项不合题意.故选:C.4.(3分)如图,l1∥l2,l3∥l4,若∠1=70°,则∠2的度数为( )A.100°B.110°C.120°D.130°【解答】解:∵l1∥l2,∠1=70°,∴∠3=∠1=70°,∵l3∥l4,∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°,故选:B.第20页(共20页),5.(3分)电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位,其中1GB=210MB,1MB=210KB,1KB=210B.某视频文件的大小约为1GB,1GB等于( )A.230BB.830BC.8×1010BD.2×1030B【解答】解:由题意得:210×210×210B=210+10+10=230B,故选:A.6.(3分)若点A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数y=﹣的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )A.y1>y2>y3B.y2>y3>y1C.y1>y3>y2D.y3>y2>y1【解答】解:∵点A(﹣1,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)在反比例函数y=﹣的图象上,∴y1=﹣=6,y2=﹣=﹣3,y3=﹣=﹣2,又∵﹣3<﹣2<6,∴y1>y3>y2.故选:C.7.(3分)定义运算:m☆n=mn2﹣mn﹣1.例如:4☆2=4×22﹣4×2﹣1=7.则方程1☆x=0的根的情况为( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根【解答】解:由题意可知:1☆x=x2﹣x﹣1=0,∴△=1﹣4×1×(﹣1)=5>0,故选:A.8.(3分)国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列方程为( )A.500(1+2x)=7500B.5000×2(1+x)=7500C.5000(1+x)2=7500D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7500【解答】解:设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,由题意得:5000(1+x)2=7500,故选:C.9.(3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,边BC在x轴上,顶点A,B的坐标分别为(﹣2,6)和(7,0).将正方形OCDE沿x轴向右平移,当点E落在AB边上时,点D的坐标为( )第20页(共20页),A.(,2)B.(2,2)C.(,2)D.(4,2)【解答】解:如图,设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形,∵顶点A,B的坐标分别为(﹣2,6)和(7,0),∴AC=6,OC=2,OB=7,∴BC=9,∵四边形OCDE是正方形,∴DE=OC=OE=2,∴O′E′=O′C′=2,∵E′O′⊥BC,∴∠BO′E′=∠BCA=90°,∴E′O′∥AC,∴△BO′E′∽△BCA,∴=,∴=,∴BO′=3,∴OC′=7﹣2﹣3=2,∴当点E落在AB边上时,点D的坐标为(2,2),故选:B.10.(3分)如图,在△ABC中,AB=BC=,∠BAC=30°,分别以点A,C为圆心,AC的长为半径作弧,两弧交于点D,连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为( )A.6B.9C.6D.3【解答】解:连接BD交AC于O,∵AD=CD,AB=BC,∴BD垂直平分AC,∴BD⊥AC,AO=CO,第20页(共20页),∵AB=BC,∴∠ACB=∠BAC=30°,∵AC=AD=CD,∴△ACD是等边三角形,∴∠DAC=∠DCA=60°,∴∠BAD=∠BCD=90°,∠ADB=∠CDB=30°,∵AB=BC=,∴AD=CD=AB=3,∴四边形ABCD的面积=2×=3,故选:D.二、填空题(每小题3分,共15分)11.(3分)请写出一个大于1且小于2的无理数 .【解答】解:大于1且小于2的无理数是,答案不唯一.故答案为:.12.(3分)已知关于x的不等式组其中a,b在数轴上的对应点如图所示,则这个不等式组的解集为 x>a .【解答】解:∵b<0<a,∴关于x的不等式组的解集为:x>a,故答案为:x>a.13.(3分)如图所示的转盘,被分成面积相等的四个扇形,分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色.固定指针,自由转动转盘两次,每次停止后,记下指针所指区域(指针指向区域分界线时,忽略不计)的颜色,则两次颜色相同的概率是 .【解答】解:自由转动转盘两次,指针所指区域所有可能出现的情况如下:共有16种可能出现的结果,其中两次颜色相同的有4种,第20页(共20页),∴P(两次颜色相同)==,故答案为:.14.(3分)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长度为 1 .【解答】解:设DF,CE交于O,∵四边形ABCDA是正方形,∴∠B=∠DCF=90°,BC=CD=AB,∵点E,F分别是边AB,BC的中点,∴BE=CF,∴△CBE≌△DCF(SAS),∴CE=DF,∠BCE=∠CDF,∵∠CDF+∠CFD=90°,∴∠BCE+∠CFD=90°,∴∠COF=90°,∴DF⊥CE,∴CE=DF==,∵点G,H分别是EC,FD的中点,∴CG=FH=,∵∠DCF=90°,CO⊥DF,∴CF2=OF•DF,∴OF===,∴OH=,OD=,∵OC2=OF•OD,∴OC==,∴OG=CG﹣OC=﹣=,∴HG===1,故答案为:1.15.(3分)如图,在扇形BOC中,∠BOC=60°,OD平分∠BOC交于点D,点E为半径OB上一动点.若OB=2,则阴影部分周长的最小值为 .第20页(共20页),【解答】解:如图,作点D关于OB的对称点D′,连接D′C交OB于点E′,连接E′D、OD′,此时E′C+E′C最小,即:E′C+E′C=CD′,由题意得,∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°,∴∠COD′=90°,∴CD′===2,的长l==,∴阴影部分周长的最小值为2+=.故答案为:.三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)16.(8分)先化简,再求值:(1﹣)÷,其中a=+1.【解答】解:==a﹣1,把a=+1代入a﹣1=+1﹣1=.17.(9分)为发展乡村经济,某村根据本地特色,创办了山药粉加工厂.该厂需购置一台分装机,计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择.试用时,设定分装的标准质量为每袋500g,与之相差大于10g为不合格.为检验分装效果,工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析,过程如下:[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋,测得实际质量(单位:g)如下:甲:501497498502513489506490505486502503498497491500505502504505乙:505499502491487506493505499498502503501490501502511499499501[整理数据]整理以上数据,得到每袋质量x(g)的频数分布表.质量频数485≤x<490490≤x<495495≤x<500500≤x<505505≤x<510510≤x<515第20页(共20页),机器甲224741乙135731[分析数据]根据以上数据,得到以下统计量.统计量机器平均数中位数方差不合格率甲499.7501.542.01b乙499.7a31.8110%根据以上信息,回答下列问题:(1)表格中的a= 501 ,b= 5% ;(2)综合上表中的统计量,判断工厂应迭购哪一台分装机,并说明理由.【解答】解:(1)将乙的成绩从小到大排列后,处在中间位置的两个数都是501,因此中位数是501,b=1÷20=0.05=5%,故答案为:501,5%;(2)选择甲机器,理由:甲的不合格率较小,18.(9分)位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文化遗产之一.某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪,先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°,然后沿MP方向前进16m到达点N处,测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6m.(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1m.参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,≈1.41);(2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6m.请计算本次测量结果的误差,并提出一条减小误差的合理化建议.【解答】解:(1)过A作AD⊥PM于D,延长BC交AD于E,则四边形BMNC,四边形BMDE是矩形,∴BC=MN=16m,DE=CN=BM=1.6m,∵∠AED=90°,∠ACE=45°,∴△ACE是等腰直角三角形,∴CE=AE,设AE=CE=x,∴BE=16+x,∵∠ABE=22°,∴tan22°===0.40,∴x≈10.7(m),∴AD=10.7+1.6=12.3(m),答:观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m;(2)∵“景点简介”显示,观星台的高度为12.6m,∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3=0.3m,减小误差的合理化建议为:为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法.第20页(共20页),19.(9分)暑期将至,某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动,活动方案如下.方案一:购买一张学生暑期专享卡,每次健身费用按六折优惠;方案二:不购买学生暑期专享卡,每次健身费用按八折优惠.设某学生暑期健身x(次),按照方案一所需费用为y1(元),且y1=k1x+b;按照方案二所需费用为y2(元),且y2=k2x.其函数图象如图所示.(1)求k1和b的值,并说明它们的实际意义;(2)求打折前的每次健身费用和k2的值;(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次,应选择哪种方案所需费用更少?说明理由.【解答】解:(1)∵y1=k1x+b过点(0,30),(10,180),∴,解得,k1=15表示的实际意义是:购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元,b=30表示的实际意义是:购买一张学生暑期专享卡的费用为30元;(2)由题意可得,打折前的每次健身费用为15÷0.6=25(元),则k2=25×0.8=20;(3)选择方案一所需费用更少.理由如下:由题意可知,y1=15x+30,y2=20x.当健身8次时,选择方案一所需费用:y1=15×8+30=150(元),选择方案二所需费用:y2=20×8=160(元),∵150<160,∴选择方案一所需费用更少.20.(9分)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要,发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器.图1是它的示意图,其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上,且AB的长度与半圆的半径相等;DB与AC垂直于点B,DB足够长.第20页(共20页),使用方法如图2所示,若要把∠MEN三等分,只需适当放置三分角器,使DB经过∠MEN的顶点E,点A落在边EM上,半圆O与另一边EN恰好相切,切点为F,则EB,EO就把∠MEN三等分了.为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证明”过程.已知:如图2,点A,B,O,C在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点B, AB=OB,EN切半圆O于F .求证: EB,EO就把∠MEN三等分 .【解答】解:已知:如图2,点A,B,O,C在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点B,AB=OB,EN切半圆O于F.求证:EB,EO就把∠MEN三等分,证明:∵EB⊥AC,∴∠ABE=∠OBE=90°,∵AB=OB,BE=BE,∴△ABE≌△OBE(SAS),∴∠1=∠2,∵BE⊥OB,∴BE是⊙E的切线,∵EN切半圆O于F,∴∠2=∠3,∴∠1=∠2=∠3,∴EB,EO就把∠MEN三等分.故答案为:AB=OB,EN切半圆O于F;EB,EO就把∠MEN三等分.21.(10分)如图,抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A,B,且OA=OB,点G为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及点G的坐标;(2)点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点,求点Q的纵坐标yQ的取值范围.【解答】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B,∴点B(0,c),∵OA=OB=c,第20页(共20页),∴点A(c,0),∴0=﹣c2+2c+c,∴c=3或0(舍去),∴抛物线解析式为:y=﹣x2+2x+3,∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴顶点G为(1,4);(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴对称轴为直线x=1,∵点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,∴点M的横坐标为﹣2或4,点N的横坐标为6,∴点M坐标为(﹣2,﹣5)或(4,﹣5),点N坐标(6,﹣21),∵点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点,∴﹣21≤yQ≤4.22.(10分)小亮在学习中遇到这样一个问题:如图,点D是上一动点,线段BC=8cm,点A是线段BC的中点,过点C作CF∥BD,交DA的延长线于点F.当△DCF为等腰三角形时,求线段BD的长度.小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合学习函数的经验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整:(1)根据点D在上的不同位置,画出相应的图形,测量线段BD,CD,FD的长度,得到下表的几组对应值.BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0操作中发现:①“当点D为的中点时,BD=5.0cm”.则上表中a的值是 5 ;②“线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由.(2)将线段BD的长度作为自变量x,CD和FD的长度都是x的函数,分别记为yCD和yFD,并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象,如图所示.请在同一坐标系中画出函数yCD的图象;(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,并结合图象直接写出:当△DCF为等腰三角形时,线段BD长度的近似值(结果保留一位小数).第20页(共20页),【解答】解:(1)∵点D为的中点,∴=,∴BD=CD=a=5cm,故答案为:5;(2)∵点A是线段BC的中点,∴AB=AC,∵CF∥BD,∴∠F=∠BDA,又∵∠BAD=∠CAF,∴△BAD≌△CAF(AAS),∴BD=CF,∴线段CF的长度无需测量即可得到;(3)由题意可得:(4)由题意画出函数yCF的图象;由图象可得:BD=3.8cm或5cm或6.2cm时,△DCF为等腰三角形.23.(11分)将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′,记旋转角为α,连接BB′,过点D作DE垂直于直线BB′,垂足为点E,连接DB′,CE.(1)如图1,当α=60°时,△DEB′的形状为 等腰直角三角形 ,连接BD,可求出的值为 ;(2)当0°<α<360°且α≠90°时,第20页(共20页),①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请仅就图2的情形进行证明;如果不成立,请说明理由;②当以点B′,E,C,D为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出的值.【解答】解:(1)∵AB绕点A逆时针旋转至AB′,∴AB=AB',∠BAB'=60°,∴△ABB'是等边三角形,∴∠BB'A=60°,∴∠DAB'=∠BAD﹣∠BAB'=90°﹣60°=30°,∵AB'=AB=AD,∴∠AB'D=∠ADB',∴∠AB'D==75°,∴∠DB'E=180°﹣60°﹣75°=45°,∵DE⊥B'E,∴∠B'DE=90°﹣45°=45°,∴△DEB'是等腰直角三角形.∵四边形ABCD是正方形,∴∠BDC=45°,∴,同理,∴,∵∠BDB'+∠B'DC=45°,∠EDC+∠B'DC=45°,∴BDB'=∠EDC,∴△BDB'∽△CDE,∴.故答案为:等腰直角三角形,.(2)①两结论仍然成立.证明:连接BD,第20页(共20页),∵AB=AB',∠BAB'=α,∴∠AB'B=90°﹣,∵∠B'AD=α﹣90°,AD=AB',∴∠AB'D=135°﹣,∴∠EB'D=∠AB'D﹣∠AB'B=135°﹣=45°,∵DE⊥BB',∴∠EDB'=∠EB'D=45°,∴△DEB'是等腰直角三角形,∴,∵四边形ABCD是正方形,∴,∠BDC=45°,∴,∵∠EDB'=∠BDC,∴∠EDB'+∠EDB=∠BDC+∠EDB,即∠B'DB=∠EDC,∴△B'DB∽△EDC,∴.②=3或1.若CD为平行四边形的对角线,点B'在以A为圆心,AB为半径的圆上,取CD的中点.连接BO交⊙A于点B',过点D作DE⊥BB'交BB'的延长线于点E,由(1)可知△B'ED是等腰直角三角形,∴B'D=B'E,由(2)①可知△BDB'∽△CDE,且BB'=CE.∴=+1=+1=+1=+1=3.若CD为平行四边形的一边,如图3,第20页(共20页),点E与点A重合,∴=1.综合以上可得=3或1.声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2020/7/229:29:34;用户:柯瑞;邮箱:ainixiaoke00@163.com;学号:500557第20页(共20页)
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