2021年四川省眉山市中考数学真题解析

2021年初中毕业生学业考试数学试卷四川省眉山市中考数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑.1．6的相反数是（　　）A．﹣B．C．﹣6D．62．2020年7月23日，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在海南文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，每天基本飞行200万千米，并于2021年5月15日成功着陆预选区，火星上首次留下了中国的足迹．将200万用科学记数法表示为（　　）A．2×102B．2×106C．2×109D．0.2×1073．下列计算中，正确的是（　　）A．a5×a3＝a15B．a5÷a3＝aC．（﹣a2b3）4＝a8b12D．（a+b）2＝a2+b24．如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若∠1＝48°，则∠2的度数为（　　）A．42°B．48°C．52°D．60°5．正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（　　）A．1：3B．1：2C．2：1D．3：16．化简（1+）÷的结果是（　　）A．a+1B．C．D．7．全民反诈，刻不容缓！陈科同学参加学校举行的“防诈骗”主题演讲比赛，五位评委给出的分数分别为90，80，86，90，94，则这组数据的中位数和众数分别是（　　）A．80，90B．90，90C．86，90D．90，94 8．我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（　　）A．7.2πB．11.52πC．12πD．13.44π9．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（　　）A．﹣7B．﹣3C．2D．510．如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（　　）A．18°B．21°C．22.5°D．30°11．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（　　）A．y＝﹣x2﹣4x+5B．y＝x2+4x+5C．y＝﹣x2+4x﹣5D．y＝﹣x2﹣4x﹣512．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为（　　） A．①④B．①②③C．②③④D．①②③④二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上.13．分解因式：x3y﹣xy＝　　．14．一次函数y＝（2a+3）x+2的值随x值的增大而减少，则常数a的取值范围是　　．15．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为　　．16．若关于x的不等式x+m＜1只有3个正整数解，则m的取值范围是　　．17．观察下列等式：x1＝＝＝1+；x2＝＝＝1+；x3＝＝＝1+；…根据以上规律，计算x1+x2+x3+…+x2020﹣2021＝　　．18．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是　　． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上.19．（8分）计算：（4﹣）0﹣3tan60°﹣（﹣）﹣1+．20．（8分）解方程组：．21．（10分）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：（1）本次抽取调查的学生共有　　人，其中“了解较多”的占　　%；（2）请补全条形统计图；（3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有　　人；（4）“了解较少”的四名学生中，有3名学生A1，A2，A3是初一学生，1名学生B为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率．22．（10分）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A处测得该建筑物顶端C 的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B处，测得顶端C的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：sin24°≈，cos24°≈，tan24°≈）23．（10分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．（1）足球和篮球的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？24．（10分）如图，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线MN∥AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y＝﹣在第二象限内的图象交于C、D两点．（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；（2）求直线MN所对应的函数表达式；（3）求△BCN的面积． 25．（10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；（3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值． 2021年四川省眉山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑.1．6的相反数是（　　）A．﹣B．C．﹣6D．6【分析】根据相反数的概念得出结果即可．【解答】解：相反数指的是两个数符号不同但绝对值相同，所以6的相反数为﹣6．故选：C．2．2020年7月23日，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在海南文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，每天基本飞行200万千米，并于2021年5月15日成功着陆预选区，火星上首次留下了中国的足迹．将200万用科学记数法表示为（　　）A．2×102B．2×106C．2×109D．0.2×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【解答】解：200万＝2000000＝2×106，故选：B．3．下列计算中，正确的是（　　）A．a5×a3＝a15B．a5÷a3＝aC．（﹣a2b3）4＝a8b12D．（a+b）2＝a2+b2【分析】根据同底数幂乘法底数不变指数相加，同底数幂相除底数不变指数相减的运算法则及完全平方公式的展开正确求解即可．【解答】解:a5•a3＝a8，故A项不符合题意；a5÷a3＝a2，故B项不符合题意；（﹣a2b3）4＝a8b12，故C项符合题意；（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D项不符合题意；故选：C． 4．如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若∠1＝48°，则∠2的度数为（　　）A．42°B．48°C．52°D．60°【分析】利用平行线的性质得出∠3＝∠1，再利用直角三角形的性质得出∠2即可求解．【解答】解：如图，延长AB交矩形纸片于D，∴∠3＝∠1＝48°，∴∠2＝180°﹣90°﹣48°＝42°．故选：A．5．正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（　　）A．1：3B．1：2C．2：1D．3：1【分析】此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的360°．【解答】解：这个八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°；这个八边形的每个内角的度数为：1080°÷8＝135°；这个八边形的每个外角的度数为：360°÷8＝45°；∴这个八边形每个内角与每个外角的度数之比为：135:45＝3:1． 故选：D．6．化简（1+）÷的结果是（　　）A．a+1B．C．D．【分析】分式的混合运算，先算小括号里面的，然后算括号外面的．【解答】解：原式＝＝，故选：B．7．全民反诈，刻不容缓！陈科同学参加学校举行的“防诈骗”主题演讲比赛，五位评委给出的分数分别为90，80，86，90，94，则这组数据的中位数和众数分别是（　　）A．80，90B．90，90C．86，90D．90，94【分析】先将数据重新排列，再根据中位数和众数的定义求解可得．【解答】解：将数据重新排列为80，86，90，90，94，所以这组数据的中位数是90，众数为90，故选：B．8．我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（　　）A．7.2πB．11.52πC．12πD．13.44π【分析】根据几何体的三视图得这个几何体是上面圆锥下面是圆柱，再根据圆锥的侧面是扇形和圆柱的侧面是长方形即可求解．【解答】解：观察图形可知： 圆锥母线长为：＝2（米），所以该整流罩的侧面积为：π×2.4×4+π×(2.4÷2)×2＝12π（平方米）．答：该整流罩的侧面积是12π平方米．故选：C．9．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（　　）A．﹣7B．﹣3C．2D．5【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．故选：A．10．如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（　　）A．18°B．21°C．22.5°D．30°【分析】由圆周角定理可求∠ACB＝90°，由角的数量关系可求∠ABC＝22.5°，∠CAB＝67.5°，由直角三角形的性质可求∠CAH＝∠ACE＝22.5°，即可求解．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠CAB＝90°，∵＝3，∴∠CAB＝3∠ABC，∴∠ABC＝22.5°，∠CAB＝67.5°，∵CD⊥AB， ∴∠ACE＝22.5°，∵点H是AG的中点，∠ACB＝90°，∴AH＝CH＝HG，∴∠CAH＝∠ACE＝22.5°，∵∠CAF＝∠CBF，∴∠CBF＝22.5°，故选：C．11．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（　　）A．y＝﹣x2﹣4x+5B．y＝x2+4x+5C．y＝﹣x2+4x﹣5D．y＝﹣x2﹣4x﹣5【分析】由抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标与点C的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线顶点坐标，易得抛物线解析式．【解答】解：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）²+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．∴抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标是（﹣2，9）．∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）²+9＝﹣x²﹣4x+5．故选：A．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为（　　）A．①④B．①②③C．②③④D．①②③④【分析】①根据∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD为等边三角形，再由△DFE为等边三角形，得∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，即可得出结论①正确；②如图，连接OE，利用SAS证明△DAF≌△DOE，再证明△ODE≌△OCE ，即可得出结论②正确；③通过等量代换即可得出结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，通过△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，从而得出结论④正确；【解答】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，∵△DFE为等边三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠ADF＝∠EFC，∴∠BDE＝∠EFC，故结论①正确；②如图，连接OE，在△DAF和△DOE中，，∴△DAF≌△DOE(SAS)，∴∠DOE＝∠DAF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOE，在△ODE和△OCE中， ，∴△ODE≌△OCE(SAS)，∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，故结论②正确；③∵∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，∵OE′＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝6•tan30°＝2，∴点E运动的路程是2，故结论④正确；故选：D．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上.13．分解因式：x3y﹣xy＝　xy（x+1）（x﹣1）　．【分析】原式提取xy，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝xy（x2﹣1）＝xy（x+1）（x﹣1），故答案为：xy（x+1）（x﹣1）14．一次函数y＝（2a+3）x+2的值随x值的增大而减少，则常数a的取值范围是　a＜﹣　．【分析】先根据一次函数的性质得出关于a的不等式2a+3＜0，再解不等式即可求出a 的取值范围．【解答】解：∵一次函数y＝（2a+3）x+2的值随x值的增大而减少，∴2a+3＜0，解得a＜﹣．故答案为：a＜﹣．15．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为　　．【分析】直接利用基本作图方法结合线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理分别得出DC,AD的长，即可得出DE的长．【解答】解：如图所示：连接EC,由作图方法可得：MN垂直平分AC,则AE＝EC,∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，∴BD＝DC＝3,AD⊥BC,在Rt△ABD中，AD＝＝＝4,设DE＝x,则AE＝EC＝4﹣x,在Rt△EDC中，DE2+DC2＝EC2,即x2+32＝(4﹣x)2,解得：x＝,故DE的长为． 故答案为：．16．若关于x的不等式x+m＜1只有3个正整数解，则m的取值范围是　﹣3≤m＜2　．【分析】首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式只有3个正整数解，即可得到一个关于m的不等式组求得m的范围．【解答】解：解不等式x+m＜1得：x＜1﹣m，根据题意得：3＜1﹣m≤4，即﹣3≤m＜2,故答案是：﹣3≤m＜2．17．观察下列等式：x1＝＝＝1+；x2＝＝＝1+；x3＝＝＝1+；…根据以上规律，计算x1+x2+x3+…+x2020﹣2021＝　﹣　．【分析】根据已知等式，归纳总结得到拆项规律，根据规律展开，最后合并，即可求出答案．【解答】解：∵x1＝＝＝1+；x2＝＝＝1+；x3＝＝＝1+； …∴x1+x2+x3+…+x2020﹣2021＝1++1++1++…+1+﹣2021＝2020+1﹣+﹣+﹣+…﹣﹣2021＝﹣，故答案为：﹣．18．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是　　．【分析】过点P作PE⊥BC于E，由菱形的性质可得AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，可证△ABC是等边三角形，可求∠CBD＝30°，由直角三角形的性质可得PE＝PB，则MP+PB＝PM+PE，即当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，由锐角三角函数可求解．【解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于E，∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠CBD＝30°，∵PE⊥BC，∴PE＝PB， ∴MP+PB＝PM+PE，∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，∵AM＝3，∴MC＝7，∵sin∠ACB＝＝，∴ME＝，∴MP+PB的最小值为，故答案为．三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上.19．（8分）计算：（4﹣）0﹣3tan60°﹣（﹣）﹣1+．【分析】结合零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算和二次根式的化简可以求出结果．【解答】解：原式＝1﹣3×﹣（﹣2）+＝1﹣+2+＝3﹣．20．（8分）解方程组：．【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【解答】解：方程组整理得：，①×15+②×2得：49x＝﹣294，解得：x＝﹣6，把x＝﹣6代入②得：y＝1，则方程组的解为．21．（10分）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图回答下列问题：（1）本次抽取调查的学生共有　50　人，其中“了解较多”的占　30　%；（2）请补全条形统计图；（3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有　780　人；（4）“了解较少”的四名学生中，有3名学生A1，A2，A3是初一学生，1名学生B为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率．【分析】（1）先由了解较少的人数及其所占百分比求出总人数，用“了解较多”的人数除以总人数即可得出所占的百分比；（2）用总人数减去其它人数，求出基本了解的人数，从而补全统计图；（3）用总人数乘以“非常了解”和“了解较多”的学生所占的百分比即可；（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次抽取调查的学生共有4÷8%＝50（人），“了解较多”的所占的百分比是：×100%＝30%．故答案为：50，30；（2）“基本了解”的人数为50﹣（24+15+4）＝7（人），补全图形如下： （3）1000×＝780（人），答：估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有780人．故答案为：780；（4）列表如下：A1A2A3BA1（A2，A1）（A3，A1）（B，A1）A2（A1，A2）（A3，A2）（B，A2）A3（A1，A3）（A2，A3）（B，A3）B（A1，B）（A2，B）（A3，B）共有12种可能的结果，恰好抽到初一、初二学生各1名的有6种，则恰好抽到初一、初二学生各1名的概率为＝．22．（10分）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A处测得该建筑物顶端C的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B处，测得顶端C的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：sin24°≈，cos24°≈，tan24°≈） 【分析】过C作CF⊥AD于F，则AF＝CE，证△BCE是等腰直角三角形，得BE＝CE，设BE＝CE＝x米，则AF＝x米，再由锐角三角函数定义得AE＝x米，然后由AE﹣BE＝AB得x﹣x＝20，解方程，即可解决问题．【解答】解：过C作CF⊥AD于F，如图所示：则AF＝CE，由题意得：AB＝20米，∠AEC＝90°，∠CAE＝24°，∠CBE＝45°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BE＝CE，设BE＝CE＝x米，则AF＝x米，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝＝tan24°≈，∴AE＝x米，∵AE﹣BE＝AB，∴x﹣x＝20，解得：x≈16.4，∴AF≈16.4（米），∴DF＝AD﹣AF＝60﹣16.4＝43.6（米），即这栋建筑物的高度为43.6米． 23．（10分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．（1）足球和篮球的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？【分析】（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，根据数量＝总价÷单价，结合用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设学校可以购买m个篮球，则可以购买（200﹣m）个足球，利用总价＝单价×数量，结合购买足球和篮球的总费用不超过15500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，依题意得：＝2×，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∴2x﹣30＝90．答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元．（2）设学校可以购买m个篮球，则可以购买（200﹣m）个足球，依题意得：90m+60(200﹣m)≤15500，解得：m≤． 又∵m为正整数，∴m可以取的最大值为116．答：学校最多可以购买116个篮球．24．（10分）如图，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线MN∥AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y＝﹣在第二象限内的图象交于C、D两点．（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；（2）求直线MN所对应的函数表达式；（3）求△BCN的面积．【分析】（1）对于y＝x+6，令y＝x+6＝0，解得x＝﹣8，令x＝0，则y＝6，由点A、B的坐标得：AB＝＝10，即可求解；（2）在Rt△NHB中，NB＝＝，即直线AB向上平移个单位得到MN，即可求解；（3）联立MN的表达式和反比例函数表达式并整理得：3x2+49x+120＝0，得到点C的坐标为（﹣3,10），故CN＝＝5，进而求解．【解答】解：（1）对于y＝x+6，令y＝x+6＝0，解得x＝﹣8，令x＝0，则y＝6，故点A、B的坐标分别为（﹣8,0）、（0,6），∵∠AOB为直角，则AB是圆P的直径，由点A、B的坐标得：AB＝＝10， 故圆的半径＝AB＝5；（2）过点N作HN⊥AN于点H，设直线MN与圆P切于点G，连接PG，则HN＝PG＝5，则sin∠NBH＝sin∠ABO＝,在Rt△NHB中，NB＝＝，即直线AB向上平移个单位得到MN，故MN的表达式为y＝x+6+＝x+；（3）联立MN的表达式和反比例函数表达式并整理得：3x2+49x+120＝0，解得：x＝﹣3或﹣，故点C的坐标为（﹣3,10），由点C、N的坐标得：CN＝＝5，则△BCN的面积＝CN•NH＝×5×5＝．25．（10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长； （3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形两条对角线互相垂直平分且相等的性质，可证明△ACD≌△BCE；（2）过点M作MH⊥AD于点H，当∠ADC＝90°时，则∠ADM＝45°，由正方形的边长和AC的长，可计算出AD的长，利用△AMH和△DMH边之间的特殊关系列方程，可求出AM的长；（3）A、D、E三点在同一直线上又分两种情况，即点D在A、E两点之间或在射线AE上，需要先证明点B、E、F也在同一条直线上，然后在△ABE中用勾股定理列方程即可求出AD的长．【解答】解：（1）如图1，∵四边形DEFG是正方形，∴∠DCE＝90°，CD＝CE；∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE＝90°﹣∠BCD，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．（2）如图1，过点M作MH⊥AD于点H，则∠AHM＝∠DHM＝90°．∵∠DCG＝90°，CD＝CG，∴∠CDG＝∠CGD＝45°，∴∠ADC＝90°，∴∠MDH＝90°﹣45°＝45°，∴MH＝DH•tan45°＝DH； ∵CD＝DG•sin45°＝2×＝，AC＝2，∴AD＝＝，∴＝tan∠CAD＝＝，∴AH＝3MH＝3DH，∴3DH+DH＝3；∴MH＝DH＝，∵＝sin∠CAD＝＝，∴AM＝MH＝×＝．（3）如图3，A、D、E三点在同一直线上，且点D在点A和点E之间．∵CD＝CE＝CF，∠DCE＝∠ECF＝90°，∴∠CDE＝∠CED＝∠CEF＝∠CFE＝45°；由△ACD≌△BCE，得∠BEC＝∠ADC＝135°，∴∠BEC+∠CEF＝180°，∴点B、E、F在同一条直线上，∴∠AEB＝90°，∵AE2+BE2＝AB2，且DE＝2，AD＝BE，∴（AD+2）2+AD2＝（2）2+（2）2，解得AD＝﹣1或AD＝﹣﹣1（不符合题意，舍去）；如图4，A、D、E三点在同一直线上，且点D在AE的延长线上．∵∠BCF＝∠ACE＝90°﹣∠ACF，BC＝AC，CF＝CE，∴△BCF≌△ACE（SAS），∴∠BFC＝∠AEC，∵∠CFE＝∠CED＝45°，∴∠BFC+∠CFE＝∠AEC+∠CED＝180°，∴点B、F、E在同一条直线上；∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝90°+∠ACE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE； ∵AE2+BE2＝AB2，∴（AD﹣2）2+AD2＝（2）2+（2）2，解得AD＝+1或AD＝﹣1（不符合题意，舍去）．综上所述，AD的长为﹣1或+1． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）如图1，当BH＝AB＝2时，CH将△ABC将△ABC的面积分成2：1两部分，即点H的坐标为（2,0），则CH和抛物线的交点即为点P，进而求解；（3）在点OB上取点E（2,0），则∠ACO＝∠OCE，利用解直角三角形的方法，求出OM的长度，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，即﹣8a＝4，解得a＝﹣， 故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4①；（2）由点A、B的坐标知，OB＝2OA,故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上；如图1，当BH＝AB＝2时，CH将△ABC将△ABC的面积分成2：1两部分，即点H的坐标为（2,0），则CH和抛物线的交点即为点P，由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣2x+4②，联立①②并解得（不合题意的值已舍去），故点P的坐标为（6，﹣8）；（3）在点OB上取点E（2,0），则∠ACO＝∠OCE，∵∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA，故∠AMO＝∠ECB，过点E作EH⊥BC于点H， 在△BCE中，由OB＝OC知，∠OBC＝45°，则EH＝EB＝（4﹣2）＝＝BH，由点B、C的坐标知，BC＝4，则CH＝BC＝BH＝4＝3，则tan∠ECB＝＝＝tan∠AMO，则tan∠AMO＝＝＝,则OM＝6,故CM＝OM﹣OC＝6﹣4＝2,则t＝2÷1＝2．