小学数学讲义暑假六年级超常第6讲逻辑推理综合

第六讲第六讲逻辑推理综合知识站牌六年级秋季六年级暑期数字谜中的计数最值问题综合六年级暑期逻辑推理综合五年级春季概率初识五年级暑期几何计数进阶涉及到计算的逻辑推理；体育比赛；数独；综合性逻辑推理漫画释义第11级上超常体系教师版1\n课堂引入同学们一定都看过《名侦探柯南》吧！相信大家一定曾被柯南的破案能力所折服，那么柯南为什么能有这么高的破案能力呢？那是因为他有敏锐的观察力和超强的逻辑推理能力．还有大家知道福尔摩斯吗？福尔摩斯是英国小说家阿瑟·柯南道尔(SirArthurConanDoyle)所创造出的侦探，现在已成为世界通用的名侦探最佳代名词．福尔摩斯不但头脑冷静、观察力敏锐、推理能力极强，而且他的剑术、拳术和小提琴演奏水平也相当高超．柯南、福尔摩斯的共同特征就是逻辑推理能力强，为了当好侦探，我们就冷静下来，努力提高我们的逻辑推理能力吧！教学目标1.灵活运用假设法、列表法进行逻辑推理2.掌握体育比赛、数独中的相关推理技巧经典精讲一、体育比赛中的逻辑推理2nn(1)1.n支队伍的单循环比赛将进行mCn场比赛，其中每支队都进行(n1)场；22.体育比赛中的总分（记为A）问题胜、平、负按3、1、0积分制度，其中2mA3m，每出现一场平局，总分就会减少1分；胜、平、负按2、1、0积分制度，其中A2m，不管比赛情况如何，最后的总分总是不变的．3.一个小组内：胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数．二、数独中的逻辑推理解决数独问题时，应从条件较多的方面入手，如某个格子有几个以上的限制条件，或者某一行已经填充的数很多．往往这些格子容易较快地确定下来，然后再逐步处理其他条件．2第11级上超常体系教师版\n第六讲例题思路模块一：常规的逻辑推理例1：列表法的逻辑推理例2：假设法的逻辑推理例3：计算相关的逻辑推理模块二：体育比赛中的逻辑推理例4：胜负差两分的逻辑推理例5：足球积分中的逻辑推理例6：足球比赛最值中的逻辑推理模块三：数独与逻辑推理综合例7：分块数独例8：逻辑推理综合例1人的血通常为A型，B型，O型，AB型．子女的血型与其父母血型间的关系如下表所示：父母的血型子女可能的血型O，OOO，AA，OO，BB，OO，ABA，BA，AA，OA，BA，Ｂ，AB，OA，ABA，B，ABB，BB，OB，ABA，B，ABAB，ABA，B，AB现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为O、A、B．每个孩子的父母戴的帽子颜色相同，颜色也分红、黄、蓝三种，依次表示所具有的血型为AB、A、O．问：穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子？【分析】题中表明，每个孩子的父母是同血型的，因此父母均O型，孩子必O型，父母均A型，孩子必A型(孩子为O型的情况已被排除，O型孩子的父母已经确定为O型)．父母为AB型，孩子为B型，即红、黄、蓝上衣的孩子，父母分别戴蓝、黄、红帽子．例2有三位老师比年龄，她们每人说的三句话中都只有一句是错误的，请你分析出她们各是多少岁？肖老师：“我22岁，比小陈小2岁，比小胡大1岁．”陈老师：“我不是年龄最小的，小胡和我差3岁，小胡是25岁．”胡老师：“我比小肖年龄小，小肖23岁，小陈比小肖大3岁．”【分析】分析条件发现肖老师所说的两句话“比小陈小2岁，比小胡大1岁”与陈老师所说的“小胡和我差3岁”其实是一致的，因为每个人说的话只有一句是错的，那么这三句话应该都是对的，第11级上超常体系教师版3\n而肖老师说的“我22岁”这句话就应该是错的，在陈老师说的话中，“我不是年龄最小的”也是对的，而“小胡是25岁”就应该是错的；另外胡老师说的话中，“小陈比小肖大3岁”是错的，剩下两句话都是对的．所以小肖23岁，小胡22岁，小陈25岁．例340根长度相同的火柴棍摆成右图，如果将每根火柴棍看作长度为1的线段，那么其中可以数出30个正方形来．拿走5根火柴棍后，A、B、C、D、E五人分别作了如下的判断：A：“1×1的正方形还剩下5个．”B：“2×2的正方形还剩下3个．”C：“3×3的正方形全部保留下来了．”D：“拿走的火柴棍所在直线各不相同．”E：“拿走的火柴棍中有4根在同一直线上．”已知这5人中恰有2人的判断错了，那么剩下的图形中还能数出个正方形．（学案对应：超常1，带号1）【分析】(1)每拿走1根火柴棍，最多减少2个11小正方形，拿5根最多减少10个11的小正方形，所以11的正方形至少还有6个，A必错；(2)显然D、E矛盾，必有1错，故B、C都对；(3)C对，所以将33需要的正方形火柴棍保留，即第1，2，4，5行及第1，2，4，5列的32根都要保留，得知D必错，E对；(4)根据E知，中间行或中间列都被取走，根据B知另外的中间列(行)的第1个或第4个被拿走，于是剩14个正方形(包括6个11，3个22，4个33，1个44)；如图例4在一次“25分制”的女子排球比赛中，中国队以3:0战胜俄罗斯队．中国队3局的总分为77分，俄罗斯队3局的总分为68分，且每一局的比分差不超过4分．则3局的比分分别是____:____、____:____、____:____．(不考虑这3局比分之间的顺序)（学案对应：超常2）【分析】在25分制的比赛中，如果一个队得到25分而另一个队的得分少于24分，则得25分的队获胜；如果一个队得到25分时另一个队得了24分，此时双方还要继续进行比赛，直到双方得分的差变成2分，得分多的那支队才获胜．本题中，由于772532，所以中国队三场比赛的得分可能为26分，26分，25分或27分，25分，25分．如果是26分，26分，25分，有两场超过了25分，说明俄罗斯有两场得分是26224分，4第11级上超常体系教师版\n第六讲另一场的得分是68242420分，则有一局的比分为25:20，比分差大于4分，不满足条件．从而中国队三场的得分分别为27分，25分，25分，俄罗斯有一场得分为27225分，另两场得分和为682543分，又另两场每场得分均不少于25421分，则另两场的得分应分别为21分和22分．因此3局的比分分别是27:25，25:21，25:22．1.理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一个理发师，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发．试问：理发师给不给自己理发？如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发．这样，理发师陷入了两难的境地．2．西元前6世纪，克利特哲学家埃庇米尼得斯（Epimenides）说了一句很有名的话：“所有克利特人都说谎．”这句话有名是因为它没有答案．因为如果埃庇米尼得斯所言为真，那么克利特人就全都是说谎者，身为克利特人之一的埃庇米尼得斯自然也不例外，于是他所说的这句话应为谎言，但这跟先前假设此言为真相矛盾；又假设此言为假，那么也就是说所有克利特人都不说谎，自己也是克利特人的埃庇米尼得斯就不是在说谎，就是说这句话是真的，但如果这句话是真的，又会产生矛盾．因此这句话是没有解释的．例5⑴5个足球队进行比赛，每个球队都与其他球队各比一场，共需比赛多少场？⑵5个足球队进行比赛，每个球队都与其他球队各比一场，胜方得2分，负方得0分，平局各得1分，五个足球队总积分是多少分？⑶5个足球队进行比赛，每个球队都与其他球队各比一场，胜方得3分，负方得0分，平局各得1分，五个足球队总积分最高是多少分？最低是多少分？⑷5支球队进行足球比赛，每个球队都与其他球队各比一场，胜方得3分，负方得0分，平局各得1分，全部比赛结束后，发现共有2场平局，且其中4支球队共得了25分，则第5支球队得了多少分？⑸5个足球队进行比赛，每个球队都与其他球队各比一场，胜方得3分，负方得0分，平局各得1分．最后五个队分别得10分、8分、7分、3分和0分，请列出各队的胜、平、负情况．最终你发现了什么规律？⑹5个足球队进行比赛，每个球队都与其他球队各比一场，胜方得3分，负方得0分，平局各得1分．最后四个队分别得1分、2分、5分和7分，那么第五个队得多少分？⑺5个足球队进行比赛，每个球队都与其他球队各比一场，胜方得3分，负方得0分，平局各得1分．最后四个队分别得1分、2分、5分和7分，请列出每队和其他四队比赛的胜、平、负情况.2【分析】⑴C10(场)或432110（场）5第11级上超常体系教师版5\n⑵共比赛10场，不管是胜负局，还是平局，每场比赛双方共积分2分，所以总积分为10220（分）．⑶共比赛10场，如果得分最高，就是没有平局，因此总积分最高为10330（分）；如果得分最低就是五个队间比赛均为相互平局，因此总积分最低为10220（分）．⑷共比赛10场，其中有2场平局，所以有1028场分出了胜负，那么5支球队总得分为223828分，由于有4支球队共得了25分，所以第5支球队得了28253分．⑸根据题意列表：有如下两种情况：队别得分胜平负队别得分胜平负1103101103102822028220372113721143031431035000450004合计776合计848第二个表格胜的总场数不等于负的总场数，且平局的总场数是奇数，不符合题意，所以只有第一个表格成立．规律是一个小组内：胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数．⑹每支队伍都打过四场比赛，显然，根据比赛规则，得1分的队伍只能是1平3负，得2分的队伍只能是2平2负，得5分的队伍只能是1胜2平1负，得7分的队伍只能是2胜1平1负，不难得到下表：队别得分胜平负11013220223512147211合计367从表中可以看出，这四个队共负了7场，胜了3队，由于每场比赛如果分出胜负那么就有一方负而另一方胜，所以5个队胜和负的总场次应该相等，所以第5队应该胜了4场，那么第5队得了12分．⑺根据（6）对阵情况列表如下：队别123451×133321×133301×134001×350000×总分1257126第11级上超常体系教师版\n第六讲例6(第十五届华杯赛决赛)足球队A，B，C，D，E进行单循环赛(每两队赛一场)，每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分．若A，B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？（学案对应：超常3，带号2）【分析】设A、B、C、D、E五队总分分别为a、b、c、d、e，五队总和Sabcde20e2五队总循环赛共C10场，∴最多30分，每增加一场平局，总分少1分．5a1000，b431001111c73310，d83311至少3场平局：至多5场平局：胜平负胜平负A013A013B112B040C211C211D220D220E211E121∴25≤20e≤275≤e≤7注意这种论证与构造相结合的解题思路．例7在下图的每个格子中填入1~6中的一个，使得每行、每列所填数字各不相同，每个粗框中左上角的数和“＋”、“－”、“×”、“÷”分别表示粗框内所填数字的和、差、积、商（例如“600×”表示它所在的粗框内的四个数字的乘积是600）.（学案对应：带号3）18+1－18+A1－B30×30×11+11+CD600×2÷3÷72×600×2÷3÷72×GEF13+13+IH3+5－12+3+5－12+JKL20×20×M【分析】将13个区域用字母表示，那么每一行每一列都可以用区域字母和数字来表示了，（比如第一行第三列用A3表示，第三行第二列用E2表示）（1）E是4×5×5×6，C也有一个5，所以C3=5；（2）J是1+2，K是6－1，所以C内没有1，只能是2×3×5，C1=3，C2=2；（3）A是3、4、5、6而只有A4能得5，所以A4=5，前两列会出现2个6，所以A3=6，A2=3，第11级上超常体系教师版7\nA1=4；（4）I是3、4、6，M是4、5，所以M1=4，M2=5，所以第二行的4只能在D1，D1=4，D2=6，D3=1，所以B1=1，B2=2；（5）H3=5，因为别的行和列都有5了，H1+H2=8，所以只能是H1=6，H2=2，所以E1=6，E2=E3=5，E4=4，I3=6，I1=4，I2=3；（6）剩下的就很简单了．例8有2012个小矮人，他们不是好人，就是坏人．他们每天每人都要参加一次聚会，每次聚会的人数是3或5人一组．每组参与聚会的小矮人中，若好人占多数，则参加聚会的人全变成好人；若坏人占多数，则参加聚会的人全变成坏人．如果第三天聚会完毕后，全部2012人全成了好人，那么第一天聚会前好人的人数的最小值是．（学案对应：超常4，带号4）【分析】逆推法：极端性分析，若使好人数尽量少，则应使聚会时由坏人变成好人数尽量多，若31221人一组，最多使的人变为好人；若5人一组，最多使的人变为好人；，所以尽3553量5人一组．2012=5×400+3×4∴最后一次共分400个5人组和4个3人组，每个5人组中有3个好人，每个3人组中有2个好人，∴第二次聚会后最少有400×3+4×2=1208（个）好人．同理1208=5×241+3×1，第一次聚会后最少有241×3+1×2=725个好人，725=5×145，则最初至少有145×3=435个好人．一个村子里，有50户人家，每家都养了一条狗．现在，发现村子里面出现了n只疯狗，村里规定，谁要是发现了自己的狗是疯狗，就要将自己的狗枪毙．但问题是，村子里面的人只能看出别人家的狗是不是疯狗，而不能看出自己的狗是不是疯的，如果看出别人家的狗是疯狗，也不能告诉别人．于是大家开始观察，第一天晚上，没有枪声，第二天晚上，没有枪声，第三天晚上，枪声响起（具体几枪不清楚），问村子里有几只疯狗？只有晚上才能看出疯狗，并且一天晚上只能看一次．答案：3条！推理过程：A、假设有1条疯狗，疯狗的主人会看到其他狗都没有病，那么就知道自己的狗有病，所以第一天晚上就会有枪响．因为没有枪响，说明疯狗数大于1．B、假设有2条疯狗，疯狗的主人会看到有1条疯狗，因为第一天没有听到枪响，是疯狗数大于1，所以疯狗的主人会知道自己的狗是疯狗，因而第二天会有枪响．既然第二天也没有枪响，说明疯狗数大于2．由此推理，如果第三天枪响，则有3条疯狗．8第11级上超常体系教师版\n第六讲附加题1.有四个人说话，分别如下：A：我们中至少有一个人说的是正确的B：我们中至少有两个人说的是正确的C：我们中至少有一个人说的是错误的D：我们中至少有两个人说的是错误的请问：说错话的有人.【分析】方法一：若没人说对，则CD说对，矛盾；若1人说对，则ACD说对，矛盾；若2人说对，则ABCD说对，矛盾；若3人说对，则ABC说对，D错，成立；若4人说对，则AB说对，CD说错，矛盾，因此只能是ABC说对，D说错.方法二：因为四个人，所以至少有两人说错或两人说对，因此AB一定是正确的，剩下的就容易知道D是错的.即说错话的有1人.2.5个海盗抢得100枚金币，他们按抽签的顺序依次提方案：首先由1号提出分配方案，然后5人表决，超过半数同意方案才被通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼，依此类推．假定每个海盗都是绝顶聪明且很理智，那么第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化？【分析】从后向前推，如果1至3号强盗都喂了鲨鱼，只剩4号和5号的话，5号一定投反对票让4号喂鲨鱼，以独吞全部金币．所以，4号惟有支持3号才能保命．3号知道这一点，就会提出“100，0，0”的分配方案，对4号、5号一毛不拔而将全部金币归为己有，因为他知道4号一无所获但还是会投赞成票，再加上自己一票，他的方案即可通过．不过，2号推知3号的方案，就会提出“98，0，1，1”的方案，即放弃3号，而给予4号和5号各一枚金币．由于该方案对于4号和5号来说比在3号分配时更为有利，他们将支持他而不希望他出局而由3号来分配．这样，2号将拿走98枚金币．同样，2号的方案也会被1号所洞悉，1号并将提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的方案，即放弃2号，而给3号一枚金币，同时给4号（或5号）2枚金币．由于1号的这一方案对于3号和4号（或5号）来说，相比2号分配时更优，他们将投1号的赞成票，再加上1号自己的票，1号的方案可获通过，97枚金币可轻松落入囊中．这无疑是1号能够获取最大收益的方案了！答案是：1号强盗分给3号1枚金币，分给4号或5号强盗2枚，自己独得97枚．分配方案可写成（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）．3.甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛.每两人都要比赛一盘,每胜一盘得2分,和一盘得1分,输一盘得0分.到现在为止,甲赛了4盘,共得了2分；乙赛了3盘,得了4分；丙赛了2盘，得了1分；丁赛了1盘，得了2分.那么小明现在已赛了盘，得了分.【分析】由题意可画出比赛图,已赛过的两人之甲间用线段引连(见右图).由图看出小明赛了2盘.因为一共赛了六盘,共得12分,所以小明得了12-(2+4+1+2)=3(分).小明乙丁丙第11级上超常体系教师版9\n4.五支足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．已知：(1)A队获得了冠军；(2)B队、C队和D队的得分相同，且无其它并列情况；(3)在C队参加的比赛中，平局只有一场，那场的对手是B队；(4)D队战胜了A队．请你根据上述信息，分析出每场比赛的胜、平、负情况．【分析】根据已知条件可以画出如下赛况图：2因为每场比赛2个队共得2分，所以5个队的总分为C×2=20分．5(1)当B、C、D均得2分，而A最多得到6分，E最少得到20-2×3-6=8分，超过A，而A是冠军，所以不满足；(2)当B、C、D均得3分，此时E的得分最少为20-3×3-6=5分，所以此时只能是A得6分，B、C、D均得3分，E得5分．于是，A的另外三场均是A胜E于是只能一场平，另外的2场为胜．由条件3知，E不可能与C平，所以只能是与B或D打平．①当E与D平，有，有如左下图的赛况表．②当E与B平，有，有如右上图的赛况表．(3)当B、C、D均得4分，因为C只能平一场得到1分，而其他情况，要么得到2分，要么不得分，所以不可能；(4)当B、C、D均得5分，那么只能是A得5分，E得0分，不满足．综上所述，有2种赛况表满足，10第11级上超常体系教师版\n第六讲5.去年学而思杯颁奖大会上，很多同学都过来领奖了．崔梦迪老师在让所有获奖的同学就座后，突然突发奇想，让所有同学用一张纸写下来在会场里的其他同学中，自己认识的人数．崔老师把同学们写好的纸条收走后，看了一遍，说：“真巧，咱们所有同学在这里认识的人数都刚好不一样．”这时下面有个特别聪明的同学，立刻说道：“不可能，肯定是有人统计错了！”当他解释过自己这样说的原因后，教室里的其他同学们和崔老师都很佩服这个同学．那么同学们能够说出这个同学这样说的原因吗？【分析】假设一共来了n名同学，则他们认识的人数应该不超过n1．又因为崔老师说所有同学认识的人数都不一样，那么这n名同学就应该分别认识0，1，2……n2，n1名同学．但是，那名认识n1名同学的学生应该认识来参加颁奖的所有同学，也就是说，不可能有人认识0名同学．因为这n名同学不可能分别认识0，1，2……n2，n1名同学，所以也就不可能所有人认识的人数刚好不同知识点总结一、逻辑推理常用方法：假设法、列表法二、体育比赛的解题步骤1．确定比赛的队伍总数，比赛场次总数，得分总数．（3、1、0规则下）①当只有胜负局时，所有队得分总数为确定的，等于比赛场次数×3②当有平局，所有队总分不是确定的．但是总分有一个最大值和最小值，最大值=比赛场次数×3，最小值=比赛场次数×2，具体得分总数取决于平局的场数．2．注意胜负局与平局的对应关系（任何比赛）所有队的胜局数=所有队的负局数所有队的平局数=比赛平局场次数×2，所以总平局数必须为偶数．家庭作业1.一个新建5层楼房的一个单元每层有东西2套房；各层房号如右图所示，现已有赵、钱、孙、李、周五家入住．一天他们5人在花园中聊天：109110五层赵说：“我家是第3个入住的，第1个入住的就住我对门．”钱说：“只有我一家住在最高层．”107108四层孙说：“我家入住时，我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了．”105106三层李说：“我家是五家中最后一个入住的，我家楼下那一层全空着．”周说：“我家住在106号，104号空着，108号也空着．”103104二层他们说的话全是真话．设第1、2、3、4、5家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E，那么五位数ABCDE＝．101102一层【分析】孙、李都与周不在同一侧，则孙与李同侧，而孙的上层与下层都不是李，李的下层全空，所以李第五个入住2层103，孙住107，赵和钱只能从105和109中选择，赵的对门是第一个入住106的周，所以赵第三个入住105，钱第二个入住109，孙第四个入住107，五位数为69573第11级上超常体系教师版11\n2.某次武林大会有九个级别的高手参加，按级别从高到低分别是游侠、火枪手、骑士、剑客、武士、弓箭手、法师、猎人、牧师．为公平起见，分组比赛的规则是：两人或三人分为一组，若两人一组，则这两人级别必须相同；若三人一组，则这三名高手级别相同，或者是连续的三个级别各一名．现有13个人，其中有三名游侠、三名牧师，其它七类高手各一名．若此时再有一人加入，所有这些人共分为五组比赛，那么，新加入这个人的级别可以有种选择．【分析】依题意，14名高手分成5组，则一定是4个3人组和1个2人组，若新加入的高手是游侠，则可以将这14个人分组如下：3名游侠；游侠、火枪手、骑士各1名；剑客、武士、弓箭手各1名；法师、猎人、牧师各1名；2名牧师．所以新加入的高手可以是游侠，由对称性可知也可以是牧师．若新加入的高手是火枪手，则可以将这14个人分组如下：3名游侠；骑士、剑客、武士各1名；弓箭手、法师、猎人各1名；3名牧师；2名火枪手．所以新加入的高手可以是火枪手，由对称性可知也可以是猎人．若新加入的高手是骑士，则可以将这14个人分组如下：2名游侠；游侠、火枪手、骑士各1名；骑士、剑客、武士各1名；弓箭手、法师、猎人各1名；3名牧师．所以新加入的高手可以是骑士，由对称性可知也可以是法师．若新加入的高手是剑客，则可以将这14个人分组如下：3名游侠；火枪手、骑士、剑客各1名；剑客、武士、弓箭手各1名；法师、猎人、牧师各1名；2名牧师．所以新加入的高手可以是剑客，由对称性可知也可以是弓箭手．若新加入的高手是武士，则可以将这14个人分组如下：3名游侠；火枪手、骑士、剑客各1名；弓箭手、法师、猎人各1名；3名牧师；2名武士．所以新加入的高手可以是武士．综上所述，新加入的这个人的级别可以有9种选择．3.3个学生拿回了考过的算术试卷．他们的分数各不相同，但是3人中没有得0分也没有得满分100分的人．他们各自知道自己的分数,也从老师那里知道了自己的排名，但是他们都不知道其他2人的分数和排名．于是，大家互相提供信息．冈部说：“我的分数是10的倍数．”田中说：“我的分数是12的倍数．”森内说：“我的分数是14的倍数．”田中思考后说：“现在，我知道所有人的分数了．”请问：田中的分数是多少？【分析】田中的分数应该比较高或者比较低，因为如果田中的分数不是特别高或者特别低的话，不管他得第几，冈部和森内的分数都有多种选择，如果田中得96，无法确定其余两人，如果田中得84，他得第三的话就能够确定冈部90，森内98．如果田中得12或24的话，无法确定其余两人．所以田中得84，是第三．4.羽毛球一直是我国的优势项目，在一次国际赛事上，我国著名选手鲍春来2:1逆转了印尼选手陶菲克（羽毛球为21分制），经计算，二人三局总得分竟然都是59分，并且每一局分差都不超过4分，则三局比分分别为______、______、______.（鲍春来得分在前）【分析】鲍春来后两局最少赢4分，而陶菲克总分没输，所以只能在赢的那局赢了4分，只能是17：21，后两局就直接推出了，而题目中说是逆转，所以陶菲克是第一局赢了，答案为17:21、21:19、21:195.甲、乙、丙、丁四个足球队进行单循环赛，就是每两个队之间都要比一场，胜者得3分，负者得0分，平者各得1分．比赛结束后，甲队共得6分，乙队共得4分，丙队共得2分，那么丁队共得分．【分析】甲队得6分，只能是胜2场负1场；乙队得4分，只能是胜1场平1场负1场；丙队得2分，只能是平2场负1场．因为甲没有平局，所以丙与乙、丁都是平局，负给甲．如果甲胜乙负丁，那么乙必负丁；如果甲胜丁负乙，那么乙必胜丁．所以丁与甲、乙的比赛必是一胜一负，得3分，再加上与丙是平局，得1分，所以丁共得4分．12第11级上超常体系教师版\n第六讲6.世界杯足球赛，每个小组有4支球队，每两支球队之间各赛一场，胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分．每个小组总分最多的两支球队出线．如果在第一小组比赛中只出现了一场平局，问：在第一小组中一支球队至少得多少分，一定能够出线？【分析】考察两支队之间进行比赛所获得的分数，如果产生胜负关系，那么两队总得分为3分，如果平局，则总得分为2分．四支队伍相互间进行了6场比赛，如果不出现平局，应当得分总和为18分，但是出现了一场平局，因此总得分为18117分．一支队伍要确保出线，必须保证不可能出现两支比自己得分高的球队．因此其得分应大于12总得分的，因此这支球队至少要得1735分，即至少得6分．33很容易说明得6分一定出线，因为如果存在另外两支队伍出线，那么他们的得分应不小于6分，因此总得分将不小于18分，矛盾．另外，如果得分不到6分，那么这支球队最多只能得4分（因为得5分意味着两场平局，题目中告诉我们只有一场平局），这时候其他三支球队总得分为13分，如果分别为6分，6分，1分，那么4分的球队就不能出线了．7.在右图的每个格子中填入1到5中的一个，使得每行、每列所填数字各不相同的．每个粗框左上角的数和“+”、“-“、“×”、“÷”分别表示粗框内所填的数字的和、差、积、商（例如“240×”表示它所在粗框内的四个数字的乘积是240）．4-+9×+×24064-22÷+12×120【分析】给其编上号：（1）如右上图，由于12345120，2345，所以E11,D12，D51，C53；（2）4122114，由于D51,则B52，B41,4C2，所以451，而E11,15,21AA（3）9234，所以有A54,其他依次展开即可，最后填法如下图：123454-+A951234×+×24064B34512-C2451232÷+D1223451×12345E120第11级上超常体系教师版13\n8.侠客岛上有47个人，他们可分成两类：一类人是总说真话的骑士，另一类人是总说假话的骗子．一天，这47个人围成一圈聚会，他们每人都声明：“我左右的两人都是骗子”．第二天继续聚会，但有一个人因病未到，剩下的46人重新围成一圈，而且每人都声明：“我左右的两人都与我不是同类人”．问：生病的那个人是骑士还是骗子？【分析】第一天的时候，每个人都说自己左右的人都是骗子，可见其中任意相邻的三个人不能都是47骗子，也就是说每相邻的3个人中至少有1个骑士，那么第一天至少有116个骑3士；第二天的时候，每个人都说自己左右的人都与自己不是同类人，那么其中任意相邻的三个46人中至多有一个骑士，那么第二天至多有15个骑士．3由于第二天有一个人生病没来，那么实际上第二天应该至少有16115个骑士．可见第二天恰好有15个骑士，且生病的那个人也是骑士．超常班学案【超常班学案1】甲、乙、丙、丁四人约定上午10时在公园门口集合．人到齐后，甲说：“我提前了6分钟，乙正点到的．”乙说：“我提前了7分钟，丙比我晚3分钟．”丙说：“我提前了4分钟，丁提前了2分钟．”丁说：“我还以为我迟到了1分钟呢，其实我到达2分钟后才听到收音机里十时整的报时声．”请根据以上谈话分析，这4个人中，谁的表最快？快多少分钟？【分析】根据题意可知丁是9:58到的，但是他的表此时是10:01，所以丁的表快了3分钟，而在丁到的时候丙的表显示的时间是9:58，所以丙的表是准时的，即丙是9:56到的，这和乙所说的时间吻合，那么可知乙的表也是准时的，那么乙是9:53到的，而此时甲的表显示的时间是10:00，所以甲的表快了7分钟．【超常班学案2】乒乓球是中国的国球，是“三大国粹”之一.在一次乒乓球国际赛事中，中国著名选手马琳以4:0横扫德国著名选手波尔.乒乓球比赛为11分制，即每局11分，7局4胜制，打成10:10后必须净胜而且只能净胜2分.经计算，马琳四局的总得分为47分，波尔总得分为37分，且每一局比赛分差不超过三分，则一共有______种情况.（不考虑这四局比分之间的顺序）【分析】有三种情况，一：马琳有三局超过11分，则只能12:10、12:10、12:10、11：7，与不超过3分矛盾；二：马琳有两局超过11分，则只能是11:8、11:8、12:10、13：11，成立；三：只有一局超过11分，则只能是11：8、11：8、11：9、14:12．因此一共有两种情况．【超常班学案3】足球世界杯小组赛的每个小组有四个队参加单循环（每两个队之间都踢一场）比赛，每组的前两名可以出线.其积分方法为：每胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．当两个组的积分相同时，以净胜球数（总进球数减去总失球数的差）的多少来定名次，净胜球多的队排名靠前.已知某队以最低的积分出线了，那么这个队在小组赛中的积分是分．【分析】以最低积分出线，肯定是小组第二名．首先说明得1分的队肯定不能出线．得1分的队2负1平，胜它的2个队至少各得3分，所以得1分的队不可能出线．然后说明，得2分可能出线．假设小组中的四个队为甲、乙、丙、丁，甲队第一，乙队第二，甲队分别与乙、丙、丁的比赛都赢，而乙、丙、丁三队之间都是平局，则甲队得9分，乙、丙、丁三队各得2分，而这三个队中净胜球多的队即为出线的队．14第11级上超常体系教师版\n第六讲【超常班学案4】太平洋某岛国的一个部落里只有两种人：一种是永远说真话的老实人，一种是永远说假话的骗子．一天，这个部落的2009个人举行了一次圆桌会议，每个人都声称：“我左右的两个人都是骗子”．第二天，会议继续进行，但一人因病未能到会，因此只有2008个人参加第二天的会议．大家按照新的顺序坐了下来，此时，每个人都声称：“我左右的两个人都和我不是同一种人”．参加第一天圆桌会议的人之中共有位老实人．【分析】这个问题只有两个数字和两句话，我们需要从两句话中来分析清楚老实人和骗子的分布，一般采取的分析方法是正面考虑，即如果这个人是老实人（或者骗子），他两边的人的实际情况如何．首先看第一天，考虑相邻的三个人，如果中间的人是老实人，那么显然左右两边都是骗子．而如果中间的人是骗子，那么左右两边就应该“不都是骗子”，从而至少有一个老实人．我们不难得到结论：每相邻的三个人当中至少有一个是老实人．因为200936692，因此我们先随便取一个老实人，然后取他相邻的一个人，剩下的2007个人每三个相邻的人分成一组，共669组，那么每组中至少一个老实人，所以从第一天的分析我们得知其中至少有1669670个老实人．换言之第二天剩下的人中应至少有669个老实人．然后分析第二天，仍然考虑相邻的三个人，如果中间的人是老实人，那么他左右的两个人都是骗子；如果中间的人是骗子，那么他周围的两个人不可能都是老实人，因此最多只有一个老实人．我们同样可以得到，每相邻的三个人当中最多有一个老实人．200836691，可以任意取一个骗子，然后将剩下的2007人每相邻三人分成一组，共669组，每组中最多一个老实人，因此第二天的分析是其中最多有669个老实人．综上，第二天就只有669个老实人，从而第一天应该有670个老实人．123班学案【超常123班学案1】设八位数Aaa01a7具有如下性质：a0是A中数码0的个数，a1是A中数码1的个数，……，a是A中数码7的个数，则aaaa．aaa，70127567该八位数A．【分析】(1)由于a是A中数码0的个数，a是A中数码1的个数，，a是A中数码7的017个数，那么a0a1a2a7表示A中所有数码的个数；而实际上A中共有8个数码，所以aaaa8．0127(2)我们先看a5，如果a5不是0，那么a5至少是1，所以A中数字5的个数是1，所以5只能放在首位，即a5，所以A中0的个数是5个，所以A可以写为05000100，我们发现少了一位，而这位必须是一个非零数字，而这位不管是几都不会符合题意，所以a是0，同样的道理，我们可以知道a0,a0．aaa0567567(3)a5a6a70，说明a5、a6、a7都是0，这就表明A的末三位都是0，另外还表明A的各位数码中都没有出现5、6、7，所以A的数码中最大的最多为4，所以3a04．如果a03，也就是A的首位为3，末位都为0，中间的四位中还有一位为0，另外的三个数之和为4，只能是2个1和1个2．由于1出现了两次，所以a1，由于2和4各出现了1次，所以a和a都是1，这样可得A为42101000．124第11级上超常体系教师版15\n【超常123班学案2】12个队参加一次足球比赛，每两个队都比赛一场，每场比赛中，胜队得3分，负队得0分，平局则各得1分．比赛完毕后，获得第3名和第4名的两个队的得分最多可以相差分．【分析】要使第3名和第4名的分差最大，则第3名得分应尽量多，第4名得分应尽量少．首先前3名的3个队与后9名的球队之间的比赛应当都获胜，而前3名之间有3场比赛，最多产生9分，所以第3名在这3场比赛中最多得3分，所以第3名最多得39330分；后9名之间共有36场比赛，每场比赛至少产生2分，共产生72分，在这些比赛中，第4名至少得8分，所以第4名的得分至少是8分．那么第3名和第4名的两个队的得分最多可以相差30822分．【超常123班学案3】（第三届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛笔试一）如图，要在下列5×5的方格表中填入A、B、C、D、E五个英文字母，并且要求五个字母在每一行与每一列及对角线，都只出现一次，则@所表示的英文字母为.E@ECADB【分析】将第i行第j列所填的字母记为Xij.首先判断X15，由于第一行已经存在E，第五列已经存在A和B，而对角线上已经存在D，所以X15C，而X25和X35只能从D和E中选择，而第二行已经存在E，所以XD，XE；再分析X，由两条对角线的取值可确定X25353333＝A，进而通过确定两条对角线上的字母，再确定所有位置的字母．＠的地方应该填B.【超常123班学案4】先生,P先生,Q先生他们知道桌子的抽屉里有16张扑克牌:红桃A,Q,4黑桃J,8,4,2,7,3草花K,Q,5,4,6方块A,5.约翰教授从这16张牌中挑出一张牌来,并把这张牌的点数告诉P先生,把这张牌的花色告诉Q先生.这时,约翰教授问P先生和Q先生:你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗?于是,S先生听到如下的对话:P先生:我不知道这张牌.Q先生:我知道你不知道这张牌.P先生:现在我知道这张牌了.Q先生:我也知道了.听罢以上的对话,S先生想了一想之后,就正确地推出这张牌是什么牌.请问:这张牌是什么牌?【分析】由第一句话"P先生:我不知道这张牌."可知,此牌必有两种或两种以上花色,即可能是A,Q,4,5.如果此牌只有一种花色,P先生知道这张牌的点数,P先生肯定知道这张牌.由第二句话"Q先生:我知道你不知道这张牌."可知,此花色牌的点数只能包括A,Q,4,5,符合此条件的只有红桃和方块.Q先生知道此牌花色,只有红桃和方块花色仅包括A,Q,4,5，因此Q先生才能作此断言.由第三句话"P先生:现在我知道这张牌了."可知,P先生通过"Q先生:我知道你不知道这张牌."判断出花色为红桃和方块,P先生又知道这张牌的点数,P先生便知道这张牌.据此,排除A,此牌可能是Q,4,5.如果此牌点数为A,P先生还是无法判断.由第四句话"Q先生:我也知道了."可知,花色只能是方块.如果是红桃,Q先生排除A后,还是无法判断是Q还是4.综上所述,这张牌是方块5.16第11级上超常体系教师版