小学数学讲义暑假四年级超常第6讲加乘原理初步

第6讲第六讲加乘原理初步知识站牌五年级暑假五年级暑假排列组合初步枚举法进阶四年级春季加乘原理进阶四年级暑假加乘原理初步三年级秋季枚举法初步掌握简单的加法原理、乘法原理、加乘原理综合；区别加法原理和乘法原理漫画释义第7级上超常体系教师版1\n教学目标1.掌握加法原理和乘法原理的主要内容2.掌握加法原理和乘法原理运用的方法及区别3.培养学生分步考虑问题的习惯4.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则5.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力经典精讲一般地，做一件事，完成它可以有N类办法，在第一类办法中有m种不同的方法，在第二类办1法中有m种不同的方法，…，在第n类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事共有2nNmmm种不同方法．这就是加法原理．12n加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．加法原理一般解题步骤：①完成一件事分N类②每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）③类类相加运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．一般地，如果完成一件事需要N个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m种不同的方法，则完成这件事一共有Nmmm种不同的方n12n法．这就是乘法原理．乘法原理一般解题步骤：①完成一件事分N个必要步骤；②每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；③步步相乘在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．2第7级上超常体系教师版\n第6讲加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．课堂引入王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．例题思路模块一：分类计数和简单加乘原理（例1）模块二：乘法原理及变形（例2、例3、例4）模块三：加乘原理综合应用（例5、例6、例7、例8）例1如图，甲、乙两地之间有4条路，乙、丙两地之间有2条路，甲、丙两地之间有3条路，那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线？【分析】从甲去丙分为两类：⑴直接从甲去丙的有：3种方法．⑵从甲经乙去丙的方法共有：42=8（种）．所以，从甲地去往丙地共有11种方法．第7级上超常体系教师版3\n例2“数学”这个词的英文单词是“MATH”．用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个字母染的颜色都不一样．这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？【分析】为了完成对单词“MATH”的染色，我们可以按字母次序，把这个染色过程分四步依次完成：第1步——对字母“M”染色，此时有5种颜色可以选择；第2步——对字母“A”染色，由于字母“M”已经用过一种颜色，所以对字母“A”染色只有4种颜色可以选择；第3步——对字母“T”染色，由于字母“M”和“A”已经用去了2种颜色，所以对字母“T”染色只剩3种颜色可以选择；第4步——对字母“H”染色，由于字母“M”、“A”和“T”已经用去了3种颜色，所以对字母“H”染色只有2种颜色可以选择．由乘法原理，共可以得到5432120种不同的染色方式．例3用红蓝两色来涂图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称，问共有多少种不同的涂法？【分析】按题意可知，1,4对称，2,3对称，这样1,2,A,B,C,D,E均有两种选择，2222222=128种．CB12A34DE确立清晰有序的分步策略是解决这类问题的关键．例4如图，图中有25个小方格，要把5枚不同的硬币放在方格里，使得每行、每列只出现一枚硬币，那么共有种放法.4第7级上超常体系教师版\n第6讲【分析】每行、每列只出现一枚硬币,第一枚硬币有25种放法,第二枚硬币的位置在第一枚硬币位置确定后,有44=16种放法,第三枚硬币有33=9种放法,第四枚硬币有22=4种放法,第五枚硬币有1种放法,共有2516941=14400．例5某信号兵用红，黄，蓝，绿四色旗各一面挂在旗杆上表示信号．不同的顺序表示不同的信号．(1)每次挂一面，可以表示出多少种不同的信号？(2)每次挂两面，排成一行，可以表示出多少种不同的信号？(3)每次可挂一面，二面或三面，排成一行表示不同的信号．一共可以表示出多少种不同的信号？【分析】1.挂一面，可以从四种颜色中任选一种，有4种表示2.挂两面，要分两步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法．根据乘法原理，共有4312种表示法3.由于每次可挂一面、二面或三面旗子，我们可以根据旗杆上旗子的面数分三类考虑：第一类第二类第三类第一类，挂一面，有4种表示法；第二类，挂两面，有4312种表示法；第三类，挂三面，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法；第三步，第三面旗子可从剩下的两种颜色中选一种，有2种选法．根据乘法原理，共有43224种表示法．根据加法原理，一共可以表示出4122440种不同的信号．例6用数字0、1、2、3、4、5、6组数.能组成多少个(1)没有重复数字的四位数？(2)没有重复数字的四位奇数？(3)百位为5且没有重复数字的四位数？(4)没有重复数字的数？(5)没有重复数字的五位数？(6)没有重复数字的五位奇数？(7)没有重复数字的五位偶数？(8)没有重复数字且能被5整除的四位数？【分析】(1)组四位数分四步：千位有6种选择（不能为0），由于不能重复，百位有6种选择，十位第7级上超常体系教师版5\n有5种选择，个位有4种选择，所以可以组成个6654720没有重复数字的四位数。(2)组四位奇数分四步：由于个位受限制，只能有3种选择，不能重复，千位有5种选择，百位有5种选择，十位有4种选择，所以可以组成5543300没有重复数字的四位奇数。(3)组四位数分四步：由于百位受限制，只能有1种选择，不能重复，千位有5种选择，十位有5种选择，个位有4种选择，所以可以组成5154100个百位为5且没有重复数字的四位数。(4)组成没有重复数字的数，分7类：一位数有7个；两位数有6636个；三位数665180；四位数有6654720；五位数有665432160；六位数有6654324320；七位数有66543214320。根据加法原理，可以组成73618072021604320432011743个没有重复数字的数。(5)组五位数分五步：由于0不能放在首位，万位有6种选择，不能重复，千位有6种选择（可以放0），百位有5种选择，十位有4种选择，个位有3种选择，所以可以组成665432160个没有重复数字的五位数。(6)五位数分五步：组奇数个位只能有3种选择，0不能放在首位，万位有5种选择，千位有5种选择（可以放0），百位有4种选择，十位有3种选择，所以可以组成55433900个没有重复数字的五位奇数。(7)（法一）五位偶数2160-900=1260（法二）偶数分成两类：一类，个位为0：65431360个；二类，个位不为0：55433900个，共1260个。(8)能被5整除只需看个位，分两类：个位为0：6541120个，个位为5：5541100个，共120100220个能被5整除且没有重复数字的四位数。例7从1、2、3、4、5中选出四个数填入下图的方格内，使得右边的数比左边大，下面的数比上面的大。那么共有_____种填法。【分析】第一步，从5个数里选择4个数，有5种选法；第二步，把选出的4个数填入空格内。根据条件，最小的数应该填在田字格的左上角，最大的数应该填在田字格的右下角，那么中间的两个数可以任意填在剩下的两个方格，有2种填法。根据乘法原理，共有5×2=10（种）填法。6第7级上超常体系教师版\n第6讲闵可夫斯基的尴尬19世纪末，德国有位天才的数学教授叫闵可夫斯基，他曾是爱因斯坦的老师。爱因斯坦因为经常不去听课，便被他骂作“懒虫”。万万没想到，就是这个“懒虫”后来创立了著名的狭义相对论和广义相对论。闵可夫斯基受到很大震动，他把相对论中的时间和空间统一成“四维时空”，这是近代物理发展史上的关键一步。在闵可夫斯基的一生中，把爱因斯坦骂作“懒虫”恐怕还算不上是最尴尬的事……一天，闵可夫斯基刚走进教室，一名学生就递给他一张纸条，上面写着：“如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色，那么只需要四种颜色就足够了，您能解释其中的道理吗？”闵可夫斯基微微一笑，对学生们说：“这个问题叫四色问题，是一个著名的数学难题。其实，它之所以一直没有得到解决，仅仅是由于没有第一流的数学家来解决它。”为证明纸条上写的不是一道大餐，只是小菜一碟，闵可夫斯基决定当堂掌勺，问题就会变成定理……下课铃响了，可“菜”还是生的。一连好几天，他都挂了黑板。后来有一天，闵可夫斯基走进教室时，忽然雷声大作，他借此自嘲道：“哎，上帝在责备我狂妄自大呢，我解决不了这个问题。”例8电子表用11:35表示11点35分，用06:05表示6点5分，那么2点到10点之间电子表中出现无重复数字的时刻有________次．【分析】根据题意，在2点到10点之间，表示小时数的二位数字前一位只能为0，后一位可以为2～9；表示分钟数的二位数字前一位可以为0～5，后一位可以为0～9，再考虑到无重复数字，当时间为2点多、3点多、4点多或5点多时，每一种情况下，表示分钟数的两位数字中前一位有624种选择，后一位数字有1037种选择，此时有4728种可能，比如02:ab时，a可以为1，3，4，5，b就剩下1037种可以选择．所以这几种情况下共有284112种．类似分析可知，当时间为6点多、7点多、8点多、9点多时，每种情况下都有5735种，共有354140种．所以共112140252种．第7级上超常体系教师版7\n钓鱼有个人喜欢钓鱼。一天钓鱼归来，路上有人问他钓了多少条鱼，他答到：“有6条没头的，9条没尾的，8条半截的。”你知道他钓了多少条鱼吗？答案：“6”去了“头”，“9”去了“尾”都是“0”，“8”从中截断是两个“0”，因此是一条也没钓到。附加题1.从1～10中，每次取两个不同的自然数相加，和大于10的取法有多少种？【分析】第一个数第二个数有几种第1类1101第2类210、92第3类310、9、83第4类410、9、8、74第5类510、9、8、7、65第6类610、9、8、74第7类710、9、83第8类810、92第9类9101根据加法原理共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法使和大于10.2.有个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身．【分析】由于这个四位数各位数字都是奇数且互不相同，所以它是由1，3，5，7，9中的四个数组成的四位数，且能被这四个数字整除.由于从1，3，5，7，9中选4个数，所以3和9至少有一个入选，也就是说所组成的四位数肯定是3的倍数，那么其各位数字之和是3的倍数．由于1357925，除以3的余数为1，所以未入选的那个数除以3的余数也是1，可能为1或7．如果是1，则其它四个数的和为24，所组成的四位数不是9的倍数，不合题意；如果是7，则其它四个数的和为18，是9的倍数．所以这个四位数是由1，3，5，9组成的，它要能被这四个数整除，只需要个位是5即可．前面3个数位共有3!6种可能，所以这样的四位数有6个．8第7级上超常体系教师版\n第6讲3.（2008年第12届日本奥赛初小预赛题）我们做3位数的“接尾写数游戏”，如下所示：335→502→299→901→A→B→222。那么，可填入A和B处的3位数的组合有种。【分析】记A=1ab，B=bc2。因为B是三位数，所以b不能为0，只有1～9的9种可能。而a和c都可以取0到9这10个数字，所以所求的答案为9×10×10=900（种）。4.（2007年数学解题能力展示中年级初赛试题）如果一个大于9的整数，其每个数位上的数字都比它右边数位上的数字小，那么我们称它为“迎春数”．那么，小于2008的“迎春数”共有个。【分析】这是一道组合计数问题．方法一：枚举法――按位数分类计算．两位数中，“迎春数”个数（1）十位数字是1，这样的“迎春数”有12，13，…，19，共8个；（2）十位数字是2，这样的“迎春数”有23，…，29，共7个；（3）十位数字是3，这样的“迎春数”有34，…，39，共6个；（4）十位数字是4，这样的“迎春数”有45，…，49，共5个；（5）十位数字是5，这样的“迎春数”有56，…，59，共4个；（6）十位数字是6，这样的“迎春数”有67，68，69，共3个；（7）十位数字是7，这样的“迎春数”有78，79，共2个；（8）十位数字是8，这样的“迎春数”只有89这1个；（9）没有十位数字是9的两位的“迎春数”；所以两位数中，“迎春数”共有8+7+6+……+1=36个．三位数中，“迎春数”个数（1）百位数字是1，这样的“迎春数”有123—129，134—139，…，189，共28个；（2）百位数字是2，这样的“迎春数”有234—239，…，289，共21个；（3）百位数字是3，这样的“迎春数”有345—349，…，389，共15个；（4）百位数字是4，这样的“迎春数”有456—459，…，489，共10个；（5）百位数字是5，这样的“迎春数”有567—569，…，589，共6个；（6）百位数字是6，这样的“迎春数”有678，679，689，共3个；（7）百位数字是7，这样的“迎春数”只有789，这1个；（8）没有百位数字是8，9的三位的“迎春数”；所以三位数中，“迎春数”共有28+21+15+10+6+3+1=84个．1000—1999的自然数中，“迎春数”个数（1）前两位数字是12，这样的“迎春数”有1234—1239，…，1289，共21个；（2）前两位数字是13，这样的“迎春数”有1345—1349，…，1389，共15个；（3）前两位数字是14，这样的“迎春数”有1456—1459，…，1489，共10个；（4）前两位数字是15，这样的“迎春数”有1567—1569，…，1589，共6个；（5）前两位数字是16，这样的“迎春数”有1678，1679，1689，共3个；（6）前两位数字是17，这样的“迎春数”只有1789这1个；（7）没有前两位数字是18，19的四位的“迎春数”；所以四位数中，“迎春数”共有56个．第7级上超常体系教师版9\n2000—2008的自然数中，没有“迎春数”所以小于2008的自然数中，“迎春数”共有368456176个．方法二：利用组合原理小于2008的“迎春数”，只可能是两位数、三位数和1000多的数．计算两位“迎春数”的个数，它就等于从1—9这9个数字中任意取出2个不同的数字，每一种取法对应于一个“迎春数”，即有多少种取法就有多少个“迎春数”．显然不同的取2法有C98236种，所以两位的“迎春数”共有36个．93同样计算三位数和1000多的数中“迎春数”的个数，它们分别有C987(321)84个和93C8876(321)56个．所以小于2008的自然数中，“迎春数”共有368456176个。5.甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本.问：(1)甲拿到自己作业本的拿法有多少种?(2)恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种?(3)至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种?(4)谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种?【分析】⑴甲拿到自己的作业本有321=6种拿法．⑵恰好有一人拿到自己作业本的拿法有428种．⑶至少有一人没有拿到自己作业本的拿法有4321123种．⑷谁也没有拿到自己的作业本的拿法有3319种．6.任意给出一个数字不全相等的三位数（首位不为0），把这个数中的各位数字按递减的顺序和递增的顺序重新排列，并将所得两数相减，即可得到一个新的三位数（首位可以为0）。这样的变化称为一次操作。继续对所得的结果进行操作，如此往复，总会得到一个结果为495，且结果不再变化。那么，有个三位数只经过一次操作就得到495。【分析】设这个三位数由abc,,组成且abc，则cbaabc495可知ca5。满足条件的数组有：①c5,a0②c6,a1，③c7,a2，④c8,a3，⑤c9,a4①当c5,a0时，b0时，有1个；b1,2,3,4时，分别有4个；b5时，有2个，1+4×4+2=19（个）②当c6,a1时，b16或时，各有3个；b2,3,4,5时，分别有6个，2×3+4×6=30（个）。同理，后面的三类情况也都各有30个数满足条件。共有19+30×4=139（个）知识点总结10第7级上超常体系教师版\n第6讲1.加法原理一般解题步骤：①完成一件事分N类②每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）③类类相加2.乘法原理一般解题步骤：①完成一件事分N个必要步骤；②每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）③步步相乘3.加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关家庭作业1.如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路可走，从丁地到丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？甲乙丁丙【分析】从甲地到丙地有两种方法：第一类，从甲地经过乙地到丙地，根据乘法原理，走法一共有428种方法，；第二类，从甲地经过丁地到丙地，一共有339种方法．根据加法原理，一共有8917种走法．2.由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重复数字的四位数？可以组成多少个三位数？【分析】可以组成的无重复数字的四位数有432124个，可以组成的三位数个数为44464个．3.五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【分析】分3种情况：⑴取出一面，有5种信号；⑵取出两面：可以表示5420种信号；⑶取出三面：可以表示：54360种信号；由加法原理，一共可以表示：5206085种信号．4.有3所学校共订300份中国少年报，每所学校订了至少98份，至多102份．问：一共有多少种不同的订法？第7级上超常体系教师版1\n【分析】可以分三种情况来考虑：⑴3所学校订的报纸数量互不相同，有98，100，102；99，100，101两种组合，每组各有3216种不同的排列，此时有6212种订法．⑵3所学校订的报纸数量有2所相同，有98，101，101；99，99，102两种组合，每组各有3种不同的排列，此时有326种订法．⑶3所学校订的报纸数量都相同，只有100，100，100一种订法．所以一共有12+6+1=19种。5.用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？【分析】分为三类，一位数时，0和一位数共有5个；二位数时，为4416个，三位数时，为：44348个，由加法原理，一共可以组成5164869个小于1000的没有重复数字的自然数．6.一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着20张分别标有数1、2、…、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、…、9、10的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出个加法式子，能得到个不同的和．【分析】列出一个加法算式可分为2个步骤：第1步从红口袋中任选一张卡片，有20种不同的方法，第2步，从黄口袋中任选一张卡片，共有10种不同的方法，根据分步计数原理，一共可列出2010200个加法式子．最小的和1+1=2，最大的和10+20=30，可以得到30-2+1=29个不同的和.7.用2、4、5、7这4个不同数字可以组成_______个互不相同的四位数，将它们从小到大排列，那么7254是第_______个数.【分析】可以组成24个互不相同的四位数，7254是从小到大的第20个数．8.两个大小不同的骰子，六个面上分别有数字1，2，3，4，5，6。将它们掷到桌面上，向上一面数字之和为偶数的情况有多少种？【分析】向上一面数字之和为偶数，包含下列两种情况：⑴奇数加奇数：339种．⑵偶数加偶数：339种．所以，共9918种．超常班学案【超常班学案1】Tony老师从北大来五棵松讲课，可以选择坐公交或地铁；坐公交又可以直达也可以倒车。假设从北大有983路，982路，特9路，运通113路可以直达五棵松附近；或者是坐944支或特8路到公主坟换乘624路，609路，620路，436路，370路，373路到达五棵松；也可以乘坐地铁10号线再换乘2号线最后换乘1号线（假12第7级上超常体系教师版\n第6讲设只有1种乘法）到达五棵松。问Tony老师此行总共有多少种不同的走法？【分析】983,982,9,133直达公交944五624,609,620,436,370,373棵换乘公主坟北京大学松特8地铁10号线换2号线换1号线总的方法有：426117种【超常班学案2】红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？【分析】(一)取出的3面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类第一类，一种颜色：都是蓝色的或者都是白色的，2种可能；第二类，两种颜色：(43)336第三类，三种颜色：43224所以，根据加法原理，一共可以表示2362462种不同的信号．(二)白棋打头的信号，后两面旗有4416种情况．所以白棋不打头的信号有621646种．【超常班学案3】在2000到2999这1000个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？【分析】若相同的数是2，则另一个2可以出现在个、十、百位中的任一个位置上，剩下的两个位置分别有9个和8个数可选，有3×9×8=216（个）；若相同的数是1，有3×8＝24（个）；同理，相同的数是0，3，4，5，6，7，8，9时，各有24个，所以，符合题意的数共有216＋9×24=432（个）．【超常班学案4】一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”另一个三位数，例如：532吃掉311，123吃掉123，但726与267相互都不被吃掉．问：能吃掉678的三位数共有多少个？【分析】即求百位数不小于6，十位数不小于7，个位不小于8的自然数．百位数不小于6，有4种；十位数不小于7，有3种；个位不小于8，有2种．由乘法原理，能吃掉678的三位数共有43224种．超常班123学案第7级上超常体系教师版1\n【超常123班学案1】如下图，八面体有12条棱，6个顶点．一只蚂蚁从顶点A出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个顶点一次．问共有多少种不同的走法？CDEFBA【分析】走完6个顶点，有5个步骤，可分为两大类：①第二次走C点：就是意味着从A点出发，我们要先走F，D，E，B中间的一点，再经过C点，但之后只能走D，B点，最后选择后面两点．有412118种(从F到C的话，是不能到E的)；②第二次不走C：有4222132种(同理，F不能到E)；共计：83240种．【超常123班学案2】用0、1、2、3、4、5组成各位数字都不相同的六位数，并把这些六位数从小到大排列，第505个数是_______。【分析】以1开头的六位数有54321120个，以2、3、4开头的六位数也有120个，即以1、2、3、4开头的六位数共有1204480个，所以第505个六位数首位数字是5；以50为开头的六位数有432124个，48024504，所以第505个六位数是510234．【超常123班学案3】在1000至1999这些自然数中个位数大于百位数的有多少个?【分析】方法一：解决计数问题常用分类讨论的方法．设在1000至1999这些自然数中满足条件的数为1abc(其中ca)；(1)当a0时，c可取1～9中的任一个数字，b可取0～9中的任一个数字，于是一共有91090个．(2)当a1时，c可取2～9中的任一个数字，b仍可取0～9中的任一个数字，于是一共有81080个．(3)类似地，当a依次取2，3，4，5，6，7，8时分别有70，60，50，40，30，20，10个符合条件的自然数．所以，符合条件的自然数有9080702010450个．方法二：1000至1999这1000个自然数中，每10个中有一个个位数等于百位数，共有100个；剩余的数中，根据对称性，个位数大于百位数的和百位数大于个位数的一样多，所以总数为(1000100)2450个.【超常123班学案4】1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，至少发生一次进位？14第7级上超常体系教师版\n第6讲【分析】假设一个数字可以表示为ABCD，则不发生进位的数表示为:A:0,1B:0,1,2,3C:0,1,2D:0,1可以有2432=48个，由于0(0000)这个数字不包含在内，所以供应该排除48-1=47个，于是满足的就是1952个数了．第7级上超常体系教师版1