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第十四章 整式的乘法与因式分解
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14.1.4 整式的乘法(第3课时)教案(人教版八年级数学上)
14.1.4 整式的乘法(第3课时)教案(人教版八年级数学上)
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第十四章整式的乘法与因式分解 14.1.4整式的乘法第3课时一、教学目标【知识与技能】1.探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则,并会应用法则计算.2.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算,理解整式除法运算的原理.【过程与方法】1.经历探究整式的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条件的表达能力.2.体会知识间逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值,体会转化思想在整式除法中的作用.【情感、态度与价值观】感受数学法则、公式的简洁美、和谐美.二、课型新授课三、课时第3课时\n四、教学重难点【教学重点】应用整式除法法则进行计算.【教学难点】根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则.五、课前准备教师:课件、直尺、计算器等。学生:练习本、钢笔或圆珠笔。六、教学过程(一)导入新课木星的质量约是1.9×1024吨,地球的质量约是5.98×1021吨,你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?(出示课件2)木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍. 想一想:上面的式子该如何计算? (二)探索新知1.师生互动,探究同底数幂的除法法则教师问1:请完成下面的题目:(出示课件4)(1)25×23;(2)x6×x4;(3)2m×2n.\n学生回答:(1)28;(2)x10;(3)2m+n.教师问2:本题是直接利用什么乘法法则计算的?学生回答:同底数幂的乘法法则:底数不变,指数相加.教师问3:思考下面的题该如何计算?(1)()()×23=28(2)x6·()()=x10(3)()()×2n=2m+n学生回答:可以把乘法法则反过来利用.教师问4:反过来就我们今天要学的同底数幂的除法,能不能先试着写成除法形式?学生讨论后解答:(1)28÷23=?;(2)x10÷x6=?;(3)2m+n÷2n=?教师问5:你是如何计算的呢?学生回答:本题逆向利用同底数幂的乘法法则计算. 教师问6:能不能试着完成下列各题:计算:(1)28÷23; (2)x10÷x6;(3)2m+n÷2n学生回答:(1)28÷23=25; (2)x10÷x6=x4;(3)2m+n÷2n=2m教师问7:观察下面的等式,你能发现什么规律?(出示课件5)(1)28÷23=25=28-3; (2)x10÷x6=x4=x10-6;(3)2m+n÷2n=2m=2m-n学生回答:底数不变,指数相减.\n教师总结:同底数幂相除,底数不变,指数相减.教师问8:以上法则能用字母表示吗?学生总结:am÷an=am-n.教师问9:对指数有何要求吗?学生回答:m,n都是正整数,且m>n.教师总结:am÷an=am–n(m,n都是正整数,且m>n)教师问10:如何验证其正确性呢?学生回答:验证:因为am–n·an=am–n+n=am,所以am÷an=am–n. 教师问11:对于除法运算,有没有什么特殊要求呢?学生回答:对于除法运算应要求除数(或分母)不为零,所以底数不能为零.即am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n).教师问12:计算:am÷am学生计算am÷am时,可能会出现1或a0两个答案.教师顺势归纳:从除法的意义可知商为1,另一方面,如果依照同底数幂的除法计算,得a0.所以规定:a0=1(a≠0).教师问13:为什么规定a0=1(a≠0)时要说明a≠0呢?学生回答:因为当a=0时,分母或除数为0,式子无意义.总结点拨:(出示课件6)同底数幂的除法一般地,我们有 am÷an=am–n(a≠0,m,n都是正整数,且m>n) 即同底数幂相除,底数不变,指数相减. \n规定:a0=1(a≠0) 这就是说,除0以外任何数的0次幂都等于1.例1:计算:(出示课件7) (1)x8÷x2;(2)(ab)5÷(ab)2. 师生共同解答如下:解:(1)x8÷x2=x8–2=x6;(2)(ab)5÷(ab)2=(ab)5–2=(ab)3=a3b3. 总结点拨:计算同底数幂的除法时,先判断底数是否相同或变形相同,若底数为多项式,可将其看作一个整体,再根据法则计算. 例2:已知am=12,an=2,a=3,求am–n–1的值.(出示课件9)师生共同解答如下:解:∵am=12,an=2,a=3, ∴am–n–1=am÷an÷a=12÷2÷3=2. 总结点拨:解此题的关键是逆用同底数幂的除法,对am–n–1进行变形,再代入数值进行计算. 2.复习旧知,探究单项式除以多项式的法则教师问14:计算:4a2x3·3ab2学生回答:4a2x3·3ab2=12a3b2x3教师问15:计算:12a3b2x3÷3ab2学生讨论回答:(出示课件11)解法1:12a3b2x3÷3ab2相当于求()·3ab2=12a3b2x3. 由(1)可知括号里应填4a2x3. \n解法2:原式=4a2x3·3ab2÷3ab2=4a2x3. 理解:上面的商式4a2x3的系数4=12÷3;a的指数2=3–1,b的指数0=2–2,而b0=1,x的指数3=3–0. 教师问15:类比上述研究过程计算以下两题.(1)-2x3÷(-x);(2)8m2n2÷2m2n.学生回答:(1)2x2;(2)4n教师问16:通过计算,你又发现什么规律?学生回答:单项式相除,把系数和同底数的幂分别相除.师生互动合作交流,得出单项式除以单项式的法则:单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.总结点拨:(出示课件12)单项式除以单项式的法则:单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.例3:计算:(出示课件13)(1)28x4y2÷7x3y;(2)–5a5b3c÷15a4b. 师生共同解答如下:解:(1)原式=(28÷7)x4–3y2–1=4xy;(2)原式=(–5÷15)a5–4b3–1c\n=-ab2c.总结点拨:单项式除以单项式要按照法则逐项进行,不得漏项,并且要注意符号的变化. 3.师生互动,学习多项式除以单项式的法则教师问17:一幅长方形油画的长为(a+b),宽为m,求它的面积.(出示课件16)学生回答:面积为(a+b)m=ma+mb.教师问18:若已知油画的面积为(ma+mb),宽为m,如何求它的长? 学生回答:长为(ma+mb)÷m.教师问19:如何计算(am+bm)÷m?(出示课件17)学生讨论后回答:计算(am+bm)÷m就相当于求()·m=am+bm,教师问20:()填什么呢?学生回答:a+b教师问21:am÷m+bm÷m=?学生回答:a+b教师问22:观察上边的问题,你发现了什么?学生回答:(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m 教师问23:计算下列各式:\n(1)(ax+bx)÷x;(2)(a2+ab)÷a;(3)(4x2y+2xy2)÷2xy.学生回答:(1)a+b;(2)a+b;(3)2x+y.教师问24:说你是怎样计算的?学生回答:多项式除以单项式,用多项式的每一项除以单项式.教师问25:它们的项数之间有什么发现吗?师生共同解答如下:在学生独立解决问题之后,及时引导学生反思自己的思维过程,并对自己计算所得的结果进行观察,总结出计算的一般方法和结果的项数特征:商式与被除式的项数相同.教师问26:你能归纳出多项式除以单项式的法则吗?(出示课件18)学生归纳,教师点拨:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.教师问27:你能把这句话写成公式的形式吗?学生回答:(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m. 关键: 应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 例4:计算:(12a3–6a2+3a)÷3a.(出示课件19) 师生共同解答如下:解:(12a3–6a2+3a)÷3a =12a3÷3a+(–6a2)÷3a+3a÷3a =4a2+(–2a)+1 =4a2–2a+1. \n总结点拨:多项式除以单项式,实质是利用乘法的分配律,将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决.计算过程中,要注意符号问题. 例5:先化简,后求值:[2x(x2y–xy2)+xy(xy–x2)]÷x2y,其中x=2015,y=2014.(出示课件21) 师生共同解答如下:解:原式=[2x3y–2x2y2+x2y2–x3y]÷x2y,=x–y.把x=2015,y=2014代入上式,得原式=x–y=2015–2014=1. (三)课堂练习(出示课件24-29)1.下列说法正确的是() A.(π–3.14)0没有意义 B.任何数的0次幂都等于1 C.(8×106)÷(2×109)=4×103 D.若(x+4)0=1,则x≠–4 2.下列算式中,不正确的是() A.(–12a5b)÷(–3ab)=4a4 B.9xmyn–1÷3xm–2yn–3=3x2y2 C.4a2b3÷2ab=2ab2 D.x(x–y)2÷(y–x)=x(x–y) 3.已知28a3bm÷28anb2=b2,那么m,n的取值为( ) A.m=4,n=3B.m=4,n=1\n C.m=1,n=3D.m=2,n=3 4.一个长方形的面积为a2+2a,若一边长为a,则另一边长为_____________. 5.已知一多项式与单项式–7x5y4的积为21x5y7–28x6y5,则这个多项式是______. 6.计算:(1)6a3÷2a2;(2)24a2b3÷3ab; (3)–21a2b3c÷3ab;(4)(14m3–7m2+14m)÷7m. 7.先化简,再求值:(x+y)(x–y)–(4x3y–8xy3)÷2xy,其中x=1,y=–3. 8.(1)若32•92x+1÷27x+1=81,求x的值; (2)已知5x=36,5y=2,求5x–2y的值; (3)已知2x–5y–4=0,求4x÷32y的值. 参考答案:1.D2.D3.A4.a+25.–3y3+4xy6.解:(1)6a3÷2a2 =(6÷2)(a3÷a2) =3a. (2)24a2b3÷3ab\n =(24÷3)a2–1b3–1 =8ab2. (3)–21a2b3c÷3ab =(–21÷3)a2–1b3–1c =–7ab2c; (4)(14m3–7m2+14m)÷7m =14m3÷7m-7m2÷7m+14m÷7m =2m2–m+2. 7.解:原式=x2–y2–2x2+4y2 =–x2+3y2. 当x=1,y=–3时,原式=–12+3×(–3)2=–1+27=26.8.解:(1)32•34x+2÷33x+3=81,即3x+1=34,解得x=3; (2)52y=(5y)2=4,5x–2y=5x÷52y=36÷4=9. (3)∵2x–5y–4=0,移项,得2x–5y=4. 4x÷32y=22x÷25y=22x–5y=24=16. (四)课堂小结今天我们学了哪些内容:am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n)a0=1(a≠0)(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m.(五)课前预习\n预习下节课(14.2)的相关内容。了解平方差公式七、课后作业1、教材104页练习1,2,32、某高分子聚合材料的性质优于铝合金材料,且密度为9×102kg/m3,已知铝的密度为2.7×103kg/m3.铝的密度是这种材料密度的多少倍?八、板书设计:九、教学反思:1.本课的主要任务是通过教师引导探究同底数幂的除法法则,使学生通过类比,利用乘除互为逆运算的关系,自主探究完成单项式除以单项式,多项式除以单项式法则的推导.实践证明,学生完全有能力通过探究,在原有的认知结构基础上,建构整式的除法法则.同时,教师应重视引导,力求每个问题都是探索性的,引导他们自己发现,并且节奏紧凑,使学生的大脑一直处于兴奋状态,提高探究效率.2\n.本节的内容是整式的除法,内容较多,分三部分,通过运算要求学生说出式子每一步变形的根据,并要求学生养成检验的好习惯,利用乘除互为逆运算,检验商式的正确性.培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质,训练学生形成一定的计算能力,慢慢培养学生良好的思维习惯和主动参与学习的习惯.
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