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第14章整式的乘法与因式分解14.3因式分解14.3.2公式法教学课件(新人教版八上)

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14.3因式分解14.3.2公式法第一课时第二课时人教版数学八年级上册\n第一课时平方差公式\na米b米b米a米(a–b)如图,在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形,将剩余部分拼成一个长方形,根据此图形变换,你能得到什么公式?a2–b2=(a+b)(a–b)导入新知\n1.探索并运用平方差公式进行因式分解,体会转化思想.2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.素养目标\n用平方差公式进行因式分解多项式a2–b2有什么特点?你能将它分解因式吗?是a,b两数的平方差的形式))((baba–+=22ba–))((22bababa–+=–整式乘法因式分解两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式:探究新知知识点1想一想\n√√××辨一辨:下列多项式能否用平方差公式来分解因式,为什么?√√★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解,即能写成:()2–()2的形式.两数是平方,减号在中央.(1)x2+y2(2)x2–y2(3)–x2–y2–(x2+y2)y2–x2(4)–x2+y2(5)x2–25y2(x+5y)(x–5y)(6)m2–1(m+1)(m–1)探究新知\n例1分解因式:aabb(+)(–)a2–b2=解:(1)原式=2x32x2x33(2)原式整体思想ab素养考点1利用平方差公式分解因式的应用探究新知\n方法点拨公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式,只要被分解的多项式能转化成平方差的形式,就能用平方差公式因式分解.探究新知\n1.分解因式:(1)(a+b)2–4a2;(2)9(m+n)2–(m–n)2.=(2m+4n)(4m+2n)解:(1)原式=(a+b–2a)(a+b+2a)=(b–a)(3a+b);(2)原式=(3m+3n–m+n)(3m+3n+m–n)=4(m+2n)(2m+n).若用平方差公式分解后的结果中有公因式,一定要再用提公因式法继续分解.巩固练习\n例2分解因式:解:(1)原式=(x2)2–(y2)2=(x2+y2)(x2–y2)分解因式后,一定要检查是否还有能继续分解的因式,若有,则需继续分解,直到不能分解为止.=(x2+y2)(x+y)(x–y);(2)原式=ab(a2–1)分解因式时,一般先用提公因式法进行分解,然后再用公式法.最后进行检查.=ab(a+1)(a–1).素养考点2多次因式分解探究新知\n方法点拨分解因式前应先分析多项式的特点,一般先提公因式,再套用公式.必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.探究新知\n2.分解因式:(1)5m2a4–5m2b4;(2)a2–4b2–a–2b.=(a+2b)(a–2b–1).=5m2(a2+b2)(a+b)(a–b);解:(1)原式=5m2(a4–b4)=5m2(a2+b2)(a2–b2)(2)原式=(a2–4b2)–(a+2b)=(a+2b)(a–2b)–(a+2b)巩固练习\n例3已知x2–y2=–2,x+y=1,求x–y,x,y的值.∴x–y=–2②.解:∵x2–y2=(x+y)(x–y)=–2,x+y=1①,联立①②组成二元一次方程组,解得:素养考点3利用因式分解求整式的值探究新知方法总结:在与x2–y2,x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中,通常需先因式分解,然后整体代入或联立方程组求值.\n3.已知x–y=2,x2–y2=8,求x+y的值.解:由题意得:(x+y)(x–y)=8,x–y=2,2(x+y)=8,x+y=4.巩固练习\n例4计算下列各题:(1)1012–992;(2)53.52×4–46.52×4.解:(1)原式=(101+99)(101–99)=400;(2)原式=4(53.52–46.52)=4(53.5+46.5)(53.5–46.5)=4×100×7=2800.方法总结:较为复杂的有理数运算,可以运用因式分解对其进行变形,使运算得以简化.素养考点4利用因式分解进行简便运算探究新知\n巩固练习4.用平方差公式进行简便计算:(1)38²–37²(2)213²–87²(3)229²–171²(4)91×89解:(1)38²–37²=(38+37)(38–37)=75(2)213²–87²=(213+87)(213–87)=300×126=37800(3)229²–171²=(229+171)(229–171)=400×58=23200(4)91×89=(90+1)(90–1)=90²–1=8100–1=8099\n例5求证:当n为整数时,多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除.即多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除.证明:原式=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n•2=8n,∵n为整数,∴8n被8整除,方法总结:解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式,然后分析能被哪些数或式子整除.素养考点5利用因式分解进行证明探究新知\n5.若a,b,c是三角形的三边,且满足关系式a2–2bc=c2–2ab,试判断这个三角形的形状.解:∵a2–2bc=c2–2ab,∴(a2–c2)+2ab–2bc=0,(a+c)(a–c)+2b(a-c)=0,∴(a–c)(a+c+2b)=0.∵a+c+2b≠0,∴a–c=0,即a=c,∴这个三角形是等腰三角形.巩固练习分析:已知等式变形后,利用完全平方公式及平方差公式分解,得到a=c,即可确定出三角形形状.\n1.多项式4a–a3分解因式的结果是()A.a(4–a2)B.a(2–a)(2+a)C.a(a–2)(a+2)D.a(2–a)2连接中考2.若a+b=4,a–b=1,则(a+1)2–(b–1)2的值为.解析:∵a+b=4,a–b=1,∴(a+1)2–(b–1)2=(a+1+b–1)(a+1–b+1)=(a+b)(a–b+2)=4×(1+2)=12.B12巩固练习\n1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A.a2+(–b)2B.5m2–20mnC.–x2–y2D.–x2+9D2.将多项式x–x3因式分解正确的是()A.x(x2–1)B.x(1–x2)C.x(x+1)(x–1)D.x(1+x)(1–x)D3.若a+b=3,a–b=7,则b2–a2的值为()A.–21B.21C.–10D.10A课堂检测基础巩固题\n4.把下列各式分解因式:(1)16a2–9b2=_________________;(2)(a+b)2–(a–b)2=_________________;(3)因式分解:2x2–8=_________________;(4)–a4+16=_________________.(4a+3b)(4a–3b)4ab(4+a2)(2+a)(2–a)5.若将(2x)n–81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x–3),则n的值是_____________.42(x+2)(x–2)课堂检测基础巩固题\n1.已知4m+n=40,2m–3n=5.求(m+2n)2–(3m–n)2的值.原式=–40×5=–200.解:原式=(m+2n+3m–n)(m+2n–3m+n)=(4m+n)(3n–2m)=–(4m+n)(2m–3n),当4m+n=40,2m–3n=5时,能力提升题课堂检测\n2.如图,在边长为6.8cm正方形钢板上,挖去4个边长为1.6cm的小正方形,求剩余部分的面积.解:根据题意,得6.82–4×1.62=6.82–(2×1.6)2=6.82–3.22=(6.8+3.2)(6.8–3.2)=10×3.6=36(cm2)答:剩余部分的面积为36cm2.课堂检测能力提升题\n(1)992–1能否被100整除吗?解:(1)因为992–1=(99+1)(99–1)=100×98,所以,(2n+1)2–25能被4整除.(2)n为整数,(2n+1)2–25能否被4整除?所以992–1能被100整除.(2)原式=(2n+1+5)(2n+1–5)=(2n+6)(2n–4)=2(n+3)×2(n–2)=4(n+3)(n–2).拓广探索题课堂检测\n平方差公式分解因式公式a2–b2=(a+b)(a–b)步骤一提:公因式;二套:公式;三查:多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.课堂小结\n第二课时完全平方公式\n我们知道,因式分解与整式乘法是反方向的变形,我们学习了因式分解的两种方法:提取公因式法、运用平方差公式法.现在,大家自然会想,还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢?导入新知\n2.能较熟练地运用完全平方公式分解因式.1.理解完全平方公式的特点.素养目标3.能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明.\n1.因式分解:把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法?提公因式法平方差公式a2–b2=(a+b)(a–b)用完全平方公式分解因式知识点13.完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2探究新知回顾旧知\n你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗?同学们拼出图形为:aabbabababa²b²ab探究新知\n这个大正方形的面积可以怎么求?a2+2ab+b2(a+b)2=ababa²ababb²(a+b)2a2+2ab+b2=将上面的等式倒过来看,能得到:探究新知\na2+2ab+b2a2–2ab+b2我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.观察这两个多项式:(1)每个多项式有几项?(3)中间项和第一项,第三项有什么关系?(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征?三项.这两项都是数或式的平方,并且符号相同.是第一项和第三项底数的积的±2倍.探究新知\n完全平方式的特点:1.必须是三项式(或可以看成三项的);2.有两个同号的数或式的平方;3.中间有两底数之积的±2倍.完全平方式:探究新知\n简记口诀:首平方,尾平方,首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式,就是完全平方式,将它写成完全平方形式,便实现了因式分解.2ab+b2±=(a±b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.探究新知\n3.a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()²2.m²–6m+9=()²–2·()·()+()²=()²1.x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²x2x+2aa2ba+2b2b对照a²±2ab+b²=(a±b)²,填空:mm–33x2m3探究新知试一试\n下列各式是不是完全平方式?(1)a2–4a+4;(2)1+4a²;(3)4b2+4b–1;(4)a2+ab+b2;(5)x2+x+0.25.是只有两项;不是4b²与–1的符号不统一;不是不是是ab不是a与b的积的2倍.探究新知说一说\n例1分解因式:(1)16x2+24x+9;(2)–x2+4xy–4y2.分析:(1)中,16x2=(4x)2,9=3²,24x=2·4x·3,所以16x2+24x+9是一个完全平方式,即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2.(2)中首项有负号,一般先利用添括号法则,将其变形为–(x2–4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.素养考点1利用完全平方公式分解因式探究新知解:(1)16x2+24x+9=(4x+3)2;=(4x)2+2·4x·3+(3)2(2)–x2+4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.\n1.把下列多项式因式分解.(1)x2–12xy+36y2.(2)16a4+24a2b2+9b4.解:(1)x2–12xy+36y2=x2–2·x·6y+(6y)2=(x–6y)2.(2)16a4+24a2b2+9b4=(4a2)2+2·4a2·3b2+(3b2)2=(4a2+3b2)2.巩固练习\n(3)–2xy–x2–y2.(4)4–12(x–y)+9(x–y)2.解:(3)–2xy–x2–y2=–(x2+2xy+y2)=–(x+y)2.(4)4–12(x–y)+9(x–y)2=22–2×2×3(x–y)+[3(x–y)]2=[2–3(x–y)]2=(2–3x+3y)2.巩固练习\n例2如果x2–6x+N是一个完全平方式,那么N是()A.11B.9C.–11D.–9B解析:根据完全平方式的特征,中间项–6x=2x×(–3),故可知N=(–3)2=9.素养考点2利用完全平方公式求字母的值探究新知\n方法点拨本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征,根据参数所在位置,结合公式,找出参数与已知项之间的数量关系,从而求出参数的值.计算过程中,要注意积的2倍的符号,避免漏解.探究新知\n2.如果x2–mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.解析:∵16=(±4)2,故–m=2×(±4),m=±8.±8巩固练习\n例3把下列各式分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)(a+b)2–12(a+b)+36.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2;分析:(1)中有公因式3a,应先提出公因式,再进一步分解因式;(2)中将a+b看成一个整体,设a+b=m,则原式化为m2–12m+36.(2)原式=(a+b)2–2·(a+b)·6+62=(a+b–6)2.素养考点3利用完全平方公式进行较复杂的因式分解探究新知\n利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式,完全平方式等)的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法.探究新知\n3.因式分解:(1)–3a2x2+24a2x–48a2;(2)(a2+4)2–16a2.=(a2+4+4a)(a2+4–4a)解:(1)原式=–3a2(x2–8x+16)=–3a2(x–4)2;(2)原式=(a2+4)2–(4a)2=(a+2)2(a–2)2.有公因式要先提公因式.要检查每一个多项式的因式,看能否继续分解.巩固练习\n例4把下列完全平方公式分解因式:(1)1002–2×100×99+99²;(2)342+34×32+162.解:(1)原式=(100–99)²(2)原式=(34+16)2本题利用完全平方公式分解因式,可以简化计算.=1.=2500.素养考点4利用完全平方公式进行简便运算探究新知\n4.计算:7652×17–2352×17.解:7652×17–2352×17=17×(7652–2352)=17×(765+235)(765–235)=17×1000×530=9010000.巩固练习\n例5已知:a2+b2+2a–4b+5=0,求2a2+4b–3的值.提示:从已知条件可以看出,a2+b2+2a–4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项),因此可通过“凑”成完全平方式的方法,将已知条件转化成非负数之和等于0的形式,从而利用非负数的性质来求解.素养考点5利用完全平方公式和非负性求字母的值探究新知\n解:由已知可得(a2+2a+1)+(b2–4b+4)=0即(a+1)2+(b–2)2=0∴2a2+4b–3=2×(–1)2+4×2–3=7探究新知方法总结:遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值,常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式,然后利用非负数性质来解答.\n5.已知x2–4x+y2–10y+29=0,求x2y2+2xy+1的值.=112=121.解:∵x2–4x+y2–10y+29=0,∴(x–2)2+(y–5)2=0.∵(x–2)2≥0,(y–5)2≥0,∴x–2=0,y–5=0,∴x=2,y=5,∴x2y2+2xy+1=(xy+1)2几个非负数的和为0,则这几个非负数都为0.巩固练习\n1.因式分解:a2–2ab+b2=.连接中考巩固练习2.若a+b=2,ab=–3,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为.解析:∵a+b=2,ab=–3,∴a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2),=ab(a+b)2,=–3×4=–12.(a–b)2–12\n1.下列四个多项式中,能因式分解的是()A.a2+1B.a2–6a+9C.x2+5yD.x2–5y2.把多项式4x2y–4xy2–x3分解因式的结果是()A.4xy(x–y)–x3B.–x(x–2y)2C.x(4xy–4y2–x2)D.–x(–4xy+4y2+x2)3.若m=2n+1,则m2–4mn+4n2的值是________.BB14.若关于x的多项式x2–8x+m2是完全平方式,则m的值为_________.±4课堂检测基础巩固题\n5.把下列多项式因式分解.(1)x2–12x+36;(2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3)y2+2y+1–x2;(2)原式=[2(2a+b)]²–2·2(2a+b)·1+(1)²=(4a+2b–1)2;解:(1)原式=x2–2·x·6+(6)2=(x–6)2;(3)原式=(y+1)²–x²=(y+1+x)(y+1–x).课堂检测基础巩固题\n(2)原式1.计算:(1)38.92–2×38.9×48.9+48.92.解:(1)原式=(38.9–48.9)2=100.能力提升题课堂检测\n2.分解因式:(1)4x2+4x+1;(2)小聪和小明的解答过程如下:他们做对了吗?若错误,请你帮忙纠正过来.x2–2x+3.(2)原式=(x2–6x+9)=(x–3)2解:(1)原式=(2x)2+2•2x•1+1=(2x+1)2小聪:小明:××课堂检测能力提升题\n(1)已知a–b=3,求a(a–2b)+b2的值;(2)已知ab=2,a+b=5,求a3b+2a2b2+ab3的值.原式=2×52=50.解:(1)原式=a2–2ab+b2=(a–b)2.当a–b=3时,原式=32=9.(2)原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2.当ab=2,a+b=5时,拓广探索题课堂检测\n完全平方公式分解因式公式a2±2ab+b2=(a±b)2特点(1)要求多项式有三项.(2)其中两项同号,且都可以写成某数或式的平方,另一项则是这两数或式的乘积的2倍,符号可正可负.课堂小结

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所属: 初中 - 数学
发布时间:2022-08-21 11:00:04 页数:57
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文章作者:随遇而安

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