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湘教版(2022)九年级数学上册教案:2.5第3课时 面积问题

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第3课时面积问题【知识与技能】会建立一元二次方程的模型解决实际问题,并能根据具体问题的实际意义,对方程解的合理性作出解释.【过程与方法】进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题,解决问题的能力,培养学生用数学的意识.【情感态度】让学生进一步感受一元二次方程的应用价值,提高学生的数学应用意识.【教学重点】应用一元二次方程解决实际问题.【教学难点】从实际问题中建立一元二次方程的模型.一、情境导入,初步认识1.复习列方程解应用题的一般步骤:(1)审题:仔细阅读题目,分析题意,明确题目要求,弄清已知数、未知数以及它们之间的关系;(2)设未知数:用字母(如x)表示题中的未知数,通常是求什么量,就设这个量为x;(3)列方程:根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程;(4)解方程:求出所给方程的解;(5)检验:既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程,又要检验它是否能使实际问题有意义;(6)作答:根据题意,选择合理的答案.2.说一说,矩形的面积与它的两邻边长有什么关系?【教学说明】复习相关知识,为本节课的学习作准备.二、思考探究,获取新知\n1.思考:如图,在一长为40cm,宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后,折成一个无盖的长方体盒子,若已知长方体盒子的底面积为364平方厘米,求截去的四个小正方形的边长.(1)引导学生审题,弄清已知数、未知数以及它们之间的关系;(2)确定本题的等量关系是:盒子的底面积=盒子的底面长×盒子的底面宽;(3)引导学生根据题意设未知数;(4)引导学生根据等量关系列方程;(5)引导学生求出所列方程的解;(6)检验所求方程的解合理性;(7)根据题意作答.【教学说明】设未知数和作答时都不要漏写单位,多项式时要加括号再写单位.2.如图,一长为32m,宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分),余下部分进行了绿化,若已知绿化面积为540m2,求道路的宽.分析:本题考查了一元二次方程的应用,这类题目体现了数形结合的思想,如图,需利用平移把不规则的图形变为规则图形,进而即可列出方程,求出答案.还要注意根据题意考虑根的合理性,从而确定根的取舍.本题可设道路宽为x米,利用平移把不规则的图形变为规则图形,如此一来,所有草坪面积之和就变为了(32-x)(20-x)m2,进而即可列出方程,求出答案.\n解:设道路宽为x米(32-x)(20-x)=540解得:x1=2,x2=50(不合题意,舍去)∴x=2答:道路宽为2米3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm.BC=8cm,点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动,同时点Q沿CB边从C向终点B以2cm/s的速度移动,且当其中一点达到终点时,另一点也随之停止移动,问点P、Q出发几秒后,可使△PCQ的面积为9cm2?解:设xs后,可使△PCQ的面积为9cm2.由题意得,AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm则·(6-x)·2x=9.整理,得x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.所以P、Q同时出发,3s后可使△PCQ的面积为9cm2.【教学说明】使学生感受、明白在几何图形中利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法.三、运用新知,深化理解1.如图,某中学为方便师生活动,准备在长30m,宽20m的矩形草坪上修两横两纵四条小路,横纵路的宽度之比为3∶2,若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三,若横路宽为3xcm,则可列方程为________________.分析:若设小路的横路宽为3xm,则纵路宽为2xm,我们利用“图形经过移动,它的面积大小不会改变”的道理,把纵、横四条路移动一下(目的是求出路面的宽,至于实际施工,仍可按原图的位置修路),则余下的草坪面积可用含x的代数式表示为(30-4x)(20-6x)m2,又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三,可列方程.\n则可列方程:(30-4x)(20-6x)=×30×20【答案】(30-4x)(20-6x)=×30×202.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是()A.x2+130x-1400=0B.x2+65x-350=0C.x2-130x-1400=0D.x2-65x-350=0【答案】B3.如图,利用一面墙(墙的长度不超过45m),用80m长的篱笆围一个矩形场地.(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?(2)能否使所围矩形场地的面积为810m2,为什么?解:(1)设所围矩形ABCD的长AB为x米,则宽AD为(80-x)米.依题意,得x·(80-x)=750.即,x2-80x+1500=0,解此方程,得x1=30,x2=50.∵墙的长度不超过45m,∴x2=50不合题意,应舍去.当x=30时,(80-x)=×(80-30)=25,所以,当所围矩形的长为30m、宽为25m时,能使矩形的面积为750m2.(2)不能.\n因为由x·(80-x)=810得x2-80x+1620=0.又∵b2-4ac=(-80)2-4×1×1620=-80<0,∴上述方程没有实数根.因此,不能使所围矩形场地的面积为810m2.4.如图①,在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边.如图②,地毯中央的矩形图案长6米、宽3米,整个地毯的面积是40平方米.求花边的宽.分析:本题可根据地毯的面积为40平方米来列方程,其等量关系式可表示为:(矩形图案的长+两个花边的宽)×(矩形图案的宽+两个花边的宽)=地毯的面积.解:设花边的宽为x米,根据题意得(2x+6)(2x+3)=40,解得x1=1,x2=,x2=不合题意,舍去.答:花边的宽为1米.5.我校原有一块正方形空地,后来在这块空地上划出部分区域栽种花草(如图),原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,使剩余的空地面积为12m2,求原正方形的边长.分析:本题可设原正方形的边长为xm,则剩余的空地长为(x-1)m,宽为(x-2)m.根据长方形的面积公式方程可列出,进而可求出原正方形的边长.\n解:设原正方形的边长为xm,依题意有(x-1)(x-2)=12整理,得x2-3x-10=0.∴(x-5)(x+2)=0,∴x1=5,x2=-2(不合题意,舍去)答:原正方形的边长5m.6.小明家有一块长8m,宽6m的矩形空地,现准备在该空地上建造一个十字花园(图中阴影部分),并使花园面积为空地面积的一半,小明设计了如图的方案,求图中的x值.解:据题意,得(8-x)(6-x)=×8×6.解得x1=12,x2=2.x1不合题意,舍去.∴x=2.【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力,深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途.四、师生互动,课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题2.5”中第3、4、7题.\n本节课以学生熟悉的现实生活为问题的背景,让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系,归纳出变化规律,并能用数学符号表示,最终解决实际问题.这类注重联系实际考查学生数学应用能力的问题,体现时代性,并且结合社会热点、焦点问题,引导学生关注国家、人类和世界的命运.既有强烈的德育功能,又可以让学生从数学的角度分析社会现象,体会数学在现实生活中的作用.

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所属: 初中 - 数学
发布时间:2022-08-16 15:00:07 页数:7
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文章作者:U-344380

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