湘教版（2022）九年级数学上册教案：2.1一元二次方程

第2章一元二次方程2.1一元二次方程【知识与技能】探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识．【过程与方法】在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系．【情感态度】通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．【教学重点】一元二次方程的概念.【教学难点】如何把实际问题转化为数学方程.一、情境导入，初步认识问题1:已知一矩形的长为200cm，宽150cm．在它的中间挖一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的，求挖去的圆的半径xcm应满足的方程.（π取3）问题2：据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆，求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.你能列出相应的方程吗？【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫．二、思考探究，获取新知1.对于问题1：\n找等量关系：矩形的面积—圆的面积=矩形的面积×列出方程：200×150-3x2=200×150×①对于问题2：等量关系：两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量×(1+年平均增长率)2列出方程：75（1+x）2=1082②2.能把①，②化成右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗？让学生展开讨论，并引导学生把①，②化成下列形式：①化简，整理得x2-2500=0③②化简，整理得25x2+50x-11=0④3.讨论：方程③、④中的未知数的个数和次数各是多少？【教学说明】分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2次.【教学说明】让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的.三、运用新知，深化理解1.见教材P27例题.2.下列方程是一元二次方程的有____________.【答案】（5）3.已知（m+3）x2-3mx-1=0是一元二方程，则m的取值范围是__________.分析：一元二次方程二次项的系数不等于零.故m≠-3.【答案】m≠-3．4.把方程(1-3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项，二次项系数，一次项，一次项系数及常数项.解：原方程化为一般形式是：5x2+8x-2=0(若写成-5x2\n-8x+2=0，则不符合人们的习惯)，其中二次项是5x2，二次项系数是5，一次项是8x，一次项系数是8，常数项是-2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和，所以不能漏写单项式系数的负号).5.关于x方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足什么条件？分析：先把这个方程变为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.解：由mx2-3x=x2-mx+2得到（m-1）x2+（m-3）x-2=0，所以m-1≠0，即m≠1.所以关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足m≠1.6.一元二次方程（x+1）2-x=3（x2-2）化成一般形式是_______________.分析：一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），对照一般形式可先去括号，再移项，合并同类项，得2x2-x-7=0.【答案】2x2-x-7=07.把方程-5x2+6x+3=0的二次项系数化为1，方程可变为()【答案】C注意方程两边除以-5，另两项的符号同时发生变化.8.已知方程(m+2)x2+(m+1)x-m=0，当m满足__________时，它是一元一次方程；当m满足__________时，它是二元一次方程.分析：当m＋2＝0，m＝-2时，方程是一元一次方程；当m＋2≠0，m≠-2时，方程是二元一次方程.【答案】m＝-2m≠-29.某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，则列出方程为____________________.【答案】1185(1-x)2=58010.当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元一次方程?解：当a≠\n1时是一元二次方程，这时方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b；当a=1，b≠0时是一元一次方程.【教学说明】这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中几个特征的理解.进一步巩固学生对一元二次方程的基本概念．四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业：教材“习题2.1”中第1、2、6题.本节课是一元二次方程的第一课时，通过对本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的定义、一般形式、及有关概念，并学会利用方程解决实际问题.在教学过程中，注重重难点的体现.本节课内容对于学生整个中学阶段的数学学习有着重大的意义，能否学好关系到日后学习的成败，因此必须要让学生吃透内容并且要真正能消化.