沪科版（2022）九年级数学上册教案：22.3.1相似三角形的性质定理1

22.3相似三角形的性质第1课时相似三角形的性质定理1【知识与技能】理解掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比及相似三角形的面积的比、周长比与相似比之间的关系．【过程与方法】对性质定理的探究，学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度.【情感态度】在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律.【教学重点】相似三角形性质的应用.【教学难点】相似三角形性质的应用.一、情景导入，初步认知1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？3.相似三角形的判定方法有哪些？【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习做准备.二、思考探究，获取新知1.如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，求这两个三角形的角平分线AD与A′D′的比.解：∵△A′B′C′∽△ABC\n∴∠B=∠B′,∠BAC=∠B′A′C′∵A′D′,AD分别是△A′B′C′与△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′A′D′∴△ABD∽△A′B′D′（有两个角对应相等的两个三角形相似）∴AD∶A′D′=AB∶A′B′=k根据上面的探究，你能得到什么结论？【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比.2.在上图中，如果AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的中线，那么，AD和A′D′之间有什么关系？你能证明你的结论吗？【归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.3.如图△ABC∽△A′B′C′，ABA′B′=k，AD、A′D′为高线.（1）这两个相似三角形周长比为多少？（2）这两个相似三角形面积比为多少？解：（1）由于△ABC∽△A′B′C′，所以AB︰A′B′=BC︰B′C′=AC︰A′C′=k，由并比性质可知（AB+BC+AC)︰(A′B′+B′C′+A′C′)=k.（2）由题意可知△ABD∽△A′B′D′所以AB︰A′B′=AD︰A′D′=k因此可得△ABC的面积︰△A′B′C′的面积=（AD·BC）︰（A′D′·B′C′）=k2【归纳结论】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.【教学说明】通过这两个问题，引导学生通过合情推理，得出结论.学生可以通过合作交流，找出解决问题的方法.\n三、运用新知，深化理解1.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且AC∶A′C′=3∶2，B′D′=4，则BD的长为______.【分析】因为△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，根据对应中线的比等于相似比，BD∶B′D′=AC∶A′C′，即BD∶4=3∶2∴BD=6.答案：62.在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（）A.8，3B.8，6C.4，3D.４，6【分析】根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3，所以选A.答案：A3.已知△ABC∽△A′B′C′且S△ABC∶S△A′B′C′=1∶，则AB∶A′B′=______．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求AB∶A′B′=1∶.答案：1∶4.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的12倍，那么边长应缩短到原来的.【分析】根据面积比等于相似比的平方可得相似比为22，所以边长应缩短到原来的.答案：5.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.（1）则图中有几对相似三角形；（2）若AD=9cm，CD=6cm，求BD；（3）若AB=25cm，BC=15cm，求BD.\n解：（1）∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°.在△ADC和△ACB中，∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB同理可知，△CDB∽△ACB.∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形.（2）∵△ACD∽△CBD，∴AD∶CD=CD∶BD，即9∶6=6∶BD，∴BD=4（cm）.（3）∵△CBD∽△ABC，∴BC∶BA=BD∶BC.∴15∶25=BD∶15，∴BD=(15×15)/25=9（cm）.6.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm,求CD的长.解：（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠BGF，∠DCF=∠GBF，∴△CDF∽△BGF．（2）由（1）知△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，BF=FC∴△CDF≌△BGF，\n∴DF=FG，CD=BG又∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥AG，得2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF-AB=2×4-6=2，∴CD=BG=2cm．7.已知△ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积S.【分析】由△ABC的三边长可以判断出△ABC为直角三角形，又因为△ABC∽△A′B′C′，所以△A′B′C′也是直角三角形，那么由△A′B′C′的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出△A′B′C′的两条直角边长，再求得△A′B′C′的面积．解：设△ABC的三边依次为BC=5，AC=12，AB=13，则∵AB2=BC2+AC2，∴∠C=90°．又∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C′=∠C=90°．BC∶B′C′=AC∶A′C′=AB∶A′B′=13∶26=1∶2，又BC=5，AC=12，∴B′C′=10，A′C′=24．∴S=A′C′×B′C′=×24×10＝120．8.（1）已知x/2=y/3=z/5=k，且3x+4z-2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．【分析】（1）用同一个字母k表示出x，y，z．再根据已知条件列方程求得k的值，从而进行求解；（2）根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长差进行求解.解：（1）由题意知x=2k，y=3k，z=5k由于3x+4z-2y=40，\n∴6k+20k-6k=40，∴k=2，∴x=4，y=6，z=10．（2）设一个三角形周长为Ccm，则另一个三角形周长为（C+560）cm，则C/(C+560)=3/10，∴C=240，C+560=800，即它们的周长分别为240cm，800cm．【教学说明】通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的习惯，提高分析问题和解决问题的能力.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题22.3”中第2、3、4、5题.本节的主要内容主要是导出相似三角形的性质定理，并进行初步运用，让学生经历相似三角形性质探索的过程，提高数学思考、分析和探究活动的能力，体会相似三角形中的变量与不变量，体会其中蕴涵的数学思想.