沪科版（2022）八年级数学上册教案：15.4.2角平分线的性质

第2课时角平分线的性质【知识与技能】探索角平分线的性质定理.【过程与方法】通过探索角平分线定理的过程，体会这个定理的作用，增强几何空间意识.【情感与态度】培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.【教学重点】重点是掌握角平分线的性质定理.【教学难点】难点是运用角平分线定理简化证明线段相等的问题.一、导入新知课堂活动：教师在黑板上演示怎样做一个已知角的平分线，要求学生与教师同步操作，在完成课本图的图形后，提出思考问题.问题思索：1.为什么所做的OP，就是∠AOB的平分线呢？2.如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，C，D是垂足，根据你学过的知识，从图中你们得到哪些结论？写出这个问题的已知、求证，并给出证明.学生活动：讨论、分析，写出已知、求证，并证明如下.已知：如图所示，OP平分∠BOA，PD⊥OB，垂足为D，PC⊥OA，垂足为C.求证：PD=PC【证明】∵OP平分∠AOB.（已知）\n∴∠AOP=∠BOP（角平分线定义）又∵PC⊥OA,PD⊥OB,(已知)∴∠PCO=∠PDO=90°.（垂直的定义）在△PCO和△PDO中,∵∴△PCO≌△PDO.(AAS)∴PC=PD.【归纳结论】上面的证明，主要是让大家能通过严谨的推理解决面前感知得到的结论.师生共识：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等.【教学说明】让学生从感性上的认识上升到严格的理性上来.二、情境合一，优化思维1.情境思考如图所示，要在T区建一个超市，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个超市应建在什么地方呢？（在图上标出它的位置，比例尺为1:2000）.引导学生分析、解决问题，这里要特别强调：写已知、求证这两个环节要正确，否则证明将没有意义.已知：如图所示，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为点D，E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.【证明】经过点P作射线OP.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP，\nPD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），∴∠AOP=∠BOP，∴OP是∠AOC的平分线.∴点P在∠AOB的平分线上.【教学说明】请部分学生上讲台“板演”，然后引导学生去发现新的结论.2.师生共识.由刚才的例子可以得到一个结论：角平分线的逆命题仍然是正确的.【归纳结论】在一个角内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.三、运用新知，深化理解1.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD=CD，DE，DF分别垂直于AB，AC，E，F是垂足，求证：EB=FC.第1题图第2题图2.求作一点C，使它到∠AOB两边的距离相等，即CM=CN【参考答案】1.证明：AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE=DF(角平分线上点到两边距离相等)且∠BED=∠CFD=90°在Rt△BED与Rt△CFD中∵∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)2.略四、师生互动，课堂小结教师引导下，学生自主总结，主要问题有：1.什么叫角平分线？\n2.你还能得到哪些结论？1.课本第145页练习第2题.2.完成练习册中相应的作业.本节设计了“导入新知——情境合一，优化思维——运用新知——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生探索角平分线的性质定理，经历探索角平分线定理的过程，体会这个定理的作用，发展几何空间意识，培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.