高二数学上学期等比数列专题讲解

高中数学等比数列专题讲解教学目标：灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；提高学生的数学素质，增强学生的应用意识.教学重点：1.等比中项的理解与应用.2.等比数列定义及通项公式的应用.教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.教学过程：Ⅰ.复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式Ⅱ.讲授新课根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?(1)若a，A，b成等差数列a＝，A为等差中项.那么，如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，…… 则即＝，即G2＝ab反之，若G2＝ab，则＝，即a，G，b成等比数列∴a，G，b成等比数列G2＝ab(a·b≠0)总之，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G＝±，(a，b同号)另外，在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，那么，在等比数列中呢？由通项公式可得：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ap＝a1qp－1，aq＝a1·qq－1不难发现：am·an＝a12qm+n－2，ap·aq＝a12qp+q－2若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq下面看应用这些性质可以解决哪些问题?［例1］在等比数列{an}中，若a3·a5＝100，求a4.分析：由等比数列性质，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq可得：解：∵在等比数列中，∴a3·a5＝a42又∵a3·a5＝100，∴a4＝±10.［例2］已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证{an·bn} 是等比数列.分析：由等比数列定义及通项公式求得.解：设数列{an}的首项是a1，公比为p；{bn}的首项为b1，公比为q.则数列{an}的第n项与第n＋1项分别为a1pn－1，a1pn数列{bn}的第n项与第n＋1项分别为b1qn－1，b1qn.数列{an·bn}的第n项与第n＋1项分别为a1·pn－1·b1·qn－1与a1·pn·b1·qn，即为a1b1(pq)n－1与a1b1(pq)n∵·＝＝pq它是一个与n无关的常数，∴{an·bn}是一个以pq为公比的等比数列.特别地，如果{an}是等比数列，c是不等于0的常数，那么数列{c·an}是等比数列.［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数.解：设m，G，n为此三数由已知得：m＋n＋G＝14，m·n·G＝64，又∵G2＝m·n，∴G3＝64，∴G＝4，∴m＋n＝10 ∴或即这三个数为2，4，8或8，4，2.评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径.Ⅲ.课堂练习课本P50练习1，2，3，4，5.Ⅳ.课时小结本节主要内容为：(1)若a，G，b成等比数列，则G2＝ab，G叫做a与b的等比中项.(2)若在等比数列中，m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aqⅤ.课后作业课本P52习题5，6，7，9 1．已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（）A.5B.10C.15D.202．在等比数列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于（）A.9B.10C.11D.123．非零实数x、y、z成等差数列，x＋1、y、z与x、y、z＋2分别成等比数列，则y等于（）A.10B.12C.14D.164．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.5．在数列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值. 6．设x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数. 等比数列(二)答案1．已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（）A.5B.10C.15D.20分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定基本量a1和q，再求a3＋a5的方法是不行的，而应寻求a3＋a5整体与已知条件之间的关系.解法一：设此等比数列的公比为q，由条件得a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝25即a12q4(q2＋1)2＝25，又an＞0，得q＞0∴a1q2(q2＋1）＝5a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(q2＋1)＝5解法二：∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25由等比数列性质得a32＋2a3a5＋a52＝25即(a3＋a5)2＝25，又an＞0，∴a3＋a5＝5评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，以达到简化解题过程、快速求解的目的. 2．在等比数列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于（）A.9B.10C.11D.12解：∵am＝a1a2a3a4a5＝a15q1+2+3+4＝a15q10＝a15q11－1又∵a1＝1，∴am＝q11－1，∴m＝11.答案：C3．非零实数x、y、z成等差数列，x＋1、y、z与x、y、z＋2分别成等比数列，则y等于（）A.10B.12C.14D.16解：由已知得y＝12答案：B4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.解：设所求的四个数分别为a，x－d，x，x＋d则解得x＝4，代入①、②得 解得或故所求四个数为25，－10，4，18或9，6，4，2.5．在数列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转换.解：由题意知：∴an+1＝，an＝(n≥2)代入①得2bn＝＋即2＝＋(n≥2)∴{}成等差数列，设公差为d又b1＝2，b2＝＝，∴d＝－＝－＝∴＝＋（n－1）＝（n＋1），bn＝（n＋1）2，当n≥2时，an＝＝③ 且a1＝1时适合于③式，故＝.评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.6．设x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.分析：先由x＞y＞2，可知x－y＜x＋y＜xy，下来只需讨论和x－y的大小关系，分成两种情况讨论.解：∵x＞y＞2，x＋y＞x－y，xy＞x＋y，而＜1＜x－y当＜x－y时，由，x－y，x＋y，xy顺次构成等比数列.则有解方程组得x＝7＋5，y＝5＋∴所求等比数列为，2＋，12＋，70＋.当＞x－y时，由x－y，，x＋y，xy顺次构成等比数列则有 解方程组得y＝，这与y＞2矛盾，故这种情况不存在.7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.分析一：从后三个数入手.解法一：设所求的四个数为，x－d，x，x＋d，根据题意有，解得或∴所求四个数为3，6，12，18或，，，.分析二：从前三数入手.解法二：设前三个数为，x，xq，则第四个数为2xq－x.依题设有，解得或故所求的四个数为3，6，12，18或，，，.分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手.解法三：设欲求的四数为x，y，18－y，2－x，由已知得：，解得或∴所求四数为3，6，12，18或，，，.