13.1.2 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定

13.1.2线段的垂直平分线的性质第十三章轴对称第1课时线段的垂直平分线的性质和判定 学习目标1.理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定方法．(重点）2.能够运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题．（难点） 如图，MN⊥AA′，AP=A′P.直线MN是线段AA′的垂直平分线.知识回顾线段垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 导入新课问题引入1.给一条线段a,以a为底边的等腰三角形有几个？如果用三角板和刻度尺，你能画出至少三个吗？作图要点：利用三角尺、刻度尺作出线段a的垂直平分线，在垂直平分线上取点，连接可得符合条件的等腰三角形.a 讲授新课线段垂直平分线的性质一如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离之间的数量关系．ABlP1P2P3探究发现P1A____P1BP2A____P2BP3A____P3B＝＝＝ 猜想：点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离分别相等．线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.由此你能得到什么结论？你能验证这一结论吗？ 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．求证：PA=PB．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．验证结论证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）∴PA=PB．PABlC 几何语言：∵直线l是线段AB的垂直平分线∴PA=PB．PABlC线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．线段垂直平分线的性质 练一练：1.如图1所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A.6B.5C.4D.3PABCD2.如图2所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,△BCE的周长等于18cm,则AC的长是.图1ABCDE图2B10cm 解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC．∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ABCDE练习∵AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE．即AB+BD=DE．∴AB=AC=CE 线段垂直平分线的判定二反过来，如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？PAB提出问题已知：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上． 证明：过点P作PC垂直AB，则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．PABC 知识要点线段垂直平分线的判定与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．几何语言：∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．PAB作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. ABCDM这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法.∴点A、M分别在线段BC的垂直平分线上即：直线AM是线段BC的垂直平分线．已知：AB=AC，MB=MC，求证：直线AM是线段BC的垂直平分线证明：∵AB=AC，MB=MC， 例已知：如图，点P是∠MON的平分线上一点，PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,求证：OP垂直平分AB.NMOPAB证明：∵OP平分∠MON,PA⊥OM,PB⊥ON∴PA=PB.∴点P、点O分别在线段AB的垂直平分线上即：OP垂直平分AB又∵OP=OP，∴Rt△OPA≌Rt△OPB.∴OA=OB. 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上，∴OA=OB.同理OB=OC.∴OA=OC.∴点O在AC的垂直平分线上.结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 课堂小结线段的垂直平分线的性质和判定性质与线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上内容判定内容作用线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等作用知：垂直平分线，得：线段相等判断一个点是否在线段的垂直平分线上 课后检测1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　　　）A．AB垂直平分CD；B．CD垂直平分AB；C．AB与CD互相垂直平分；D．CD平分∠ACB．ＡＢＣＤ2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有种.3.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是多少？ABCDEAB