福建省福州市2024-2025学年高二上期末考数学模拟试卷

2024-2025学年第一学期福州市高二期末质量抽测模拟数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知命题p：∃x0∈R，sinx0≤1，则命题p的否定是（）A．∀x∈R，sinx＞1B．∃x∈R，sinx＞1C．∃x∈R，sinx≥1D．∀x∈R，sinx≤12．（5分）将参加夏令营的600名学生编号为1，2，…，600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为3．这600名学生分住在三个营区，从001到350在第Ⅰ营区，从351到490在第Ⅱ营区，从491到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．29，13，8B．28，12，10C．28，13，9D．29，12，93．（5分）函数y＝x2在点x0＝2处的导数值f′（2）等于（）A．0B．1C．2D．44．（5分）已知向量，且∥，则x+y＝（）A．﹣6B．﹣3C．3D．65．（5分）已知条件p：|x+1|≤2，条件q：﹣3≤x≤2，则p是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件6．（5分）若动点M（x，y）满足5＝|3x﹣4y+12|，则点M的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线7．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个底面周长恰为高的2π倍的正四棱锥，现将一个棱长为6的正方体铜块，熔化铸造一些高为4的胡夫金字塔模型，则该铜块最多能铸造出（）个该金字塔模型（不计损耗）？A．3B．4C．5D．68．（5分）已知A，B是椭圆＝1（a＞b＞0）长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两第1页（共22页） 点，直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0）．若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1B．C．D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）已知曲线C的方程为＝1（k∈R），则下列结论正确的是（）A．当k＝2时，曲线C为圆B．当k＝﹣2时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为C．“0＜k＜2”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为10．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱DD1的中点，点P是线段C1D上的动点，AA1＝2，则下列选项正确的是（）A．直线AP与B1E是异面直线B．三棱锥A1﹣AB1E的体积为C．过点C作平面AEB1的垂线，与平面AB1C1D交于点Q，若，则Q∈APD．点P到平面AEB1的距离是一个常数11．（6分）设函数f（x）＝xln2x+x的导函数为f′（x），则（）A．f′（）＝0B．x＝是f（x）的极值点C．f（x）存在零点D．f（x）在（，+∞）单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第2页（共22页） 12．（5分）已知双曲线﹣＝1的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|ON|＝．13．（5分）为了估计某产品的使用寿命，从中随机抽取100件，在相同的条件下进行试验．根据试验所得到的样本数据，绘出频率分布直方图，如图所示．若根据样本估计总体，则总体数据落在[700，900]内的概率约为．14．（5分）已知矩形ABCD，CD＝4AD＝4，过CD作平面α，使得平面ABCD⊥α，点P在α内，且AP与CD所成的角为，则点P的轨迹为，BP长度的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点M（1，y0）到抛物线C的焦点F的距离为2，A，B（不与O重合）是抛物线C上两个动点，且OA⊥OB．（1）求抛物线C的标准方程及线段AB的最小值；（2）x轴上是否存在点P使得∠APB＝2∠APO？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．16．（15分）已知四棱锥E﹣ABCD的底面为直角梯形∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝CE＝AB＝2，△EAB是以AB为底边的等腰直角三角形．第3页（共22页） （Ⅰ）求证：CE⊥AB；（Ⅱ）若H为△EAD的垂心，求二面角H﹣EC﹣B的余弦值．17．（15分）已知椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求线段AB长度的最大值．18．（17分）“十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启全面建设社会第4页（共22页） 主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年．“三农”工作重心历史性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程．国务院印发《“十四五”推进农业农村现代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到2025年全国水产品年产量达到6900万吨.2018年至2021年全国水产品年产量y（单位：千万吨）的数据如下表：年份2018201920202021年份代号x1234总产量y6.466.486.556.69（1）求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年水产品年产量能否实现目标；（2）为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了2019年全国32个地区（含中农发集团）渔业产量、渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过90万吨的地区有14个，有渔业科技推广人员高配比（配比＝渔业科技推广人员总数：渔业从业人员总数）的地区有16个，其中年产量超过90万吨且高配比的地区有4个，能否有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参考数据，19．（17分）已知函数f（x）＝xex，g（x）＝ax+1+alnx．（Ⅰ）当a≠0时，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若a＝1，求证：f（x）≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立．第5页（共22页） 2024-2025学年第一学期福州市高二期末质量抽测模拟数学试卷答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知命题p：∃x0∈R，sinx0≤1，则命题p的否定是（）A．∀x∈R，sinx＞1B．∃x∈R，sinx＞1C．∃x∈R，sinx≥1D．∀x∈R，sinx≤1【考点】存在量词命题的否定．【答案】A【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，写出命题p的否定命题即可．【解答】解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题p：∃x0∈R，sinx0≤1，则命题p的否定是￢p：“∀x∈R，sinx＞1”．故选：A．【点评】本题考查了存在量词命题的否定是全称量词命题应用问题，是基础题．2．（5分）将参加夏令营的600名学生编号为1，2，…，600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为3．这600名学生分住在三个营区，从001到350在第Ⅰ营区，从351到490在第Ⅱ营区，从491到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．29，13，8B．28，12，10C．28，13，9D．29，12，9【考点】系统抽样方法．【答案】D【分析】求出样本第k（1≤k≤50，k∈N*）个个体的编号为12k﹣9，解相应不等式，求出k的所有取值，即可得解．【解答】解：因为分段间隔为，样本第1个号码为3，则样本第k（1≤k≤50，k∈N*）个个体的编号为3+12（k﹣1）＝12k﹣9，对于第I营区，由1≤12k﹣9≤350，可得，k的取值为：1、2、⋯、29，即第I营区被抽中的人数为29，第6页（共22页） 对于第Ⅱ营区，351≤12k﹣9≤490，解得的取值为：30、31、、41，即第Ⅱ营区被抽中的人数为12，对于第Ⅲ营区，491≤12k﹣9≤600，解得的取值为：42、43、、、50，即第Ⅲ营区被抽中的人数为9，因此，三个营区被抽中的人数依次29、12、9．故选：D．【点评】本题考查了系统抽样的应用，属于基础题．3．（5分）函数y＝x2在点x0＝2处的导数值f′（2）等于（）A．0B．1C．2D．4【考点】基本初等函数的导数．【答案】D【分析】根据导数的公式即可得到结论．【解答】解：y＝x2，则y′＝2x，当x0＝2时，f′（2）＝4．故选：D．【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．4．（5分）已知向量，且∥，则x+y＝（）A．﹣6B．﹣3C．3D．6【考点】空间向量的共线与共面；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．【答案】C【分析】根据空间向量共线的坐标运算即可求解．【解答】解：由题意，，，因为∥，所以，得x＝﹣6，y＝9，所以x+y＝3．故选：C．【点评】本题考查空间向量共线的坐标运算，属基础题．5．（5分）已知条件p：|x+1|≤2，条件q：﹣3≤x≤2，则p是q的（）A．充要条件第7页（共22页） B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】B【分析】根据绝对值不等式的性质，解出命题p，再根据必要条件、充分条件的定义进行判断；【解答】解：∵条件p：|x+1|≤2，∴﹣3≤x≤1，∵条件q：﹣3≤x≤2，∴p⇒q，反之不能，∴p是q的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题以绝对值不等式的求解问题为载体，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．6．（5分）若动点M（x，y）满足5＝|3x﹣4y+12|，则点M的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【考点】轨迹方程．【答案】D【分析】由已知结合抛物线的定义即可求解．【解答】解：因为动点M（x，y）满足5＝|3x﹣4y+12|，所以＝，所以M到点（1，2）与到直线3x﹣4y+12＝0的距离相等，则点M的轨迹是以（1，2）为焦点，以3x﹣4y+12＝0为准线的抛物线．故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的定义在轨迹求解中的应用，属于中档题．7．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个底面周长恰为高的2π倍的正四棱锥，现将一个棱长为6的正方体铜块，熔化铸造一些高为4的胡夫金字塔模型，则该铜块最多能铸造出（）个该金字塔模型（不计损耗）？第8页（共22页） A．3B．4C．5D．6【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】B【分析】求得正四棱锥P﹣ABCD的高及底面边长，求得正四棱锥P﹣ABCD的体积，根据，即可求得k＜4.1，因此可得铜块最多能铸造出4个该金字塔模型．【解答】解：在正四棱锥P﹣ABCD中，令AC∩BD＝O，连接PO，则正四棱锥P﹣ABCD的高为|PO|＝4，设正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为a，则4a＝2π•|PO|＝8π，即a＝2π，所以，正四棱锥P﹣ABCD的体积为，则可得，则该铜块最多能铸造出4个该金字塔模型．故选：B．【点评】本题考查棱锥的体积公式及应用，考查转化思想，等体积法，属于基础题．8．（5分）已知A，B是椭圆＝1（a＞b＞0）长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0）．若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1B．C．D．【考点】椭圆的几何特征．【答案】B【分析】设出点P，Q，A，B的坐标，表示出直线AP，BQ的斜率，作和后利用基本不等式求最值，利用离心率求得a与b的关系，则答案可求．【解答】解：设P（t，s），Q（t，﹣s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（﹣a，0），B（a，0），第9页（共22页） k1＝，k2＝﹣，|k1|+|k2|＝||+|﹣|≥2＝2，当且仅当，即t＝0时等号成立．∵A，B是椭圆＝1（a＞b＞0）长轴的两个端点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的两点，P（t，s），Q（t，﹣s），即s＝b，∴|k1|+|k2|的最小值为，∵椭圆的离心率为，∴，即，得a＝b，∴|k1|+|k2|的最小值为．故选：B．【点评】本题考查椭圆的基本性质和基本不等式的应用，考查运算求解能力，是中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）已知曲线C的方程为＝1（k∈R），则下列结论正确的是（）A．当k＝2时，曲线C为圆B．当k＝﹣2时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为C．“0＜k＜2”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为【考点】曲线与方程．【答案】AC【分析】结合曲线方程，通过k的取值，判断选项的正误即可．【解答】解：当k＝2时，曲线C的方程为＝1为x2+y2＝2，表示圆，所以A正确；第10页（共22页） 当k＝﹣2时，曲线C为，是双曲线，其渐近线方程为y＝x，所以B不正确；“0＜k＜2”推出“曲线C表示椭圆”，反之不成立，所以“0＜k＜2”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件，所以C正确；曲线C为双曲线，其离心率为，必须满足﹣k＝4﹣k，这样的实数不存在，所以D不正确；故选：AC．【点评】本题考查曲线与方程的应用，双曲线与椭圆以及圆的方程的应用，是基础题．【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱DD1的中点，点P是线段C1D上的动点，AA1＝2，则下列选项正确的是（）A．直线AP与B1E是异面直线B．三棱锥A1﹣AB1E的体积为C．过点C作平面AEB1的垂线，与平面AB1C1D交于点Q，若，则Q∈APD．点P到平面AEB1的距离是一个常数【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线的判定．【答案】ACD【分析】利用异面直线的定义判断选项A；利用三棱锥A1﹣AB1E的体积为V＝V，即可判断选项B；建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解，即可判断选项C；利用C1D∥平面AEB1即可判断选项D．【解答】解：对于A，如图，AP⊂平面AB1C1D，B1E∩平面AB1C1D＝B，故直线AP与B1E不平行，且B1∉AP，故直线AP与B1E不相交，所以直线AP与B1E是异面直线，故选项A正确；对于B，三棱锥A1﹣AB1E的体积为V＝V，因为E到面A1AB1的距离为2，所以V，＝＝，故错．第11页（共22页） 对于C，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B1（2，2，2），E（0，0，1），C（0，2，0），＝（0，2，2），＝（﹣2，0，1），因为，则P（0，，），＝（﹣2，，），设存在Q∈AP，设＝＝（﹣2λ，，），则Q（﹣2λ+2，，），＝（﹣2λ+2，，）因为CQ⊥平面AEB1，所以，解得，满足条件，故选项C正确；对于D，在正方体中，C1D∥AB1，因为AB1⊂平面AEB1，C1D⊄平面AEB1，所以C1D∥平面AEB1，又P∈C1D，故点P到平面AEB1的距离是一个常数，故选项D正确；故选：ACD．【点评】考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于难题．11．（6分）设函数f（x）＝xln2x+x的导函数为f′（x），则（）A．f′（）＝0B．x＝是f（x）的极值点C．f（x）存在零点D．f（x）在（，+∞）单调递增【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．第12页（共22页） 【答案】AD【分析】求出定义域，再求导，计算即可判断选项A，由导函数f′（x）＝ln2x+2lnx+1＝（lnx+1）2≥0，即可判断选项B、D，由f（x）＞0，即可判断选项C，从而可得结论．【解答】解：由题可知f（x）＝xln2x+x的定义域为（0，+∞），f′（x）＝ln2x+2lnx+1，所以f′（）＝ln2+2ln+1＝0，故A正确；f′（x）＝ln2x+2lnx+1＝（lnx+1）2≥0，故函数f（x）单调递增，故无极值点，故B错误，D正确，f（x）＝xln2x+x＝x（ln2x+1）＞0，故函数f（x）不存在零点，故C错误．故选：AD．【点评】本题主要考查导数的应用，导数的运算，利用导数求函数的单调性与极值，属于中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．（5分）已知双曲线﹣＝1的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|ON|＝4．【考点】双曲线的几何特征．【答案】见试题解答内容【分析】利用ON是△MF1F2的中位线，ON＝MF1，再由双曲线的定义求出MF1，进而得到ON的值．【解答】解：连接MF1，ON是△MF1F2的中位线，∴ON∥MF1，ON＝MF1，∵由双曲线的定义知，MF2﹣MF1＝2×5，∴MF1＝8．∴ON＝4，故答案为：4．【点评】本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的定义，考查三角形中位线的性质，属于基础题．13．（5分）为了估计某产品的使用寿命，从中随机抽取100件，在相同的条件下进行试验．根据试验所得到的样本数据，绘出频率分布直方图，如图所示．若根据样本估计总体，则总体数据落在[700，900]内第13页（共22页） 的概率约为0.6．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】0.6．【分析】利用频率分布直方图能求出结果．【解答】解：总体数据落在[700，900]内的概率约为：P＝（0.0020+0.0040）×100＝0.6．故答案为：0.6．【点评】本题考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）已知矩形ABCD，CD＝4AD＝4，过CD作平面α，使得平面ABCD⊥α，点P在α内，且AP与CD所成的角为，则点P的轨迹为双曲线，BP长度的最小值为6．【考点】轨迹方程；平面与平面垂直．【答案】见试题解答内容【分析】建立空间直角坐标系，设点P坐标，结合已知条件求出P点轨迹方程进行求解即可．【解答】解：如图，以D为原点，DC所在直线为x轴，平面α内过D且与CD垂直的直线为y轴，DA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则由已知，D（0，0，0），，，，∵点P在平面α内，∴设P（x，y，0），则，，第14页（共22页） ∵直线AP与直线CD所成的角为，∴＝，两边同时平方，化简得P点轨迹方程为，∴点P的轨迹为双曲线．＝，∵P点轨迹方程为，∴y2＝3x2﹣3，且x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），∴＝，∴当时，|BP|的最小值为，故答案为：双曲线，6．【点评】本题主要考查轨迹方程和空间中两点间距离，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（12分）抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点M（1，y0）到抛物线C的焦点F的距离为2，A，B（不与O重合）是抛物线C上两个动点，且OA⊥OB．（1）求抛物线C的标准方程及线段AB的最小值；（2）x轴上是否存在点P使得∠APB＝2∠APO？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．【答案】（1）抛物线C的标准方程为C：y2＝4x，线段AB的最小值为8；（2）x轴上存在点P使得∠APB＝2∠APO，点P（﹣4，0）．【分析】（1）由已知可得，可求p，设直线OA方程为：y＝kx（k≠0），可求A的坐标，同理可得B的坐标，可求|AB|的最小值；（2）由∠APB＝2∠APO得∠OPA＝∠OPB，假定在x轴上存在点P使得∠OPA＝∠OPB，可得，进而得（k2﹣1）（x0+4）＝0，可求定点坐标．【解答】解：（1）∵点M（1，y0）到抛物线C的焦点F的距离为2，第15页（共22页） ∴，解得P＝2，则抛物线C的标准方程为C：y2＝4x，依题意知，直线OA与直线OB的斜率存在，设直线OA方程为：y＝kx（k≠0），由OA⊥OB得，直线OB方程为：y＝﹣x，由，得点，同理可得点B（4k2，﹣4k），则|AB|＝＝4，令，则，函数f（t）＝t2+t﹣2在区间[2，+∞）单调递增，所以f（t）min＝f（2）＝4，则，所以线段AB的最小值为8；（2）假定在x轴上存在点P使得∠OPA＝∠OPB，由∠APB＝2∠APO得∠OPA＝∠OPB，设点P（x0，0），则直线PA斜率，直线PB斜率，由∠OPA＝∠OPB得kPA+kPB＝0，则有，即，整理得（k2﹣1）（x0+4）＝0，显然当x20＝﹣4时，对任意不为0的实数k，（k﹣1）（x0+4）＝0恒成立，即当x0＝﹣4时，kPA+kPB＝0恒成立，∠OPA＝∠OPB恒成立，所以，x轴上存在点P使得∠APB＝2∠APO，点P（﹣4，0）．【点评】本题考查抛物线的性质，考查方程思想，考查运算求解能力，属中档题．16．（15分）已知四棱锥E﹣ABCD的底面为直角梯形∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝CE＝AB＝2，△EAB是以AB为底边的等腰直角三角形．（Ⅰ）求证：CE⊥AB；（Ⅱ）若H为△EAD的垂心，求二面角H﹣EC﹣B的余弦值．第16页（共22页） 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．【答案】（Ⅰ）证明过程请看解答；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）取AB的中点F，连接EF、CF，易推出CF⊥AB；由等腰三角形的性质可知EF⊥AB；再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可得证．（Ⅱ）以D为原点，DA、DC所在直线为x、y轴，作Dz⊥面ABCD，建立空间直角坐标系，通过计算线段长可推出EF＝CE＝CF＝2，即△CEF是等边三角形，从而得点E的坐标；设EH与AD交于点G，则二面角H﹣EC﹣B与二面角G﹣EC﹣B相等，可求得DE＝AE，于是G为AD的中点，从而得G的坐标；再根据法向量的性质求出平面GCE和平面BCE的法向量与；最后由cos＜，＞＝即可得解．【解答】（Ⅰ）证明：取AB的中点F，连接EF、CF，则AF∥CD，AF＝CD，∴四边形ADCF为平行四边形，∴AD∥CF，∴∠CFB＝∠DAB＝90°，即CF⊥AB．∵△EAB是以AB为底边的等腰直角三角形，∴EF⊥AB．又CF∩EF＝F，CF、EF⊂平面CEF，∴AB⊥平面CEF，∵CE⊂平面CEF，∴CE⊥AB．第17页（共22页） （Ⅱ）解：以D为原点，DA、DC所在直线为x、y轴，作Dz⊥面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，2，0），D（0，0，0），在等腰Rt△EAB中，AE＝，EF＝AB＝2＝CE，由（Ⅰ）知，四边形ADCF为平行四边形，∴CF＝AD＝2，∴△CEF是边长为2的等边三角形，点E（1，2，）．设EH与AD交于点G，则二面角H﹣EC﹣B与二面角G﹣EC﹣B相等，∵H为△EAD的垂心，∴EG⊥AD．由（Ⅰ）知CE⊥AB，而CD∥AB，∴CE⊥CD，∴DE＝＝AE，∴G为AD的中点，点G（1，0，0）．∴＝（1，0，），＝（﹣1，2，0），＝（﹣2，﹣2，0），设平面GCE的法向量为＝（x，y，z），则，即，令z＝2，则x＝，y＝﹣，∴＝（，﹣，2）．同理可得，平面BCE的法向量＝（﹣，，1）．∴cos＜，＞＝＝＝．由图可知，二面角H﹣EC﹣B为锐二面角，故二面角H﹣EC﹣B的余弦值为．【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系、二面角的求法，熟练掌握空间中线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．第18页（共22页） 17．（15分）已知椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求线段AB长度的最大值．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的几何特征．【答案】（1）；（2）2．【分析】（1）根据题圆的几何性质，方程思想，即可求解．（2）写出△AOB的面积S的表达式，设A（x1，y1），B（x2，y2），通过①当AB⊥x轴时，求出面积；②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx+m（显然k≠0），通过直线与圆相切，得到关系式，直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式及基本不等式，即可求解．【解答】解：（1）由题设：，a2＝b2+c2，解得a2＝3，b2＝1，∴椭圆C的方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），①当AB⊥x轴时，．②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx+m（显然k≠0），由已知，得，把y＝kx+m代入椭圆方程消去y，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，，＝＝第19页（共22页） ＝，∴|AB|≤2，当且仅当即时等号成立．又当AB⊥x轴时，，故|AB|max＝2．【点评】本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的应用以及直线与圆相切的性质，考查分析问题、解决问题的能力，是中档题．18．（17分）“十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年．“三农”工作重心历史性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程．国务院印发《“十四五”推进农业农村现代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到2025年全国水产品年产量达到6900万吨.2018年至2021年全国水产品年产量y（单位：千万吨）的数据如下表：年份2018201920202021年份代号x1234总产量y6.466.486.556.69（1）求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年水产品年产量能否实现目标；（2）为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了2019年全国32个地区（含中农发集团）渔业产量、渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过90万吨的地区有14个，有渔业科技推广人员高配比（配比＝渔业科技推广人员总数：渔业从业人员总数）的地区有16个，其中年产量超过90万吨且高配比的地区有4个，能否有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828第20页（共22页） 参考数据，【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】（1）y＝0.076x++6.355；（2）有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．【分析】（1）先求出，的值，再利用公式求出β，α的值，从而得到y关于x的线性回归方程；（2）根据题意列出业科技推广人员配比和年产量之间的2×2列联表，根据公式计算K2的值，再与临界值比较即可得到结果．【解答】解：（1）由题意可得＝12+22+32+42＝30，又因为＝＝，，，所以β＝＝＝0.076，所以α＝＝6.545﹣0.076×＝6.355，所以y关于x的线性回归方程为y＝0.076x++6.355；（2）由题意得，渔业科技推广人员配比和年产量之间的2×2列联表如下：渔业科技推广人员配比渔业科技推广人员配比合计年产量超过90万吨41014年产量未超过90万吨12618合计161632所以K2＝＝4.571＞3.841，故有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．【点评】本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了独立性检验的应用，属于中档题．19．（17分）已知函数f（x）＝xex，g（x）＝ax+1+alnx．（Ⅰ）当a≠0时，讨论g（x）的单调性；第21页（共22页） （Ⅱ）若a＝1，求证：f（x）≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【答案】（Ⅰ）当a＞0时，g（x）在（0，+∞）递增，当a＜0时，g（x）在（0，+∞）递减；（Ⅱ）详见证明过程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）代入a的值，问题转化为ex+lnx≥x+lnx+1在x∈（0，+∞）上恒成立，令t＝x+lnx，转化为求证et≥t+1在t∈R上恒成立，构造函数h（t）＝et﹣t﹣1，t∈R，根据函数的单调性证明结论成立即可．【解答】解：（Ⅰ）g（x）＝ax+1+alnx，x∈（0，+∞），∴g′（x）＝a+＝a（1+），∴当a＞0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，当a＜0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）递减；证明：（Ⅱ）a＝1时，g（x）＝x+1+lnx，要证原不等式成立，即证：xex≥x+1+lnx对任意x∈（0，+∞）恒成立，∵x＝elnx，∴xex＝ex+lnx，只需证明：ex+lnx≥x+lnx+1在x∈（0，+∞）上恒成立，令t＝x+lnx，则t在（0，+∞）上单调递增且t∈R，即转化为求证et≥t+1在t∈R上恒成立，构造函数h（t）＝et﹣t﹣1，t∈R，∵h′（t）＝et﹣1，∴当t∈（﹣∞，0）时，h′（t）＜0，h（t）递减，当t∈（0，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）递增，∴h（t）≥h（0）＝0，即et≥t+1，综上，当a＝1时，f（x）≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是难题．第22页（共22页）