2024年高考数学真题分类汇编02：不等式与不等关系

不等式与不等关系一、单选题1．（2024·全国1卷）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ）A．B．C．D．2．（2024·全国1卷）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（    ）A．B．C．D．3．（2024·全国2卷）已知命题p：，；命题q：，，则（    ）A．p和q都是真命题B．和q都是真命题C．p和都是真命题D．和都是真命题4．（2024·全国2卷）设函数，若，则的最小值为（    ）A．B．C．D．15．（2024·全国甲卷文）若实数满足约束条件，则的最小值为（    ）A．B．C．D．6．（2024·北京）已知集合，，则（    ）A．B．C．D．7．（2024·北京）记水的质量为，并且d越大，水质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（    ）A． B．C．若，则；若，则；D．若，则；若，则；8．（2024·北京）已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（    ）A．B．C．D．9．（2024·天津）若，则的大小关系为（   ）A．B．C．D．二、填空题10．（2024·上海）已知则不等式的解集为．三、解答题11．（2024·全国甲卷文）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若时，证明：当时，恒成立．12．（2024·全国甲卷理）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，恒成立，求的取值范围． 参考答案：1．B【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【解析】因为当时，所以，又因为，则，，，，，则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.2．B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【解析】因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是.故选：B.3．B【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，综上，和都是真命题. 故选：B.4．C【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.【解析】解法一：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时；当时，可知，此时；可知若，符合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；综上所述：，即，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为；解法二：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；则当时，，故，所以；时，，故，所以；故，则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.5．D【分析】画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.【解析】实数满足，作出可行域如图：由可得，即的几何意义为的截距的，则该直线截距取最大值时，有最小值，此时直线过点，联立，解得，即，则.故选：D.6．A【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【解析】由题意得，故选：A.7．C 【分析】根据题意分析可得，讨论与1的大小关系，结合指数函数单调性分析判断.【解析】由题意可得，解得，若，则，可得，即；若，则，可得；若，则，可得，即；结合选项可知C正确，ABD错误；故选：C.8．A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误，故选：A.9．B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【解析】因为在上递增，且， 所以，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，所以，故选：B10．【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【解析】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.11．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可.【解析】（1）定义域为，当时，，故在上单调递减；当时，时，，单调递增，当时，，单调递减.综上所述，当时，在上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减.（2），且时，，令，下证即可.，再令，则， 显然在上递增，则，即在上递增，故，即在上单调递增，故，问题得证12．(1)极小值为，无极大值.(2)【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围.【解析】（1）当时，，故，因为在上为增函数，故在上为增函数，而，故当时，，当时，，故在处取极小值且极小值为，无极大值.（2），设，则，当时，，故在上为增函数，故，即，所以在上为增函数，故.当时，当时，，故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍.当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍；综上，.【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.