初中数学新人教版七年级上册第五章第1课《方程》教案（2024秋）

5.1方程5.1.1从算式到方程第1课时方程【素养目标】1.能根据现实情境理解方程的意义.2.能针对具体问题列出方程,初步感受模型观念.【教学重点】能根据现实情境理解方程的意义.【教学难点】根据实际问题列出方程.【教学过程】活动一:创设情境,引入新知[设计意图]先用算术方法解决实际问题,方便与后面要学习的方程进行对比【情景引入】(教材P110引言节选)甲､乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1km的一号营地出发,每小时行进1.2km;乙队从距大本营3km的二号营地出发,每小时行进0.8km.多长时间后,甲队在途中追上乙队?你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗?(3-1)÷(1.2-0.8)=5(h).本章我们将学习一种新的方法,通过列方程来解决这个问题.今天我们先来认识一下什么是方程.[教学提示]师生一起讨论得出正确答案,感受算术法解题的过程.活动二:交流讨论,探究新知[设计意图]用字母表示未知数,根据相等关系列方程,体验方程与算式的不同.探究点方程问题1在上面引入的问题中,甲､乙两队的行进速度是已知的,行进的时间和路程都是未知的.(1)如果设两队行进的时间为xh,根据“路程=速度×时间”,甲队和乙队的行进路程分别可以怎样表示?甲队的行进路程为1.2xkm,乙队的行进路程为0.8xkm.(2)甲队追上乙队时,他们距大本营的路程之间有什么关系?试写出相等关系.甲队追上乙队时,他们处于同一位置,此时甲队距大本营的路程=乙队距大本营的路程.(3)你能用式子表示(2)中的相等关系吗?1.2x+1=0.8x+3.(4)这是一个什么样的式子?是一个含有未知数x的等式.问题2(教材P111问题1)用买3个大水杯的钱,可以买4个小水杯,大水杯的单价比小水杯的单价多5元,两种水杯的单价各是多少元?(1)如果设大水杯的单价为x元,那么小水杯的单价为(x-5)元.(2)类比问题1的做法,填写下表:相等关系买3个大水杯的钱=买4个小水杯的钱用含有未知数x的等式表示3x=4(x-5)[教学提示]引导学生注意:①算式中只含已知数(包括已在前面求出的数)而不含未知数.②列方程也是依据问题中的数量关系(特别是相等关系),但它打破了列式时只能用已知数的限制,方程中可以含有相关的已知数和未知数,这是一种进步.正因如此,一般地说列方程比列算式有更多的优越性.③教学时,对于问题1~3中求出x的值或者如何根据x的值求其他未知量的值,教师可简单解释下,不作展开[设计意图]6 分析具体问题中的相等关系,并列出方程,养成模型观念.问题3(教材P112问题2)如图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币,其面积是4000mm2.长和宽的比为8∶5即宽是长的58.这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米?如果设这枚纪念币的长为xmm,试着填写下表:概念引入像这样,先设出字母表示未知数,然后根据问题中的相等关系,列出一个含有未知数的等式,这样的等式叫作方程.【对应训练】下列各式中,是方程的是(B)A.5+7=12B.5x+2=17C.7x<14D.y+8[教学提示]正式给出方程的概念时,所说的“等式”指其中只含有一个等号的式子,等号两边分别叫作等式的左边和右边.活动三:知识升华,巩固提升[设计意图]通过更多的实际问题,加强学生列方程的能力例(教材P113例1)根据下列问题,设未知数并列出方程.(1)某校女生占全体学生数的52%,比男生多80人,这所学校有多少名学生?(2)如图,一块正方形绿地沿某一方向加宽5m,扩大后的绿地面积是500m2,求正方形绿地的边长.解:(1)设这所学校的学生数为x,那么女生数为0.52x,男生数为(1-0.52)x.根据“女生比男生多80人”,列得方程0.52x-(1-0.52)x=80.(2)设正方形绿地的边长为xm,那么扩大后的绿地面积为(x2+5x)m2.根据“扩大后的绿地面积是500m2”,列得方程x2+5x=500.你能解释这些方程的左边､右边各表示什么意思吗?由此体会如何根据相等关系列方程.归纳【对应训练】教材P113练习.[教学提示](1)列方程的基础是正确表示相等关系.对于由浅入深地培养学生列方程的能力应予以关注,可以再多安排一些类似的练习.(2)把实际问题中的数量关系用方程形式表示出来,就是建立一种数学模型,这种建模思想在本章中占主导地位.活动四:随堂训练,课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.什么是方程?2.怎样根据实际问题列方程?【作业布置】1.教材P118习题5.1第1,2,5,6,7,8,9,10题.【教学后记】第2课时：方程的解及一元一次方程6 【素养目标】1.理解方程的解的意义,能判断某个未知数的值是不是方程的解.2.理解一元一次方程的概念,能准确地识别一元一次方程.【教学重点】判断方程的解,识别一元一次方程.【教学难点】识别一元一次方程.【教学过程】活动一:创设情境,引入新知[设计意图]引入本节课的学习内容【课堂引入】对于方程2x=12,容易知道x=6可以使等式成立;对于方程170+15x=215,你知道x等于何值时等式成立吗?当x=3时,170+15x=170+15×3=215,等式成立.(2)你知道170+15x=215是怎样的方程吗?围绕这两个问题,我们一起走进本节课的学习.[教学提示]对于问题(1),可分别让5个学生代入不同的数作为x的值进行计算,再一起讨论得出正确答案.活动二:交流讨论,引出新知[设计意图]通过计算验证,介绍方程的解的概念｡探究点1方程的解问题1类比活动一中问题(1),对于上节课列出的方程1.2x+1=0.8x+3,如下表所示,当x为何值时,方程左､右两边的值相等?当x=5时,方程左边=1.2×5+1=7,方程右边=0.8×5+3=7,这时方程左､右两边的值相等.概念引入:问题2(教材P114例2)(1)x=2,x=3/2是方程2x=3的解吗?(2)x=10,x=20是方程3x=4(x-5)的解吗?解:(1)当x=2时,方程2x=3的左边=2×2=4,右边=3,方程左､右两边的值不相等,所以x=2不是方程2x=3的解;当x=3/2时,方程2x=3的左边=2×3/2=3,右边=3,方程左､右两边的值相等,所以x=3/2是方程2x=3的解.[教学提示]教学时,教师可让学生上台板演,并共同归纳判断一个数值是不是方程的解的步骤:(1)将数值代入方程左边进行计算;(2)将数值代入方程右边进行计算;(3)若左边=右边,则是方程的解,反之,则不是.这个步骤要让学生切实掌握.【教学过程】(2)当x=10时,方程3x=4(x-5)的左边=3×10=30,右边=4×(10-5)=20,方程左､右两边的值不相等,所以x=10不是方程3x=4(x-5)的解.当x=20时,方程3x=4(x-5)的左边=3×20=60,右边=4×(20-5)=60,方程左､右两边的值相等,所以x=20是方程3x=4(x-5)的解.(教材P114第1个思考)x=60是方程5/8x2=4000的解吗?x=80呢?x=60不是方程的解,x=80是方程的解.【对应训练】教材P115练习第1题.[设计意图]观察归纳,引出一元一次方程的概念.探究点2一元一次方程的概念方程有多种类型,本章我们先来研究一类最简单的方程.教材P114第2个思考)观察方程1.2x+1=0.8x+3,3x=4(x-5),0.52x-(1-0.52)x=80,它们有什么共同特征?完成下表.概念引入6 追问170+15x=215是不是一元一次方程?是.【对应训练】教材P115练习第2题.[教学提示]给学生说明,在一元一次方程的概念中,“一元”“一次”都是针对未知数的,此外这里要求方程中只出现整式.活动三:知识升华,巩固提升[设计意图]强化对一元一次方程概念的理解.例(1)若xk-1+21=0是一元一次方程,则k=2.(2)若x|k|+21=0是一元一次方程,则k=1或-1.(3)若关于x的方程(k-1)x|k|+21=0是一元一次方程,则k=-1.解析:(1)因为原方程是一元一次方程,所以k-1=1,所以k=2.(2)因为原方程是一元一次方程,所以|k|=1,所以k=1或-1.(3)因为原方程是一元一次方程,所以|k|=1,且k-1≠0,所以k=-1.【对应训练】1.若3xn+4=5是一元一次方程,则n=1.2.若关于x的方程(a-2)x2+ax+1=0是一元一次方程,则a=2.3.若(m-3)x|m|-2=-5是关于x的一元一次方程,则m的值为-3.[教学提示]已知方程是一元一次方程,求方程中除未知数外的字母的值,需注意两点:(1)未知数的次数为1;(2)未知数的系数不为0.若出现未知数次数高于1的项,则该项系数应为0,从而使该项为0.活动四:随堂训练,课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.什么是方程的解?2.什么样的方程是一元一次方程?【作业布置】1.教材P118习题5.1第3题.【教学后记】5.1.2等式的性质【素养目标】1.掌握等式的性质.2.能利用等式的性质解简单的一元一次方程,感受数学思考过程的条理性和数学结论的严密性,同时强化运算能力.【教学重点】等式的性质､利用等式的性质解一元一次方程.【教学难点】利用等式的性质将方程变形为x=m(常数)的形式.【教学过程】活动一:交流讨论,引入新知[设计意图]根据解方程的需要,引出探究等式性质的课题.【课题引入】观察2x=3,x+1=3这两个方程,你知道它们的解是什么吗?两个方程的解分别是x=3/2,x=2.6 像2x=3,x+1=3这样的简单方程,我们可以直接看出方程的解,但是对于比较复杂的方程,仅靠观察来解方程是困难的.因此,还要研究怎样解方程.方程是含有未知数的等式,为了研究解方程,我们今天先来学习等式的性质,再尝试用等式的性质解一些简单的方程.[教学提示]给学生强调,等式的性质是讨论方程的解法时的重要依据,要认真学好本课时的内容.活动二:合情推理,探究新知[设计意图]通过举例验证和合情推理,将小学学过的等式的性质的适用范围扩大到有理数.探究点1等式的性质像m+n=n+m,x+2x=3x,3×3+1=5×2,3x+1=5y这样的式子,都是等式.我们可以用a=b表示一般的等式.首先,给出关于等式的两个基本事实.等式两边可以交换.如果a=b,那么b=a.相等关系可以传递.如果a=b,b=c,那么a=c.(教材P115思考)在小学,我们已经知道:等式两边同时加(或减)同一个正数,同时乘同一个正数,或同时除以同一个不为0的正数,结果仍相等.引入负数后,这些性质还成立吗?问题已知等式a=2b.(1)等式两边同时加同一个负数,如-2,则a+(-2)=2b+(-2)成立吗?对于a=2b,不妨设a=4,b=2.则a+(-2)=4+(-2)=2,2b+(-2)=2×2+(-2)=2.即a+(-2)=2b+(-2)成立.(2)等式两边同时减同一个负数,如-3,则a-(-3)=2b-(-3)成立吗?对于a=2b,不妨设a=4,b=2.则a-(-3)=4-(-3)=4+3=7,2b-(-3)=2×2-(-3)=7.即a-(-3)=2b-(-3)成立.(3)等式两边同时乘(或除以)同一个负数,结果仍相等吗?[教学提示]教材中对等式的性质,既给出了文字形式的表达,又用式子形式加以描述.两种形式并用来表示这些性质,目的在于让学生一方面切实理解等式的性质,另一方面体会如何用数学的符号语言抽象概括地表示它们.仍相等.大家可以用其他的数值再试一试,可以发现,对等式进行上面4种变形,等式都是成立的.所以小学学过的等式的性质,在引入负数后,依然成立.[设计意图]用文字和符号语言表述等式的性质,并通过实例加以巩固.知识引入:一般地,等式有以下性质:等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.例1(教材P116例3)根据等式的性质填空,并说明依据:(1)如果2x=5-x,那么2x+_____=5;(2)如果m+2n=5+2n,那么m=_____;(3)如果x=-4,那么_____·x=28;(4)如果3m=4n,那么32m=_____·n.解:(1)2x+x=5;根据等式的性质1,等式两边加x,结果仍相等.(2)m=5;根据等式的性质1,等式两边减2n,结果仍相等.(3)-7·x=28;根据等式的性质2,等式两边乘-7,结果仍相等.(4)32m=2·n;根据等式的性质2,等式两边除以2,结果仍相等.【对应训练】6 教材P117练习第1题.[教学提示]在给出等式的性质后,教师跟学生强调:(1)等式两边都要参加运算,且是同一种运算.(2)等式两边加或减,乘或除以的一定是同一个数或同一个式子.(3)等式两边不能除以0,即0不能作除数或分母.[设计意图]加强对等式的性质的掌握,同时为解更复杂的方程打下基础.[设计意图]通过检验使学生确信,利用等式性质变形得到的结果是方程的解.探究点2利用等式的性质解方程例2(教材P116例4)利用等式的性质解下列方程:(1)x+7=26;(2)-5x=20;(3)-1/3x-5=4.分析:解以x为未知数的方程,就是把方程逐步转化为x=m(常数)的形式,我们可以依据等式的性质来实现这种转化.问题对于上面的3个方程,要使它们各自转化为x=m(常数)的形式,应该对等式的两边分别作怎样的变形?依据的分别是等式的哪条性质?解:(1)方程两边减7,得x+7-7=26-7.于是x=19.依据的是等式的性质1.(2)方程两边除以-5,得-5x-5=20-5.于是x=-4.依据的是等式的性质2.(3)方程两边加5,得-13x-5+5=4+5.化简,得-13x=9.方程两边乘-3,得x=-27.两次变形,分别依据的是等式的性质1和等式的性质2.一般地,从方程解出未知数的值以后,通常需要代入原方程检验,看这个值能否使方程左､右两边的值相等.例如,将x=-27代入方程-1/3x-5=4.的左边,得-1/3×(-27)-5=4.方程左､右两边的值相等,所以x=-27是方程-1/3x-5=4的解.【对应训练】教材P117练习第2题.教学建议[教学提示]在本节课教学中,不要过早地使用“合并同类项”“移项”“系数化为1”等解方程的专门用语.这些内容留待后面几节课进行,这里要突出等式性质,使用等式的性质考虑如何解方程.[教学提示]可以让学生自己思考如何检验.对于检验的格式可以暂不做严格要求,只要理解“为什么检验”和知道“怎样检验”就可以了.【教学过程】活动三:随堂训练,课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.等式的性质1是什么?2.等式的性质2是什么?3.如何利用等式的性质解方程?【作业布置】1.教材P118习题5.1第4,11题.【教学后记】6