北师版八年级数学上册 第一章 勾股定理 （单元综合测试卷）

第一章勾股定理（单元重点综合测试）班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，在中，，，则（    ）A．B．C．D．62．下列三个数中，能组成一组勾股数的是（    ）A．，，B．，，C．12，15，9D．，，3．如图，点P是以A为圆心，AB为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P表示的实数是（    ）A．－2B．C．D．4．在中，斜边，则等于（   ）A．8B．4C．6D．以上都不对5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为   ,A．米B．米C．2米D．米6．适合下列条件的中，直角三角形的个数为（   ）①,,；②；③；④；⑤．⑥A．个B．个C．个D．个7．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，则边长的高为（   ）A．B．C．D．8．如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a、b、c三个正方形的面积之和为（    ）A．11B．15C．10D．229．我们在学习勾股定理的第二课时时，以下图形可以用来验证勾股定理的有（   ）个．A．1B．2C．3D．410．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为,，则BD的长为（   ）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为．12．如图，在中，，则的面积．13．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=135°，CD=6，AB=2，则四边形ABCD的面积为14．已知三角形三边长为正整数，则此三角形是三角形．15．如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm，A点在内壁距杯口2cm处，在A点正对面的外壁距杯底2cm的B处有一只小虫，小虫要到A处饱餐一顿至少要走cm．（杯子厚度忽略不计）,16．如图，△ABC为一张纸片，AB=3，AC=9，BC=，现将△ABC折叠，使点C与点B重合，折痕为DE．则DC长为17．如图是我国古代著名的赵爽弦图，其中直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，若，，则的长是．18．在三角形ABC中，，，．点D在直线AC上，且，则线段BD的长为．三、解答题（本大题共9小题，共66分）19．在中，，若，．求a，b的长．20．如图所示，是一块地的平面图，其中米，米，米，米，，求这块地的面积.  21．如图，在中，，，，于．求：  (1)的长和的面积；(2)的长．22．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，,  (1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？23．“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地进行新的规划，点D是边上的一点，过点D作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米．  (1)求的长；(2)求小路的长．24．一艘轮船从港向南偏西48°方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是．（1）若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间．（2）岛在港的什么方向？25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D,处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处．  （1）求∠ECF的度数；（2）若CE＝4，B'F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．26．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中．【探究1】观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股__________；弦__________．（2）如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股__________，弦__________；【探究2】观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，a，b，82；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．（1）__________；__________；（2）如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股__________，弦__________；27．如图①已知和中，，，，按照图①的位置摆放，直角顶点重合．,（1）写出与的关系；（2）如图②，点、、在同一直线上时，若，，求长为________．（3）如图③，若，，，求的长．,第一章勾股定理（单元重点综合测试）班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、单选题1．如图，在中，，，则（    ）A．B．C．D．6【答案】B【分析】根据勾股定理即可直接求出答案．【解析】∵在中，，，∴．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理．掌握直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．2．下列三个数中，能组成一组勾股数的是（    ）A．，，B．，，C．12，15，9D．，，【答案】C【分析】根据勾股定理的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此求解即可．【解析】解：A、三边，，，不是正整数，故本选项不符合题意；B、三边为1，2，9，且，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．C、，三边是正整数，且符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意．D、三边，，，不是正整数，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了勾股数问题，满足的三个正整数，称为勾股数．,3．如图，点P是以A为圆心，AB为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P表示的实数是（    ）A．－2B．C．D．【答案】C【分析】在△AOB中，利用勾股定理求出AB的长，即可确定出AP的长，得到P表示的实数．【解析】解：在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝3，根据勾股定理得：AB＝，∴AP＝AB＝，∴OP＝AP﹣OA＝－1．∵点P在原点的左边，∴P表示的实数为﹣（－1）＝1﹣．故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．4．在中，斜边，则等于（   ）A．8B．4C．6D．以上都不对【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理可知，进而可知．【解析】解：∵在中，斜边为，∴，∵，∴，∴，故选A．5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为,米，顶端距离地面米若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为   A．米B．米C．2米D．米【答案】A【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度.【解析】由题意可得：，在中，，米，，，，，，小巷的宽度为（米）.故选.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.6．适合下列条件的中，直角三角形的个数为（   ）①,,；②；③；④；⑤．⑥A．个B．个C．个D．个【答案】C,【分析】根据勾股定理的逆定理，直角三角形的定义和三角形的三边关系进行判断即可．【解析】解：，故①不是直角三角形；∵，∴，∴，故②是直角三角形；，故③是直角三角形；，故④是直角三角形；∵，∴由三角形的三边关系可知，⑤不能构成三角形；令，，，可知，故⑥是直角三角形；综上，有4个是直角三角形．故选：C．【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定，熟练运用勾股定理的逆定理是解题的关键．7．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，则边长的高为（   ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】解：，，边长的高，故选：C．【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么解答．,8．如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a、b、c三个正方形的面积之和为（    ）A．11B．15C．10D．22【答案】B【分析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式不难发现：a的面积等于1号的面积加上2号的面积，b的面积等于2号的面积加上3号的面积，c的面积等于3号的面积加上4号的面积，据此可以求出三个的面积之和.【解析】利用勾股定理可得：，，∴故选B【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键.9．我们在学习勾股定理的第二课时时，以下图形可以用来验证勾股定理的有（   ）个．A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】用两种不同的方法表示出梯形的面积，可以判断图1和图3可以验证勾股定理；根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理可以判断图2可以验证勾股定理．【解析】解：图1和图3：∵，，,∴，∴，∴，故图1和图3都可以验证勾股定理；图2：图形的总面积可以表示为：，也可以表示为：，∴，∴．故图2可以验证勾股定理；图4不可以验证勾股定理．综上，图1、图2和图3可以验证勾股定理，共3个．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，观察图形，利用两种方法表示出图形的面积是解题的关键．10．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长为（   ）A．B．C．D．【答案】A【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．【解析】解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，在△BAF和△EAF中，∴△BAF≌△EAF(SAS),∴BF=EF∴AF⊥BE又∵AF＝4，AB＝5，∴在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，∴即∵，∴∴∴∴在Rt△BDF中，，，∴故选：A【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．二、填空题11．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为．【答案】5或【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．【解析】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，第三边的长为：；②长为3、4的边都是直角边时，第三边的长为：；,∴第三边的长为：或5，故答案为：或5．12．如图，在中，，则的面积．【答案】54【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的面积，先根据勾股定理求出，再求出面积即可．【解析】在中，，，∴，∴．故答案为：54．13．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=135°，CD=6，AB=2，则四边形ABCD的面积为【答案】16【分析】延长AB和DC，两线交于O，求出OB=BC，OD=OA，OA=AD，BC=OC，设BC=OC=x，则BO=x，解直角三角形得出方程，求出x，再分别求出△AOD和△BOC的面积即可．【解析】解：延长AB和DC，两线交于O，∵∠C=90°，∠ABC=135°，∴∠OBC=45°，∠BCO=90°，∴∠O=45°，∵∠A=90°，∴∠D=45°，则OB=BC，OD=OA，OA=AD，BC=OC，,设BC=OC=x，则BO=x，∵CD=6，AB=2，∴6+x=(x+2)，解得：x=6-2，∴OB=6-4，BC=OC=6-2，OA=AD=2+6-4=6-2，∴S四边形ABCD=S△OAD-S△OBC=OA•AD-BC•OC==16，故答案为16．【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的面积，二次根式的混合运算．正确添加辅助线构建直角三角形、求出BC的长度是解此题的关键．14．已知三角形三边长为正整数，则此三角形是三角形．【答案】直角【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．【解析】解：∵==，==,==，∴，∴此三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．15．如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm，A点在内壁距杯口2cm处，在A点正对面的外壁距杯底2cm的B处有一只小虫，小虫要到A处饱餐一顿至少要走cm．（杯子厚度忽略不计）【答案】10【分析】先把圆柱展开，得到其一半的一个矩形的形状，A、B的最短距离就是线段AB的长，再根据勾股定理解答即可．【解析】试题解析：将圆柱的侧面展开成平面，其形状是一个矩形，如图是展开图的一半，将A点对称到A′点，线段A′B的长就是所求的最短距离，在Rt△A′BE中，BE=×12=6cm，A′E=AE+AA′=8cm，则AB==10cm，答：小虫要到A处饱餐一顿至少要走10cm．【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，将侧面展开利用勾股定理求出是解题关键．16．如图，△ABC为一张纸片，AB=3，AC=9，BC=，现将△ABC折叠，使点C与点B重合，折痕为DE．则DC长为,【答案】5【分析】根据勾股定理逆定理可得∠A=90°，再根据折叠的性质可得BD=CD，设CD=x，则BD=x，AD=9-x，再由勾股定理，即可求解．【解析】解：∵AB=3，AC=9，BC=，∴，∴∠A=90°，∵将△ABC折叠，使点C与点B重合，∴BD=CD，设CD=x，则BD=x，AD=9-x，∵，∴，解得：，即CD=5．故答案为：5【点睛】本题主要考查了勾股定理勾股定理及其逆定理，图形的折叠，熟练掌握勾股定理勾股定理及其逆定理是解题的关键．17．如图是我国古代著名的赵爽弦图，其中直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，若，，则的长是．【答案】2【分析】本题主要考查勾股定理，由图可知四边形是正方形，里面的小四边形也为正方形且边长为，再利用勾股定理求解．,【解析】解：由图可知四边形是正方形，里面的小四边形也为正方形且边长为，那么对角线，，，所以，故答案为：．18．在三角形ABC中，，，．点D在直线AC上，且，则线段BD的长为．【答案】或20/20或【分析】首先根据勾股定理的逆定理，即可证得是直角三角形，再分两种情况，利用勾股定理即可求得．【解析】解：，，，是直角三角形，，如图：当点D在AC的延长线上时，  ，，，；如图：当点D在CA的延长线上时，  ，，，,；故答案为：或20．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．三、解答题19．在中，，若，．求a，b的长．【答案】6，8【分析】根据，设，根据勾股定理可得，结合题意求得的值即可求解．【解析】解：设，根据勾股定理可得．又，即，所以，因此．即a，b的长分别为6，8．【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．20．如图所示，是一块地的平面图，其中米，米，米，米，，求这块地的面积.  【答案】24平方米【分析】连接，根据勾股定理求出米，根据，，根据直角三角形的面积公式求出结果即可．【解析】解：如图，连接，如图所示：  ，米，米，,米，米，米，，，这块地的面积为：（平方米）．【点睛】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．21．如图，在中，，，，于．求：  (1)的长和的面积；(2)的长．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据勾股定理求得的长；利用三角形的面积公式可求出的面积；（2）再根据三角形的面积公式是一定值求得即可．【解析】（1）解：在中，，，，∴，∴．（2）解：，,，．【点睛】此题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．22．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，  (1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】(1)24米(2)8米【分析】（1）利用勾股定理即可求解．（2）利用勾股定理可求得米，进而可求解．【解析】（1）解：由题意得：米，米，在中，，（米），这个梯子的顶端距地面有24米．（2）由题意得：米，米，在中，，（米），则：（米），梯子的底端在水平方向滑动了8米．,【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．23．“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地进行新的规划，点D是边上的一点，过点D作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米．  (1)求的长；(2)求小路的长．【答案】(1)9米(2)米【分析】（1）根据，得到，运用勾股定理，计算即可．（2）根据直角三角形的面积不变性；列出等式求解即可．【解析】（1）∵米，米，米．∴，∴，∵米，米，∴(米)．（2）∵米，米，米,，，．∴(米)．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，直角三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．24．一艘轮船从港向南偏西48°方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是．,（1）若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间．（2）岛在港的什么方向？【答案】（1）3小时；（2）北偏西【分析】（1）中，利用勾股定理求得的长度，则，然后在中，利用勾股定理来求的长度，再根据时间路程速度即可求得答案；（2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定义作答．【解析】解：（1）由题意可知，AD⊥BC，在中，，∴，，∵BC＝125km，，，∴（小时），∴从岛返回港所需的时间为3小时；（2），，，，，  岛在港的北偏西．,【点睛】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单．25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处．  （1）求∠ECF的度数；（2）若CE＝4，B'F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．【答案】（1）∠ECF＝45°；（2）BC＝，和△ABC的面积为．【分析】（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE＝∠ACD，∠BCF＝∠B'CF＝∠BCB'，再根据∠ACB＝90°，即可得出∠ECF＝45°；（2）在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC＝,设AE＝x，则AB＝x+5，根据勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2，即x2+42＝（x+5）2﹣41，求得x＝，即可得出S△ABC＝AB×CE＝．【解析】解：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE＝∠ACD，∠BCF＝∠B'CF＝∠BCB'，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCB'＝90°，∴∠ECD+∠FCD＝×90°＝45°，即∠ECF＝45°；（2）由折叠可得，∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1，∴∠EFC＝45°＝∠ECF，∴CE＝EF＝4，,∴BE＝4+1＝5，∴再Rt△BCE中，BC＝设AE＝x，则AB＝x+5，∵在Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2，即x2+42＝（x+5）2﹣41，解得x＝∴S△ABC＝AB×CE＝（+5）×4＝．【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理的应用，掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键.26．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中．【探究1】观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股__________；弦__________．（2）如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股__________，弦__________；【探究2】观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，a，b，82；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．（1）__________；__________；（2）如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股__________，弦__________；【答案】探究1（1）；，（2）；，探究2（1）18，，80（2）；．,【分析】此题主要考查勾股定理的证明，注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式．（1）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；（2）股是勾的平方减去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一．（3）根据题意，得另一条直角边是一条直角边的二分之一的平方减去1，弦是一条直角边的二分之一的平方加上1．【解析】解：探究1：（1）∵勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦；∴勾为7，股24的算式为，弦25的算式为；故答案为；；（2）由题意，得股的算式为；弦的算式为故答案为；；探究2：（1）∵4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，a，b，82；……，∴10，24，2612，35，37，14，48，50，16，63，65，18，80，82∴，（2）由题意，得另一条直角边的代数式为；弦长的代数式为故答案为；．27．如图①已知和中，，，，按照图①的位置摆放，直角顶点重合．,（1）写出与的关系；（2）如图②，点、、在同一直线上时，若，，求长为________．（3）如图③，若，，，求的长．【答案】（1），；（2）；（3）9【分析】（1）如图①，延长AD交BE于点G，设DG与BC的交点为点F，通过证明即可证得，；（2）如图②中，设交于．在中，由，，推出，由，推出，在中，由，，，根据即可解决问题；（3）如图③中，连接，首先证明推出，再证明，利用勾股定理求出线段即可解决问题．【解析】解：（1），，理由如下：如图①，延长AD交BE于点G，设DG与BC的交点为点F，∵，∴，，在和中，,（SAS），，，又∵，，，和的关系是，；（2）解：如图②中，设交于点．由（1）可知，，，，，，，，，，，，，，故答案为：；（3）解：如图③中，连接，，∴，,，∴在和中，（SAS），，，，，，又，，又，，，．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．