人教版七年级数学上册 第二章 有理数的运算易错训练（单元复习 6类易错）

第二章有理数的运算易错训练01易错总结目录易错题型一　有理数加减法中的拆项法计算1易错题型二　有理数乘除法中的倒数法计算4易错题型三　有理数中乘除混合运算易错7易错题型四　含乘方的有理数混合运算9易错题型五　有理数的混合运算中的新定义型问题11易错题型六　有理数运算中的错题复原问题1402易错题型易错题型一　有理数加减法中的拆项法计算例题：（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字：对于可以如下计算：原式__________________．上面这种方法叫拆项法．(1)请补全以上计算过程；(2)类比上面的方法计算：．26 巩固训练1.（24-25七年级上·全国·假期作业）折项法计算：．2.（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：．3.（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题．【解析】原式，上面这种解题方法叫做拆项法．(1)计算：；(2)计算．易错题型二　有理数乘除法中的倒数法计算例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题．计算：．解：方法一：原式．方法二：原式的倒数为：26 故原式．用适当的方法计算：．巩固训练1．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）阅读材料：计算：．分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算．解：原式的倒数．故原式．请你根据对材料的理解，选择合适的方法计算：．2．（23-24六年级上·山东威海·期中）【阅读材料】计算：．分析：利用倒数的意义，可以先求原式的倒数，再得出计算的结果．解：由于，所以．【问题解决】26 根据上述方法，计算：．3．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下列材料：计算．解法一：原式．解法二：原式．解法三：原式的倒数为．故原式．(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的．(2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：易错题型三　有理数中乘除混合运算易错例题：（2024·辽宁鞍山·一模）计算：．巩固训练1.（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算：．2.（23-24六年级下·上海·期中）计算：．3.（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：．26 易错题型四　含乘方的有理数混合运算例题：（23-24七年级上·广东湛江·期中）计算：．巩固训练1.（23-24六年级下·上海长宁·期中）计算：；2.（23-24六年级下·全国·假期作业）计算：(1)．(2)．3.（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题：(1)(2)(3)(4)易错题型五　有理数的混合运算中的新定义型问题例题：（23-24七年级上·陕西西安·期中）用“△”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有．例如：．26 (1)求的值；(2)若继续用“*”定义另一种新运算，例如：．求．巩固训练1.（23-24七年级上·湖北随州·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如：(1)计算：的值；(2)计算：的值．2.（22-23七年级上·江苏镇江·期中）我们定义一种新运算：，例如：．(1)求；(2)求．3.（23-24七年级上·福建龙岩·期中）若定义一种新的运算“*”，规定：，如．(1)求的值；(2)通过计算说明与的值是否相等?易错题型六　有理数运算中的错题复原问题例题：（202326 秋·山东东营·六年级统考期末）课代表发下作业本之后，小刚同学发现有一个题做错了，检查了多遍也没有找出错误的原因，你能帮他纠错吗？原题是：计算：这是小刚的计算过程：解：原式    第一步        第二步            第三步．            第四步观察小刚的计算过程回答下列问题：(1)小刚在进行计算第一步时运用了______律；(2)他在计算中出现了错误，你认为他在第______步出错了？(3)请你给出正确的解答过程．巩固训练1.在计算时，小明的解法如下：解：原式（第一步）（第二步）（第三步）回答：(1)小明的解法是错误的，主要错在第_______步，错因是___________；(2)请在下面给出正确的解答过程．2.阅读下列解题过程：解：原式（第一步）26 （第二步）（第三步）解答问题：(1)上面解答过程有两个错误，第一处是第_______步，错误的原因是______；第二处是第_______步，错误的原因是_______．(2)请你正确解答本题．并请你根据平时的学习经验，就有理数的计算过程还需要注意的事项给同学们提出一条建议．3.（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）解答下列各题(1)计算：(2)认真阅读材料，解决问题：计算：分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算；解：原式的倒数是：故原式．请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：26 第二章有理数的运算易错训练01易错总结目录易错题型一　有理数加减法中的拆项法计算1易错题型二　有理数乘除法中的倒数法计算4易错题型三　有理数中乘除混合运算易错7易错题型四　含乘方的有理数混合运算9易错题型五　有理数的混合运算中的新定义型问题11易错题型六　有理数运算中的错题复原问题1402易错题型易错题型一　有理数加减法中的拆项法计算例题：（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字：对于可以如下计算：原式__________________．上面这种方法叫拆项法．(1)请补全以上计算过程；(2)类比上面的方法计算：．【答案】(1)(2)，过程见详解。【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则．26 （1）根据有理数的加法法则计算；（2）参照（1）的解题思路解题即可．【详解】（1）解：可以如下计算：原式，故答案为：（2）解：巩固训练1.（24-25七年级上·全国·假期作业）折项法计算：．【答案】【分析】本题考查了有理数的加法运算，首先将带分数拆分，再按照有理数加法交换律和结合律进行简便计算即可．【详解】解：原式26 ．2.（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：．【答案】【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：．3.（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题．【解析】原式，上面这种解题方法叫做拆项法．(1)计算：；(2)计算．【答案】(1)；(2)．26 【分析】（）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得；（）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得；本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键．【详解】（1）解：，；（2）解：，．易错题型二　有理数乘除法中的倒数法计算例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题．计算：．解：方法一：原式．方法二：原式的倒数为：故原式．用适当的方法计算：．【答案】【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．求出原式的倒数，即可确定出原式的值．26 【详解】解：∵，∴原式．巩固训练1．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）阅读材料：计算：．分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算．解：原式的倒数．故原式．请你根据对材料的理解，选择合适的方法计算：．【答案】．【分析】仿照阅读材料中的方法求出原式的值即可．【详解】解：原式的倒数是：，故原式．26 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（23-24六年级上·山东威海·期中）【阅读材料】计算：．分析：利用倒数的意义，可以先求原式的倒数，再得出计算的结果．解：由于，所以．【问题解决】根据上述方法，计算：．【答案】【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律，准确计算．【详解】解：∵，∴．3．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下列材料：计算．解法一：原式．解法二：原式．解法三：原式的倒数为．故原式．(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的．(2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：26 【答案】(1)没有除法分配律，故解法一错误；(2)过程见解析，．【分析】本题考查了有理数的除法乘法分配律；（1）根据有理数的运算法则进行判断，可得答案；（2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，和按照先计算括号内的，最后计算除法，两种方法求解，即可得出答案．【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误；（2）解法一：原式的倒数为：，；所以原式；解法二：原式．易错题型三　有理数中乘除混合运算易错例题：（2024·辽宁鞍山·一模）计算：．【答案】【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，除法变乘法，进行计算即可．【详解】解：原式；故答案为：．26 巩固训练1.（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算：．【答案】【分析】本题考查有理数乘除的混合运算，先将除法转化为乘法，根据多个有理数的乘法法则计算即可．【详解】解：原式，故答案为：．2.（23-24六年级下·上海·期中）计算：．【答案】【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把带分数化为假分数，再把除法化为乘法，然后计算，即可作答．【详解】解：．3.（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：．【答案】【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：26 易错题型四　含乘方的有理数混合运算例题：（23-24七年级上·广东湛江·期中）计算：．【答案】6【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘除，再加减即可，熟知计算法则是解题的关键。【详解】解：原式，．巩固训练1.（23-24六年级下·上海长宁·期中）计算：；【答案】【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，正确计算即可，熟练掌握有理数混合运算顺序“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算”是解题的关键．【详解】解：．2.（23-24六年级下·全国·假期作业）计算：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）根据有理数的混合运算顺序，首先计算乘方，然后计算乘法和除法，最后从左向右依次计算即可；（2）根据有理数的混合运算顺序，首先计算乘方，然后计算乘法和除法，最后从左向右依次计算即可．26 【详解】（1）解：；（2）解：．3.（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．（1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可；（2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题；（3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题；（4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；26 （4）解：．易错题型五　有理数的混合运算中的新定义型问题例题：（23-24七年级上·陕西西安·期中）用“△”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有．例如：．(1)求的值；(2)若继续用“*”定义另一种新运算，例如：．求．【答案】(1)24(2)20【分析】本题主要考查了有理数混合运算；（1）根据题干信息列出算式进行计算即可；（2）根据题干信息列出算式进行计算即可．解题的关键是理解题意，熟练掌握有理数混合运算法则．【详解】（1）解：；（2）解：．巩固训练1.（23-24七年级上·湖北随州·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定26 ，如：(1)计算：的值；(2)计算：的值．【答案】(1)56(2)81【分析】此题考查了新定义，有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算顺序和运算法则．（1）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可；（2）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：根据题意可得：；（2）解：根据题意可得：．2.（22-23七年级上·江苏镇江·期中）我们定义一种新运算：，例如：．(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了新定义运算，含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．（1）根据已知新运算法则计算，即可得到答案；（2）根据已知新运算法则计算，即可得到答案．26 【详解】（1）解：；（2）解：．3.（23-24七年级上·福建龙岩·期中）若定义一种新的运算“*”，规定：，如．(1)求的值；(2)通过计算说明与的值是否相等?【答案】(1)(2)【分析】本题考查有理数的混合运算、新运算，明确有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键．（1）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行求解即可；（2）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行求解，即可解答．【详解】（1）；（2）26 ，∵，∴．易错题型六　有理数运算中的错题复原问题例题：（2023秋·山东东营·六年级统考期末）课代表发下作业本之后，小刚同学发现有一个题做错了，检查了多遍也没有找出错误的原因，你能帮他纠错吗？原题是：计算：这是小刚的计算过程：解：原式    第一步        第二步            第三步．            第四步观察小刚的计算过程回答下列问题：(1)小刚在进行计算第一步时运用了______律；(2)他在计算中出现了错误，你认为他在第______步出错了？(3)请你给出正确的解答过程．【答案】(1)乘法分配(2)二(3)见解析【分析】（1）观察运算过程可知第一步运用了乘法分配律；（2）观察运算过程可知第二步运用了除法分配律，而除法没有分配律，由此即可得到答案；26 （3）根据有理数四则混合计算法则求解即可．【详解】（1）解：由题意得，小刚在进行计算第一步时运用了乘法分配律，故答案为：乘法分配；（2）解：由题意得，在第二步的时候，运用了除法的分配律，而除法没有分配律，从而导致运算结果错误，故答案为：二；（3）解：．【点睛】本题主要考查了有理数四则混合计算，有理数乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键，注意除法没有分配律．巩固训练1.在计算时，小明的解法如下：解：原式（第一步）（第二步）（第三步）回答：(1)小明的解法是错误的，主要错在第_______步，错因是___________；(2)请在下面给出正确的解答过程．【答案】(1)一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算(2)见解析【分析】（1）观察小明的计算过程可以发现，第一步没有按照运算顺序计算，所以错误；（2）按照有理数混合运算顺序和法则计算即可．【详解】（1）解：通过观察小明的计算过程发现，第一步在计算乘除的同级运算时，没有按照从左到右的顺序依次计算导致错误，故答案为：一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算；26 （2）解：．【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，掌握有理数的混合运算顺序和法则是解题的关键．．2.阅读下列解题过程：解：原式（第一步）（第二步）（第三步）解答问题：(1)上面解答过程有两个错误，第一处是第_______步，错误的原因是______；第二处是第_______步，错误的原因是_______．(2)请你正确解答本题．并请你根据平时的学习经验，就有理数的计算过程还需要注意的事项给同学们提出一条建议．【答案】(1)二；同级运算应按照从左到右顺序进行；三；同号相除结果应为正(2)；建议：有括号先算括号内的（答案不唯一）【分析】（1）根据有理数的混合运算法则即可作答；（2）根据有理数的混合运算法则计算即可．【详解】（1）根据有理数的混合运算法则可知：解答过程有两个错误，第一处是第二步，错误的原因是同级运算应按照从左到右顺序进行；第二处是第三步，错误的原因是同号相除结果应为正，故答案为：二；同级运算应按照从左到右顺序进行；三；同号相除结果应为正；（2）26 ，建议：有括号先算括号内的（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键．3.（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）解答下列各题(1)计算：(2)认真阅读材料，解决问题：计算：分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算；解：原式的倒数是：故原式．请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：【答案】(1)5；(2)【分析】（1）先计算乘方，去绝对值符号，再结合乘法分配律进行有理数的加减运算即可计算求值；（2）根据题目中所给方法，将除法转换成乘法再利用乘法分配律进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：原式的倒数是：26 ，故原式．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘方运算，绝对值，乘法分配律，熟练掌握相关运算法则与运算律是解题关键．26