福建省厦门市厦门外国语学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2024-2025福建厦门思明区厦门外国语学校高二上学期10月月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A1,0,B-1,231.已知是直线l上的两点，则直线l的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】【分析】先求斜率，再求倾斜角.【详解】设直线l的倾斜角为a,0£a£π，23k==-3，AB--11所以a=120°.故选：C.rrrrrrrrrr2.已知向量a=1,,1,xb=y,1,1,c=--2,2,z，且a^bbc,∥，则abc++=（）A.22B.3C.42D.16【答案】B【解析】【分析】由向量垂直与平行的坐标表示求得xyz,,，然后由模的坐标表示计算出模．rrrrrrr【详解】因为向量a=1,,1,xb=y,1,1,c=--2,2,z，且a^bbc,∥，ìy++=x10,ï所以íy11解得x=-2,y=1,z=-2，ï==,î-2-2zrrr则a=1,2,1,-b=1,1,1,c=---2,2,2，rrr所以abc++=0,3,0-，rrr所以abc++=3．故选：B．,uuurruuurruuurruuuuruuuuruuuruuuruuuur3.在空间四边形OABC中，OA=a，OBb=，OC=c，且AM=2MC，ON=2NB，则MN=（）1r2r2r1r2r2rA.-a+b+cB.-a+b-c3333332r1r2r1r2r2rC.-a+b-cD.-a-b+c333333【答案】B【解析】【分析】借助空间向量的线性运算法则计算即可得.uuuuruuuruuuur2uuuruuuruuuur2uuuræuuur2uuurö1r2r2r【详解】MN=ON-OM=OB-OA+AM=OB-çOA+AC÷=-a+b-c．33è3ø333故选：B.14.已知直线lxay1:+-=10和直线l2:3a-2x-ay-2=0，则“l1∥l2”是“a=”的（）3A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件.【答案】B【解析】【分析】由题意先求出l1∥l2时a数值，然后根据充分不必要条件的定义判断即可.1【详解】若l1∥l2，则a3a-2=-a，解得a=0或a=3当a=0时，直线lx1:-=10，直线l2:-2x-=20，此时l1∥l2，111当a=时，直线lx1:+y-=10，直线l2:-1x-y-=20，此时l1∥l2，3331综上，则“l1∥l2”是“a=”的必要不充分条件.3故选：B.5.经过点P(0,1)-作直线l，若直线l与连接A(2,1),(1,-B--31)-两点的线段总有公共点，则l的倾斜角a的取值范围为（）πpp3pπ3pA.[0,]B.[0,π)C.[0,](,U]D.[0,][U,π)332434【答案】D【解析】,【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率范围，进而求出倾斜角范围.--11-311-+【详解】依题意，直线PA的斜率kPA==-1，直线PB的斜率kPB==3，2-1由直线l与线段AB总有公共点，得直线l的斜率kÎ-[1,3]，即-£1tana£3，3pπ当-£1tana<0时，而aÎ[0,π)，则£a<π；当0£tana£3，得0£a£，43π3p所以l的倾斜角a的取值范围为[0,][U,π).34故选：D6.已知二面角a--lb的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面ab,内，且它们都垂直于l．若AB=5,AC=3,BD=6,CD=213，则异面直线AC与BD所成角为（）A.30°B.60°C.120°D.135°【答案】B【解析】uuuruuuruuuruuuruuuruuur1【分析】由CD=CA+AB+BD，两边同时平方代入可得cosCABD,=-，即可得出答案.2uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2222【详解】因为CD=CA+AB+BD，所以|CD||=CA|+|AB|+|BD|+2CAAB×+2ABBD×+2CABD×.uuuruuuruuuruuur因为CAAB×=0，ABBD×=0，AB=5，AC=3，BD=6，CD=213，2uuuruuur222所以213=5+3+6+´´236cosCABD,，uuuruuur1所以cosCABD,=-．2æπù因为异面直线AC与BD所成角为q，qÎç0,ú，è2ûuuuruuur1π所以cosq=cosCABD,=，所以q=.23,故选：B.7.我校钱学森班有同学发现：数轴上，方程AxB+=0A¹0可以表示数轴上的点；平面直角坐标系xOy中，方程AxByC++=0（A、B不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系Oxyz-中，方程AxByCz+++D=0（A、B、C不同时为0）可以表示坐标空间内的平面．过点Pxyz0,0,0且一个r法向量为n=abc,,的平面a的方程可表示为axx-0+by-y0+cz-z0=0．根据上述材料，解决下面问题：已知平面a的方程为2x-y+z-7=0，直线l是两平面x-+=y10与2xz-+=10的交线，则直线l与平面a所成角的正弦值为（）3121A.B.C.D.2332【答案】D【解析】【分析】求出平面a的法向量，利用平面x-+=y10与2xz-+=10的法向量，求出直线l的方向向量，再利用线面角的向量求法求出结果.uur【详解】依题意，平面a的方程为2x-y+z-7=0一个法向量为m=(2,1,1)-，0uuruur平面x-y+=20与2xz-+=10的一个法向量为m=(1,1,0)-和m=(2,0,1)-，12uuruuruurìïmn×=-xy=0uur10设直线l的一个方向向量为n0=xyz,,，则íuuruur，取x=1，得n0=(1,1,2)，ïîmn×=2xz-=020uuruuruuruur|mn×|212-+1quuruur00设直线l与平面a所成的角为q，则sin=|cosámn0,0ñ=|==，|m||n|6´6200故选：D8.我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事22实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与(xa-)+(yb-)相关的代数问题，可以转化为点xy,与点ab,之间的距离的几何问题.已知点Mxy1,1在直线l1:y=+x2，点Nxy2,2,2222在直线l2:y=x上，且MN^l1，结合上述观点，x1+y1-4+x2-5+y2的最小值为（）72112A.B.C.41-2D.522【答案】D【解析】【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点Mxy1,1到点A0,4的距离与点Nxy2,2到点B5,0的距离和，过点A作AC^l1，垂足为C，证明AM=CN，由CN+NB³CB求目标函数最小值.22【详解】由已知x1+y1-4表示点Mxy1,1到点A0,4的距离，22x2-5+y2表示点Nxy2,2到点B5,0的距离，2222所以x1+y1-4+x2-5+y2=MA+NB，过点A作AC^l1，垂足为C，因为直线l1的方程为x-y+=20，A0,4，042-+所以AC==2，11+又直线l1:y=+x2与直线l2:y=x平行，MN^l1，20-所以MN==2，11+所以MNACMN//,=AC，所以四边形AMNC为平行四边形，所以AM=CN，2222所以x1+y1-4+x2-5+y2=CN+NB，又CN+NB³CB，当且仅当CNB,,三点共线时等号成立，所以当点N为线段CB与直线l2的交点时，,2222x1+y1-4+x2-5+y2取最小值，最小值为CB，因为过点A0,4与直线l1垂直的直线的方程为y=-+x4，ìy=-+x4ìx=1联立í，可得í，îy=+x2îy=322所以点C的坐标为1,3，所以CB=51-+03-，2222所以x1+y1-4+x2-5+y2的最小值为5，故选：D.【点睛】本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题不正确的是（）4A.已知直线(a+2)x+2ay-=10与直线3ax-+=y20垂直，则实数a的值是-3B.设点Pxy0(,00)在直线AxByC++=0上，则这条直线的方程还可以表示为Axx(-0)+By(-y0)=0rrrrrrrrrC.若{,,}abc是空间向里的一组基底，则{a+bca,2,++bc}也是空间向量的一组基底rr11D.向量a=(1,1,0)在向量b=(0,1,1)上的投影向量为(0,,)22【答案】AC【解析】【分析】利用垂直关系求出a判断A；求出C代入变形判断B；利用空间基底的意义判断C；求出投影向量判断D.【详解】对于A，由直线(a+2)x+2ay-=10与直线3ax-+=y20垂直，得3(aa+2)2-a=0，解得,4a=-或a=0，A错误；3对于B，由点Pxy0(,00)在直线AxByC++=0上，得C=-Ax0-By0，原直线方程为Axx(-0)+By(-y0)=0，B正确；rrrrr1rrrrrrr对于C，由ab++=c(ab+)+(2)c，得向量ab++cab,+,2c共面，C错误；2rrrrrrrab×r1r11对于D，ab×=1,||b=2，因此向量a在b上的投影向量为rb=b=(0,,)，D正确.2||b222故选：AC10.对于直线l:m-1x+-y2m+=30，下列选项正确的是（）A.直线l恒过点2,1-B.当m=0时，直线l在y轴上的截距为3æ3öC.若直线l不经过第二象限，则mÎç1,÷è2øD.坐标原点到直线l的距离的最大值为5【答案】AD【解析】【分析】将方程变形为(x-2)m-x+y+3=0，即可列方程求解定点判断A，令x=0，即可求解截距判断B，取m=1，即可判断C，根据垂直即可求解最大距离判断D.【详解】已知直线l:(m-1)x+-y2m+=30，则(x-2)m-x+y+3=0，ìx-=20ìx=2由í，得í，î-++=xy30îy=-1所以直线l恒过点(2,1)-，故A正确；当m=0时，直线l:-++=xy30,令x=0，y=3-，故在y轴上的截距为-3，B错误，当m=1时，直线l的方程为y=-1，直线l不经过第二象限，故C不正确；因为直线l过定点(2,1)-，22所以坐标原点到直线l的距离的最大值为(02)-+(01)+=5，故D正确．故选：AD．uuuruuuruuuruuur11.在长方体ABCD-ABCD1111中，AB=AD=2，AA1=1，点P满足：AP=lAB+mAD+gAA1，,其中l、m、gÎ0,1，下列结论正确的是（）A.当l=1，γ=0时，P到AD11的距离为5B.当m=1时，点P到平面BDDB11的距离的最大值为12C.当l=0，m=1时，直线PB与平面ABCD所成角的正切值的最大值为41289pD.当l=m=1，g=时，四棱锥PBBDD-11外接球的表面积为232【答案】ACD【解析】【分析】根据向量的线性关系确定P所在的位置或区域，结合长方体的结构求点线、点面距离，根据线面角的定义求直线PB与平面ABCD所成角的最大正切值，求棱锥外接球的半径，进而求外接球的表面积.uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur【详解】A：AP=AB+mAD，则mAD=AP-AB=BP，即AD//BP，故P在BC上运动，所以P到AD11的距离为22+12=5，即棱BC与AD11的距离5，正确；uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurB：AP=lAB+AD+gAA1，则lAB+gAA1=AP-AD=DP，故P在面DCCD11上运动，所以，当P在CC1上时，P到平面BDDB11的距离最大，而CC1//DD1，CC1Ë面BDDB11，DD1Ì面BDDB11，则CC1//面BDDB11，BCDC×所以，由长方体结构特征，最大值问题化为C到BD的距离h，BD=22，则h==2，错；BDuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurC：AP=AD+gAA1，则gAA1=AP-AD=DP，故P在DD1上运动，根据长方体的结构易知：当P与D1重合时，直线PB与面ABCD所成角正切值的最大值为DD121==，正确；BD224uuuruuuruuur1uuuruuur1uuur1uuuruuuruuuruuurD：AP=AB+AD+AA1=AC+AA1，则AA1=AP-AC=CP，故P为CC1中点，22217如图，PB=PD=PD=PB=，BD1=BD1=3,DD1=BB1=1，112,所以PBBDD-11的底面为矩形，顶点P在BBDD11的投影为底面中心，即DBBD1,1的交点E，故PBBDD-11外接球的球心O一定在直线PE上，令球体半径为R，22229所以PE=PD2-DE2=2，OE=|RPE-|，且R=OE+DE=(R-2)+，41722289π可得R=，则外接球的表面积为4πR=，正确.1632故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，平行六面体ABCD-ABCD¢¢¢¢，其中AB=4，AD=3，AA¢=3，ÐBAD=90°，ÐBAA¢=60°，ÐDAA¢=60°，则AC¢的长为________【答案】55【解析】【分析】运用空间向量加法及向量模的计算规则求解向量的模即可.uuuuruuuruuur'uuuruuuruuur'【详解】根据题意，AC¢=ACCC+=AB+BC+AAuuuuruuuruuuruuur'\AC¢=AB+BC+AA根据题中的数据可知，uuuruuuruuur'2AB+BC+AA,uuur2uuur2uuur'2uuuruuuruuuruuuruuuruuur'=AB+BC+AA+2ABBC·+BCAA·+ABAA·222=4+3+3+243cos90´´°+´´33cos60°+´´43cos60°=55uuuruuuruuuruuur'2\AC=AB+BC+AA=55故答案为：55.13.过点P3,0作直线l，使它被两条相交直线2x--=y20和x++=y30所截得的线段恰好被点P平分，则直线l的一般式方程为______．【答案】8x--y24=0【解析】【分析】首先判断直线l的斜率存在，设直线ly:=kx(-3)，分别联立方程组可得A、B坐标，由中点公式可得k的方程，解出k，代入直线方程即可．【详解】当直线l的斜率不存在时，两交点为3,4,3,6-，不满足所截得的线段恰好被点P平分，当直线l的斜率存在时，设直线ly:=kx(-3),k¹2且k¹-1，ì2x--=y2023-k-4k联立方程组í，可得A(,)，îy=kx(-3)2-k2-kìx++=y303k-3-6k同理联立方程组í，可得B(,)，îy=kx(-3)k+1k+123-k3k-3由中点坐标公式得+=6，解得k=8，2-kk+1\直线l的方程为y=8x-3=8x-24．所以直线l的一般式方程为8x--y24=0.故答案为：8x--y24=0a-3b14.已知实数a>0,b<0，则的取值范围是______．22a+b【答案】1,2【解析】,a-3b【分析】设直线laxby:+=0，则的几何意义为点A1,-3到直线laxby:+=0的距离，求22a+b解即可.【详解】设直线laxby:+=0，设点A1,-3，a-3b则点A1,-3到直线laxby:+=0的距离为d=，22a+ba-3ba因为a>0,b<0，所以d=，则直线l的斜率为k=->0，22ba+b若直线l的斜率不存在，d=1，所以d>1，当OA^l时，dmax=OA=13+=2，所以1=|rr==|m|||×n12´2æpùp又QqÎç0,ú，\=q，è2û6p\平面EBC11与平画BBCC11所成角为.6【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18.已知点P和非零实数l，若两条不同的直线l1、l2均过点P，且斜率之积为l，则称直线l1、l2是一组1“Pl共轭线对”，如直线l1:y=2x和l2:y=-x是一组“O-1共轭线对”，其中O是坐标原点.2（1）已知l1、l2是一组“O-3共轭线对”，且知直线l1:y=2x，求直线l2的方程；（2）如图，已知点A(0,1)、点B(1,0)-和点C(1,0)分别是三条倾斜角为锐角的直线PQ、QR、RP上的点（A、B、C与P、Q、R均不重合），且直线PR、PQ是“P1共轭线对”，直线QP、QR是“Q4共轭线对”，直线RP、RQ是“R9共轭线对”，求点P的坐标；（3）已知点Q(1,--2)，直线l1、l2是“Q-2共轭线对”，当l1的斜率变化时，求原点O到直线l1、l2的距离之积的取值范围.3【答案】（1）y=-x；（2）(3,3)；（3）[0,2).2【解析】【分析】（1）由kkl1l2=-3可得直线l2的斜率，进而可得直线l2的方程；,ìkk=112ï（2）设直线PRPQQR,,的斜率分别为kkk1,2,3，可得íkk23=4，求解可得kkk1,2,3的值，进一步得到直ïîkk=931线RP与直线RQ的方程，联立得P的坐标；-2（3）设l1:y+2=kx(+1),:l2y+2=(x+1)，其中k¹0，利用两点间的距离公式可得原点O到k直线l1、l2的距离，变形后利用基本不等式求解．【详解】解：（1）由已知得kkll=-3，又kl=2，1213\k=-l223\直线l2的方程y=-x；2（2）设直线PRPQQR,,的斜率分别为kkk1,2,3，ìkk=112ï32则íkk23=4，得k1=,k2=,k3=6（负值舍去），ï23îkk=93132当k=,k=,k=6时，1232332直线PR的方程为y=(x-1)，直线PQ的方程为y=x+1，联立得P(3,3)；23故所求为P(3,3)；-2（3）设l1:y+2=kx(+1),:l2y+2=(x+1)，其中k¹0，k2--22|k-2|kk-2故dd12=×=2×1242124+k1+k+k+2k422k-4k+49k9=2×=2×1-=2×1-k4+5k2+4k4+5k2+44．2k++52k242由于k+2+³59（等号成立的条件是k=2），k91-Î[0,1),ddÎ[0,2)12故24．k++52k【点睛】本题考查直线方程的点斜式及交点坐标，考查点到直线距离公式的运用，训练了利用基本不等式,求最值，难度较大，对学生的理解能力要求较高．19.如图①所示，矩形ABCD中，AD=1，AB=2，点M是边CD的中点，将△ADM沿AM翻折到△PAM，连接PB，PC，得到图②的四棱锥P-ABCM，N为PB中点．（1）求证：NC//平面PAM；（2）若平面PAM^平面ABCD，求直线BC与平面PMB所成角的大小；π（3）设P-AM-D的大小为θ，若qÎ(0,]，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值．2【答案】（1）证明见解析；π（2）；611（3）.11【解析】【分析】（1）取PA中点Q，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用线面平行的判定推理即得.（2）借助面面垂直的性质，以M为原点建立空间直角坐标系，求出平面PMB的法向量，利用线面角的向量求法求出大小.（3）连接DG，过点D作Dz^平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果.【小问1详解】1取PA中点Q，连接NQMQ,，由N为PB中点，得NQ//ABNQ,=AB，21依题意，MC//ABMC,=AB，则NQ//MCNQ,=MC，2于是四边形CMQN是平行四边形，CN//MQ，而MQÌ平面PAM，NCË平面PAM，所以NC//平面PAM.,【小问2详解】取AM中点G，连接PG，由PM=PA=1，得PG^AM，而平面PAM^平面ABCD，平面PAMÇ平面ABCD=AMPG,Ì平面PAM，则PG^平面ABCD，过M作Mz//PG，则Mz^平面ABCD，又MAMB,Ì平面ABCD，于是Mz^MAMz,^MB，在矩形ABCD中，MA=MB=2，222MA+MB=4=AB，则MA^MB，以点M为原点，直线MAMBMz,,分别为xyz,,轴建立空间直角坐标系，2222则M(0,0,0),(0,2,0),(BC-,,0),(P,0,)，2222uuuruuur22uuur22MB=(0,2,0),MP=(,0,),BC=-(,-,0)，2222ruuurìmMB×=2b=0urïur设平面PMB的法向量为m=(,,)abc，则íruuur22，令a=1，得m=(1,0,1)-，ïmMP×=a+c=0î22uruuur2设直线BC与平面PMB所成的角为q，则uruuur|mBC×|21，sinq=|cosámBC,ñ=|uruuur==|mBC|||21´2π所以直线BC与平面PMB所成角的大小为.6【小问3详解】连接DG，由DA=DM，得DG^AM，而PG^AM，则ÐPGD为P-AM-D的平面角，即ÐPGD=q，过点D作Dz^平面ABCD，以D为坐标原点，直线DADCDz,,分别为xyz,,轴建立空间直角坐标系，,则