2025年高考数学一轮复习教学课件第8章 第8课时　抛物线

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第八章解析几何 第8课时　抛物线对应学生用书第221页 1234考试要求掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).了解抛物线的简单应用.理解数形结合的思想． 链接教材　夯基固本第8课时　抛物线1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离____的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的____，直线l叫做抛物线的____．相等焦点准线 2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点_________对称轴y＝0x＝0焦点F_____________________F离心率e＝1准线方程_________x＝y＝－______范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈RO(0，0)FFx＝－y＝ [常用结论]1．与焦点弦有关的常用结论如图，倾斜角为α的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；(3)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p；(4)焦半径：|AF|＝，|BF|＝，特别地＝；(5)以弦AB为直径的圆与准线相切；(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(8)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝＝|OF|·|y1－y2|．2．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上异于原点O的两点，则OA⊥OB是直线AB过定点(2p，0)的充要条件． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－．()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()×××× 二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P133练习T2改编)抛物线y＝x2的准线方程是()A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2A[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1．]2．(人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A．B．C．D．0B[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.]√√ √3．(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于()A．9B．8C．7D．6B[抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8．]4．(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为__________________．y2＝－8x或x2＝－y[设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.]y2＝－8x或x2＝－y 典例精研　核心考点第8课时　抛物线考点一　抛物线的定义及应用考向1动点轨迹的判定[典例1](1)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为()A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝－4xD．y2＝－8x(2)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线√√ (1)D(2)D[(1)由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与定点(－2，0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2，0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.故选D.(2)设动圆的圆心为点C，半径为r，则点C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1．又动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆的圆心到直线x＝2的距离为r＋1．根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线．故选D.] 考向2抛物线上的点到定点的距离及最值[典例2](1)(2023·北京高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝()A．7B．6C．5D．4(2)已知点M(20，40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．(1)D(2)42或22[(1)如图所示，因为点M到直线x＝－3的距离|MR|＝5，所以点M到直线x＝－2的距离|MN|＝4.又抛物线上点M到准线x＝－2的距离和到焦点F的距离相等，故|MF|＝|MN|＝4.故选D.√42或22 (2)当点M(20，40)位于抛物线内时，如图1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42.当点M(20，40)位于抛物线外时，如图2，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得＝41，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20，40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或p＝22.] 名师点评抛物线定义的应用规律 [跟进训练]1．(1)(2024·广东珠海模拟)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线l与坐标轴交于点N，M是抛物线上一点，若|FN|＝|FM|，则△FMN的面积为()A．4B．2C．2D．2(2)已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上的一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________．√－1 (1)D(2)－1[(1)由x2＝4y，得p＝2，则|FN|＝|FM|＝2，根据抛物线的定义知|MF|＝yM＋＝yM＋1＝2，解得yM＝1，代入x2＝4y，得xM＝±2，所以△FMN的面积为×2×2＝2.故选D.(2)由题可知，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，焦点坐标为F(1，0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心坐标为E(0，4)，半径为R＝1，设点P到抛物线准线的距离为|PP′|，则|PP′|＝|PF|，故|PP′|＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|，所以当动点Q，P位于线段EF上时，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和最小，此时|PP′|＋|PQ|＝|EF|－R＝－1．] 【教师备选资源】(2024·浙江金丽衢十二校模拟)已知直线l1：3x－4y－6＝0和直线l2：y＝－2，则拋物线x2＝4y上一动点P到直线l1、直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C．D．√B[拋物线x2＝4y的焦点F(0，1)，准线l：y＝－1，设动点P到直线l，l1，l2的距离分别为d，d1，d2，点F到直线l1的距离为d3＝＝2，则d2＝d＋1＝|PF|＋1，可得d1＋d2＝d1＋|PF|＋1≥d3＋1＝3，当且仅当点P在点F到直线l1的垂线上且P在F与l1之间时，等号成立，动点P到直线l1、直线l2的距离之和的最小值是3.故选B.] 考点二　抛物线的标准方程与几何性质[典例3](1)(多选)过点(1，－2)的抛物线的标准方程可能是()A．y2＝4xB．y2＝－4xC．x2＝－yD．x2＝y(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．√√x＝－ (1)AC(2)x＝－[(1)点(1，－2)满足y2＝4x，x2＝－y，所以过点(1，－2)的抛物线的标准方程可能是y2＝4x，x2＝－y.故选AC.(2)法一(解直角三角形法)：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－.法二(应用射影定理法)：由题易得|OF|＝，|PF|＝＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－.] 名师点评1．求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，为避免过多的讨论，通常依据焦点所在的位置，将抛物线的标准方程设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．2．抛物线性质的应用要树立两个意识(1)转化意识：“见准线想焦点，见焦点想准线”．(2)图形意识：借助平面图形的性质简化运算． [跟进训练]2．(1)(2023·湖北武汉二模)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝()A．3B．6C．9D．12(2)如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x(3)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为________．√√ (1)B(2)B(3)[(1)设准线l与x轴交于点H(图略)，依题意∠QFH＝60°，|HF|＝3，|QH|＝3，|QF|＝6，又|PF|＝|QP|，∠PQF＝60°，则△PQF为等边三角形，|PF|＝6.故选B.(2)如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，则在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4，∴|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，∴4＋3a＝8，从而得a＝.∵AE∥FG，∴＝，即＝，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x.故选B. (3)法一(通性通法)：由y2＝4x可得抛物线的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，如图，过点P作准线x＝－1的垂线，垂足为点M，根据抛物线的定义可知|PM|＝|PF|＝4,设P(x，y)，则x－(－1)＝4，解得x＝3，将x＝3代入y2＝4x，可得y＝±2，所以△POF的面积为|y|·|OF|＝×2×1＝.法二(巧用结论)：设∠PFx＝θ，则|PF|＝＝＝4，∴cosθ＝，即θ＝60°.设P(x，y)，则|y|＝|PF|sinθ＝4×＝2.∴S△POF＝×|OF|×|y|＝×1×2＝.] 【教师备选资源】(2023·广东佛山二模)已知方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F.现有四位同学对该方程进行判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．其中真命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个√ C[因为方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F，所以当A＝B＝1≥C＝D＝E＝0≥F＝－1时，方程为x2＋y2－1＝0，即x2＋y2＝1是圆的方程，故方程可以是圆的方程；当A＝1≥B＝C＝D＝0≥E＝－1≥F＝－2时，方程为x2－y－2＝0，即y＝x2－2是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；当A＝2≥B＝1≥C＝D＝E＝0≥F＝－1时，方程为2x2＋y2－1＝0，即y2＋＝1是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；若方程为双曲线的标准方程，则有AB＜0，C＝D＝E＝0，F＜0，这与A≥B≥C≥D≥E≥F矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程．所以真命题有3个．故选C.] 考点三　直线与抛物线的位置关系[典例4](1)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则()A．p＝2B．|MN|＝C．以MN为直径的圆与l相切D．△OMN为等腰三角形(2)抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是_____________．√(－)√ (1)AC(2)(－)[(1)由题意，易知直线y＝－(x－1)过点(1，0)．因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以＝1，即p＝2，A正确．不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1<x2，联立方程消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3．由抛物线的定义得，|MN|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，B错误．l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为，半径r＝|MN|＝＝＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，C正确．由两点间距离公式可得|OM|＝，|ON|＝，又|MN|＝，D错误．故选AC. (2)当k＝0时，显然成立．当k≠0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由＝＝2x2，两式相减得(y1＋y2)·(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝＝＝＝，由对称性知kBC＝－，点M在直线y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(x0－2)，所以x0＝1．由点M在抛物线内，得<2x0，即(－k)2<2，所以－<k<，且k≠0.综上，k的取值范围为(－)．] 名师点评解决直线与抛物线位置关系问题的方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．(3)重视在选择、填空题中有关结论的灵活应用． [跟进训练]3．(1)(2024·广东深圳模拟)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：y＝k(x＋1)与C交于A，B两点(A在B的左边)，则4|AF|＋|BF|的最小值是()A．10B．9C．8D．5(2)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则()A．C的准线为y＝－1B．直线AB与C相切C．|OP|·|OQ|＞|OA|2D．|BP|·|BQ|＞|BA|2√√√√ (1)B(2)BCD[(1)由题知C的焦点F(1，0)，准线为x＝－1，如图，作AM⊥准线，BN⊥准线，l：y＝k(x＋1)过定点(－1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得k2(x2＋2x＋1)－4x＝0，即k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，∴x1x2＝＝1.又∵|AF|＝|AM|＝x1＋1，|BF|＝|BN|＝x2＋1，∴4|AF|＋|BF|＝4x1＋4＋x2＋1＝4x1＋x2＋5≥2＋5＝2×2＋5＝9，当且仅当4x1＝x2时取等号．故选B. (2)将点A的坐标代入抛物线方程得1＝2p，所以抛物线方程为x2＝y，故准线方程为y＝－，A错误；kAB＝＝2，所以直线AB的方程为y＝2x－1，联立可得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，即直线AB与C相切于点A，故B正确；设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立得x2－kx＋1＝0，所以所以k＞2或k＜－2，y1y2＝(x1x2)2＝1，又|OP|＝＝，|OQ|＝＝，所以|OP|·|OQ|＝＝＝|k|＞2＝|OA|2，故C正确；因为|BP|＝|x1|，|BQ|＝|x2|，所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2＞5，而|BA|2＝5，故D正确．故选BCD.] 拓展视野4抛物线中的阿基米德三角形如图，假设抛物线方程为x2＝2py(p＞0),过抛物线准线y＝－上一点P(x0，y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A，B，其坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则以点P和两切点A，B围成的△PAB中，有如下的常见结论：(1)抛物线在A处的切线方程：x1x＝p(y＋y1)，抛物线在B处的切线方程：x2x＝p(y＋y2)，直线AB的方程：x0x＝2p＝p(y0＋y)；(2)直线AB过抛物线的焦点；(3)过F的直线与抛物线交于A，B两点，以A，B分别为切点作两条切线，则这两条切线的交点P(x0，y0)的轨迹即为抛物线的准线；(4)PF⊥AB；(5)AP⊥PB；(6)直线AB的中点为M，则PM平行于抛物线的对称轴． [典例1](多选)阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为x－y＋2＝0，弦AB的中点为C，则关于“阿基米德三角形”PAB，下列结论正确的是()A．点P(，－2)B．PC⊥x轴C．PA⊥PBD．PF⊥AB√√√ BCD[由消去y可得x2－8x－16＝0.令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，x1x2＝－16，∵y＝，∴y′＝，kPA＝，∴PA：y＝＝，PB：y＝，联立解得即P(4，－2)，A错误；xC＝＝4，∴PC⊥x轴，B正确；kPF＝＝－1，kAB＝1，kPF·kAB＝－1，∴PF⊥AB，D正确；kPA·kPB＝＝－1，∴PA⊥PB，C正确．故选BCD.] [典例2](2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p的值；(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．[解](1)由题意知M(0，－4)，F，圆M的半径r＝1，所以|MF|－r＝4，即＋4－1＝4，解得p＝2.(2)由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，由题意可知直线AB的斜率存在，设A，B，直线AB的方程为y＝kx＋b，联立消去y得x2－4kx－4b＝0， 则Δ＝16k2＋16b＞0，(※)x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以|AB|＝|x1－x2|＝＝4.因为x2＝4y，即y＝，所以y′＝，则抛物线在点A处的切线斜率为，在点A处的切线方程为＝(x－x1)，即y＝，同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝，联立则 即P(2k，－b)．因为点P在圆M上，所以4k2＋(4－b)2＝1，①且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，即－≤k≤，3≤b≤5，满足(※)．设点P到直线AB的距离为d，则d＝，所以S△PAB＝|AB|·d＝4.由①得，k2＝＝，令t＝k2＋b，则t＝，且3≤b≤5.因为t＝在[3，5]上单调递增，所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k＝0，所以△PAB面积的最大值为20. 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(五十八)抛物线(一) 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(五十九)抛物线(二) THANKS