2025年高考数学一轮复习教学课件第8章 第2课时　两条直线的位置关系

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第八章解析几何 第2课时　两条直线的位置关系对应学生用书第195页 考试要求能根据斜率判定两条直线平行或垂直.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 链接教材　夯基固本第2课时　两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表：位置关系l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行__________________________________________________垂直_______________________________相交__________________________k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0k1≠k2A1B2－A2B1≠0 2．两条直线的交点坐标已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝．(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． [常用结论]1．三种直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 2．五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)，点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．(4)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(5)点(x，y)关于y＝x＋b的对称点为(y－b，x＋b)，关于y＝－x＋b的对称点为(b－y，b－x)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2．()(2)如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1．()(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为．()(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．()×××√ 二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P77练习T3改编)已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A．B．2－C．－1D．＋1C[由题意得＝1，即|a＋1|＝，又a>0，∴a＝－1．]2．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T8改编)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为()A．2x＋y－1＝0B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0D．2x－y－3＝0C[∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0，∵直线l经过点(1，－1)，∴1－2＋c＝0，即c＝1.∴直线l的方程为x＋2y＋1＝0．]√√ 3．(人教A版选择性必修第一册P79习题2.3T9改编)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．－9[由得所以点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9．]4．(人教A版选择性必修第一册P79练习T2改编)已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．2[由两直线平行可知＝≠－(m≠0)，即m＝8.∴两直线方程分别为3x＋4y－3＝0和3x＋4y＋7＝0，则它们之间的距离d＝＝2．]－92 典例精研　核心考点第2课时　两条直线的位置关系考点一　两条直线位置关系的判断及应用[典例1](1)(2023·浙江温州三模)已知直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，若l1⊥l2，则a＋b＝()A．－1B．0C．1D．2(2)(2023·河北石家庄三模)直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：x＋ay－1＝0平行的充要条件是()A．a＝1B．a＝－1C．a＝1或－1D．a＝0√√ (1)B(2)A[(1)因为直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，且l1⊥l2，则1·a＋1·b＝0，所以a＋b＝0.故选B.(2)直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：x＋ay－1＝0平行的充要条件是k1＝k2且两直线不重合，由－a＝得a＝±1，又a＝－1时两直线重合，故直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：x＋ay－1＝0平行的充要条件是a＝1.故选A.]名师点评解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” [跟进训练]1．(1)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是()A．相交但不垂直B．垂直C．平行D．重合(2)(2023·北京丰台区二模)已知点P(0，2)，直线l：x＋2y－1＝0，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是______________________．√(1)B(2)y＝x＋2(答案不唯一)[(1)由题意可知，直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的斜率分别为－，又在△ABC中，＝，所以－＝－1，所以两条直线垂直．(2)直线l：x＋2y－1＝0的斜率为－，故只需所求直线方程斜率不是－即可，可设过点P且与直线l相交的一条直线的方程为y＝x＋2．]y＝x＋2(答案不唯一) 【教师备选资源】(2024·济南模拟)若直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直，则m＝()A．2B．0或－1C．－1D．0B[因为直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直，所以3m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0或m＝－1.故选B.]√ 考点二　两条直线的交点与距离问题[典例2](1)(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A．1B．C．D．2(2)经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________________．(3)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________________________．√5x＋3y－1＝0x＋3y－5＝0或x＝－1 (1)B(2)5x＋3y－1＝0(3)x＋3y－5＝0或x＝－1[(1)法一：由点到直线的距离公式知，点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝.故选B.法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝.故选B. (2)法一：解方程组得l1，l2的交点坐标为(－1，2)．设垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为5x＋3y＋c＝0，于是－5＋6＋c＝0，解得c＝－1，即直线l的方程为5x＋3y－1＝0.法二：设经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点的直线系方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，即(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋λ－1＝0，由其垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0，得3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，得λ＝，即直线l的方程为5x＋3y－1＝0.(3)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．即直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1．] 名师点评1．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程．2．点到直线、两平行直线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行直线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． [跟进训练]2．(1)过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为()A．3x－2y－1＝0B．3x＋2y－5＝0C．2x－3y＋1＝0D．2x－3y－1＝0(2)l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_________________．(1)C(2)x＋2y－3＝0[(1)由解得所以交点坐标为(1，1)．又因为直线平行于向量v＝(3，2)，所以所求直线方程为y－1＝(x－1)，即2x－3y＋1＝0.故选C.(2)当AB⊥l1，且AB⊥l2时，l1与l2间的距离最大．又kAB＝＝2，所以直线l1的斜率k＝－，则l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0．]√x＋2y－3＝0 考点三　对称问题考向1关于点对称[典例3]过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_______________．x＋4y－4＝0[设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0．]x＋4y－4＝0 考向2关于线对称[典例4]在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(0，－2)，点B(1，0)，P为直线2x－4y＋3＝0上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值是()A．B．4C．5D．6B[设点A(0，－2)关于直线2x－4y＋3＝0的对称点为A′(x，y)，则解得所以A′，所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|＝＝4，当且仅当点P为线段A′B与直线2x－4y＋3＝0的交点时等号成立，所以|PA|＋|PB|的最小值是4.故选B.]√ 考向3直线关于直线的对称问题[典例5]两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为()A．3x－2y－4＝0B．2x＋3y－6＝0C．2x－3y－4＝0D．3x－2y－6＝0C[设所求直线上任一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)，则解得(*)∵点M′在直线3x－2y－6＝0上，∴将(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程．故选C.]√ 名师点评对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称可以利用中点坐标公式，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程(组)解题．[跟进训练]3．(1)(2023·静安区二模)设直线l1：x－2y－2＝0与l2关于直线l：2x－y－4＝0对称，则直线l2的方程是()A．11x＋2y－22＝0B．11x＋y＋22＝0C．5x＋y－11＝0D．10x＋y－22＝0(2)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为__________________．√6x－y－6＝0 (1)A(2)6x－y－6＝0[(1)直线l1：x－2y－2＝0的斜率k1＝，直线l2的斜率为k2，直线l：2x－y－4＝0的斜率k＝2，由于直线l1与直线l2关于直线l对称，所以＝，解得k2＝－，由解得故直线l2的方程为y＝－(x－2)，整理得11x＋2y－22＝0.故选A. (2)设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以解得即M′(1，0)．又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0．] 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(五十一)两条直线的位置关系 THANKS