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2025年高考数学一轮复习教学课件第7章 高考研究在线7 从“一题多解”“一题多变”角度探究立体几何

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必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第七章立体几何与空间向量 高考研究在线7从“一题多解”“一题多变”角度探究立体几何对应学生用书第189页 2022年新高考Ⅰ卷第19题的命制思路并没有同往年一样,(1)问位置关系的证明为(2)问的建系求解做好铺垫,而是把推理融在计算之中,深度考查同学们对立体几何图形的直观想象、逻辑推理和数学运算素养,下面我们对这道高考真题以一题多解、一题多变、回归教材的思路来领悟高考题的命制与求解. 【真题示例·领悟高考】(2022·新高考Ⅰ卷)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,△A1BC的面积为2.(1)求A到平面A1BC的距离;(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值. 【真题溯源·大题拆解】本题是以直三棱柱为载体的立体几何模型,倘若同学们对教材比较熟知,不难发现,该高考题的原图源于人教A版数学必修第二册2019年6月第1版第164页19题(如下),将19题与人教A版数学必修第二册2019年6月第1版第161页例10(如下)融合在一起,便形成了2022年新高考Ⅰ卷第19题.[教材题19]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AA1=AB,求证A1C⊥AB1.[教材例10]如图,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求证:BC⊥平面PAB.倘若同学们能这样拆解问题,学会分析问题,相信2022年新高考Ⅰ卷第19题第(2)问的求解已不算太难. 【一题多解·撬动思维】【赏析】(1)设A到平面A1BC的距离为h,因为==4,则=×h×2=A1A·S△ABC==,解得h=.即A到平面A1BC的距离为.(2)法一:(坐标法)取A1B的中点E,连接AE,如图,因为AA1=AB,所以AE⊥A1B,又平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,且AE⊂平面ABB1A1,所以AE⊥平面A1BC,所以AE=h=.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,由BC⊂平面A1BC,BC⊂平面ABC,可得AE⊥BC,BB1⊥BC.又AE,BB1⊂平面ABB1A1且相交,所以BC⊥平面ABB1A1,所以BC,BA,BB1两两垂直.以B为原点,建立空间直角坐标系,如图,因为AE=,所以AA1=AB=2,A1B=2,所以BC=2,则A(0,2,0),A1(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0),所以A1C的中点D(1,1,1),则=(1,1,1),=(0,2,0),=(2,0,0). 设平面ABD的法向量m=(x,y,z),则可取m=(1,0,-1)为平面ABD的一个法向量,设平面BDC的法向量n=(a,b,c),则可取n=(0,1,-1)为平面BDC的一个法向量,则cos〈m,n〉===,所以二面角A-BD-C的正弦值为=. 法二:(几何法)因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1是正方形,故AB1⊥A1B,因为平面A1BC⊥平面ABB1A1,且平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,AB1⊂平面ABB1A1,所以AB1⊥平面A1BC.设AB1∩A1B=E,如图,过点E作EF⊥BD,垂足为点F,连接AF,根据三垂线定理可知AF⊥BD,则∠AFE即为二面角A-BD-C的平面角的补角.因为AE=,AA1=AB,所以AB=BC=AA1=2,AC=2,A1C=2,AD=BD=CD=.根据等面积法得S△ABD=×2×==·AF,解得AF=.所以sin∠AFE===,所以二面角A-BD-C的正弦值为. 法三:(射影面积法)由法二知△EBD是△ABD在平面A1BC内的射影.设二面角A-BD-A1的平面角为θ,它与二面角A-BD-C的平面角互补.因为S△ABD=×2×=,S△EBD===×2×2=,所以cosθ==,于是sinθ=.因此,二面角A-BD-C的正弦值为. 法四:(补体法)结合题意,由法一、法二知AB=BC=AA1,BC⊥AB1,则构造正方体如图所示,则∠AB1C=60.由法二知,AB1⊥平面A1BC,B1C⊥平面ABD,所以二面角A-BD-C的平面角大小为120°.所以二面角A-BD-C的正弦值为.以上四种解法,在计算量、思维量上有较大差别.法一是常规向量坐标运算,计算量大;法二、法三都是纯几何法,通过直观想象感知空间中的线面角、二面角的作图方法,减少计算量,提高抽象思维;法四跳出问题看本质,通过补体,直击问题本质,大道至简,一招妙解. 【变式研究·触类旁通】1.条件不变,变结论:(1)求C到平面ABD的距离;(2)求二面角A-BD-C的余弦值.2.结论不变,变条件:把(2)问的条件“平面A1BC⊥平面ABB1A1”换成“BC=2,且AC与平面A1BC所成的角为30°”,再求二面角A-BD-C的正弦值.以上变式的解答略,感兴趣的同学自己思考求解. THANKS

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发布时间:2024-10-03 12:20:01 页数:12
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文章作者:180****8757

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