2025年高考数学一轮复习教学课件第6章　高考研究在线6　传统文化中的数列建模与创新应用

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第六章　数列 高考研究在线6传统文化中的数列建模与创新应用对应学生用书第148页 纵观新高考四年的真题，我们不难发现新一轮高考改革对数列的命题特别突出对考生数学思维能力的考查，所以日常备考要始终贯穿观察、分析、归纳、类比、递推、运算、概括、猜想、证明、应用等能力的培养．既通过归纳、类比、递推等方法的应用突出对考生数学探究、理性思维的培养，又通过通项公式、递推公式、前n项和公式等内容进行大量技能训练，培养考生逻辑思维、运算求解能力． 命题点一　传统文化中的数列建模[典例1](1)(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝()A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9(2)(2021·新高考Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么＝________________dm2.√5240 (1)D(2)5240[(1)如图，连接OA，延长AA1与x轴交于点A2，则OA2＝4OD1．因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以CC1＝DC1(k3－0.2)，BB1＝CB1(k3－0.1)，AA1＝k3BA1，即CC1＝OD1·(k3－0.2)，BB1＝OD1(k3－0.1)，AA1＝k3OD1．又＝0.5，所以DD1＝0.5OD1，所以AA2＝0.5OD1＋OD1(k3－0.2)＋OD1(k3－0.1)＋k3OD1＝OD1(3k3＋0.2)，所以tan∠AOA2＝＝＝0.725，解得k3＝0.9，故选D. (2)依题意得，S1＝120×2＝240；S2＝60×3＝180；当n＝3时，共可以得到5dm×6dm，dm×12dm，10dm×3dm，20dm×dm四种规格的图形，且5×6＝30，×12＝30，10×3＝30，20×＝30，所以S3＝30×4＝120；当n＝4时，共可以得到5dm×3dm，dm×6dm，dm×12dm，10dm×dm，20dm×dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5×3＝15，×6＝15，×12＝15，10×＝15，20×＝15，所以S4＝15×5＝75；…… 所以可归纳Sk＝×(k＋1)＝.所以＝240①，所以＝240②，由①－②得，＝240＝240＝240，所以＝240dm2．] 名师点评第(1)题以中国古代建筑中的举架结构为背景，考查学生综合应用等差数列、解析几何、三角函数等基础知识解决实际问题的能力；第(2)题以剪纸艺术为背景，让学生体验从特殊到一般的探索数学问题的过程，重点考查灵活运用数学知识分析问题的能力． [跟进训练]1．(多选)《张丘建算经》是我国古代有标志性的、内容丰富的数学名著之一，大约创作于公元5世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子在这一个月中第n天所织布的尺数为an，bn＝，对于数列{an}，{bn}，下列选项中正确的为()A．b10＝8b5B．{bn}是等比数列C．a1b30＝105D．＝√√ BD[由题意可知，数列{an}为等差数列，设数列{an}的公差为d，由题意可得a1＝5，30a1＋＝390，解得d＝，所以an＝5＋(n－1)×＝.因为bn＝，所以＝＝＝2d(非零常数)，则数列{bn}是等比数列，B正确；因为5d＝5×＝≠3，＝(2d)5＝25d≠23，所以b10≠8b5，A错误；a30＝a1＋29d＝5＋16＝21，所以a1b30＝5×221＞105，C错误；a4＝a1＋3d＝5＋3×＝，a5＝a1＋4d＝5＋4×＝，所以＝＝＝，D正确．故选BD.] 命题点二　数列中的新定义[典例2](多选)(2021·新高考Ⅱ卷)设正整数n＝a0·20＋a1·21＋…＋ak－1·2k-1＋ak·2k，其中ai∈{0，1}(i＝0，1，…，k)，记ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak，则()A．ω(2n)＝ω(n)B．ω(2n＋3)＝ω(n)＋1C．ω(8n＋5)＝ω(4n＋3)D．ω(2n－1)＝n√√√ ACD[对于A，ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak，2n＝a0·21＋a1·22＋…＋ak－1·2k＋ak·2k+1，∴ω(2n)＝a0＋a1＋…＋ak＝ω(n)，A正确；对于B，取n＝2，则2n＋3＝7＝1×20＋1×21＋1×22，∴ω(7)＝3，而2＝0×20＋1×21，ω(2)＝0＋1＝1，ω(7)＝3≠ω(2)＋1，B错误；对于C，8n＋5＝a0·23＋a1·24＋…＋ak·2k+3＋5＝1×20＋1×22＋a0·23＋a1·24＋…＋ak·2k+3，∴ω(8n＋5)＝1＋1＋a0＋a1＋…＋ak＝a0＋a1＋…＋ak＋2，4n＋3＝a0·22＋a1·23＋…＋ak·2k+2＋3＝1×20＋1×21＋a0·22＋a1·23＋…＋ak·2k+2，∴ω(4n＋3)＝1＋1＋a0＋a1＋…＋ak＝a0＋a1＋…＋ak＋2，∴ω(8n＋5)＝ω(4n＋3)，C正确；对于D，2n－1＝20＋21＋…＋2n-1＝1×20＋1×21＋…＋1×2n-1，∴ω(2n－1)＝n，D正确．故选ACD.]名师点评对于新信息情境下的数列问题，在读懂题意的前提下，依据题目提供的信息，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决． [跟进训练]2．(1)(多选)若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质．对于正整数k，φ(k)是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数φ(k)以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数．例如：φ(2)＝1，φ(3)＝2，φ(6)＝2，φ(8)＝4．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么φ(mn)＝φ(m)φ(n)，例如：φ(6)＝φ(2)φ(3)，则()A．φ(5)＝φ(8)B．数列{φ(2n)}是等比数列C．数列{φ(6n)}不是递增数列D．数列的前n项和小于(2)(2023·湖北武汉二调)记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.①求数列{an}的通项公式；②对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和．√√√ (1)ABD[∵φ(5)＝4，φ(8)＝4，∴φ(5)＝φ(8)，A正确；∵2为质数，∴在不超过2n的正整数中，所有偶数的个数为2n-1，∴φ(2n)＝2n－2n-1＝2n-1，为等比数列，B正确；∵与3n互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，3n－2，3n－1，共有(3－1)·3n-1＝2·3n-1个，∴φ(3n)＝2·3n-1，又∵φ(6n)＝φ(2n)φ(3n)＝2·6n-1，∴{φ(6n)}是递增数列，故C错误；φ(6n)＝2·6n-1，记的前n项和为Sn，则Sn＝＋…＋，Sn＝＋…＋，∴Sn＝＋…＋＝＝，∴Sn＝＜，∴数列的前n项和小于，故D正确．故选ABD.] (2)[解]①由2Sn＝nan，则2Sn＋1＝(n＋1)an＋1，两式相减得，2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan，整理得，(n－1)an＋1＝nan，即n≥2时，＝，所以n≥2时，an＝·…··a2＝·…··3＝3(n－1)，又n＝1时，2a1＝a1，得a1＝0，也满足上式．故an＝3(n－1)．②由a40＝117，所以26<a40<27，又a34＝99>26，所以前40项中有34项来自.故b1＋b2＋…＋b40＝(a1＋a2＋…＋a34)＋(21＋22＋…＋26)＝＝1683＋126＝1809.所以{bn}的前40项和为1809. 命题点三　递推数列[典例3](10分)(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；(2)求{an}的前20项和．[规范解答](1)∵a1＝1，∴b1＝a2＝a1＋1＝2.·····························1分b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝a2＋3＝5.·····················2分又∵bn＝a2n，∴bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1↓切入点：发现a2n＋2与a2n＋1的关系 ＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，····················3分∴bn＋1＝bn＋3，∴bn＋1－bn＝3，·······················4分∴{bn}是首项为2，公差为3的等差数列，·············5分∴bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1．··················6分(2)由(1)可知a2＋a4＋a6＋…＋a20＝b1＋b2＋…＋b10＝＝155．···············8分∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝a2－1＋a4－1＋…＋a20－1↓关键点：发现a1＋a3＋a5＋…＋a19与a2＋a4＋…＋a20的内在关系＝155－10＝145．·······················9分∴{an}的前20项和S20＝155＋145＝300．·············10分 名师点评该递推数列属于数列奇偶项的问题，主要考查学生的综合知识能力与探究问题能力，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差或公比等，特别注意分类讨论等思想在解题中的灵活运用．[跟进训练]3．(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16.(1)求{an}的通项公式；(2)证明：当n＞5时，Tn＞Sn. [解](1)设等差数列{an}的公差为d.因为bn＝所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6.因为S4＝32，T3＝16，所以整理得解得所以{an}的通项公式为an＝2n＋3. (2)证明：由(1)知an＝2n＋3，所以Sn＝＝n2＋4n，bn＝当n为奇数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]＝＝. 当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝＝＞0，所以Tn＞Sn.当n为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝＝.当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝＝＞0，所以Tn＞Sn.综上可知，当n＞5时，Tn＞Sn. THANKS