2025年高考数学一轮复习教学课件第6章 第4课时　数列求和

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第六章　数列 第4课时　数列求和对应学生用书第141页 考试要求熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.掌握数列求和的常用方法． 链接教材　夯基固本第4课时　数列求和1．公式法(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝____________．(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝na1＋d 2．几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．常见的拆项类型①分式型：＝＝＝等；②指数型：＝＝等；③根式型：＝)等；④对数型：logm＝logman＋1－logman，m>0且m≠1. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列满足与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解．(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)的数列求和，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.提醒：无论用哪一种方法求和，最后可以用S1，S2进行验证． [常用结论](1)(2)＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；(3)＝13＋23＋…＋n3＝；(4)＝12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1). 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知各项均不为零的等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则有＝．()(2)当n≥2时，＝．()(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求解．()(4)利用倒序相加法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5．()√√×√ 二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第二册P51练习T2改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于()A．1B．C．D．B[∵an＝＝，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋…＋＝.]2．(人教A版选择性必修第二册P51练习T1改编)数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项和为()A．－200B．－100C．200D．100D[S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100．]√√ 3．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(1)改编)若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()A．2n＋n2－1B．2n+1＋n2－1C．2n+1＋n2－2D．2n＋n－2C[Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝＋2×－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n+1＋n2－2．]√ 4．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(2)改编)1＋2a＋3a2＋…＋nan-1＝______________________．[记Sn＝1＋2a＋3a2＋…＋nan-1，当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；当a≠1时，aSn＝a＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an-1＋nan，(1－a)Sn＝1＋a＋a2＋a3＋…＋an-1－nan.所以Sn＝(a≠1)，所以原式＝] 典例精研　核心考点第4课时　数列求和考点一　分组求和与并项求和考向1分组求和[典例1]在数列{an}中，a1＝－1，an＝2an－1＋3n－6(n≥2，n∈N*)．(1)求证：数列{an＋3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an＋n，求数列{bn}的前n项和Tn.[解](1)证明：∵an＝2an－1＋3n－6(n≥2，n∈N*)，∴当n≥2时，＝＝＝2，∴数列{an＋3n}是首项为a1＋3＝2，公比为2的等比数列，∴an＋3n＝2n，an＝2n－3n.(2)bn＝an＋n＝2n－3n＋n＝2n－2n，数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(21－2)＋(22－4)＋(23－6)＋…＋(2n－2n)＝21＋22＋…＋2n－(2＋4＋6＋…＋2n)＝×n＝2n+1－2－n(n＋1)． 考向2并项求和[典例2]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝9，S5＝25.(1)求数列{an}的通项公式及Sn；(2)设bn＝(－1)nSn，求数列{bn}的前n项和Tn.[解](1)设数列{an}的公差为d，由S5＝5a3＝25，得a3＝a1＋2d＝5，又a5＝9＝a1＋4d，所以d＝2，a1＝1，所以an＝2n－1，Sn＝＝n2.(2)结合(1)知bn＝(－1)nn2，当n为偶数时，Tn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋(b5＋b6)＋…＋(bn－1＋bn)＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n－1)2＋n2]＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n－(n－1)][n＋(n－1)]＝1＋2＋3＋…＋n＝.当n为奇数时，n－1为偶数，Tn＝Tn－1＋(－1)n·n2＝－n2＝－.综上可知，Tn＝. 名师点评分组求和与并项求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．(3)如果cn＝(－1)n·an，求{cn}的前n项和时，可采用并项求和法求解．对n分奇数、偶数讨论，建议先求n是偶数时Sn，当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋cn. [跟进训练]1．(2024·四川乐山模拟)已知等差数列{an}的前三项和为15，等比数列{bn}的前三项积为64，且a1＝b1＝2.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝求数列{cn}的前20项和．[解](1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由条件可知，a1＋a2＋a3＝3a2＝15，得a2＝5，d＝a2－a1＝3，所以an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，等比数列{bn}中，b1b2b3＝＝64，则b2＝4，q＝＝2，所以bn＝2·2n-1＝2n. (2)cn＝对数列{3n－1}，n为奇数时，3(n＋2)－1－(3n－1)＝6，所以数列{cn}的奇数项是首项为2，公差为6的等差数列，对数列，n为偶数，＝2，所以数列{cn}的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列{cn}的前20项和为c1＋c2＋c3＋…＋c20＝(c1＋c3＋…＋c19)＋(c2＋c4＋…＋c20)＝＝290＋211－2＝2336. 【教师备选资源】已知数列{an}满足＋…＋＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对于任意的n∈N*，令bn＝求数列的前n项和Sn.[解](1)当n＝1时，得＝，解得a1＝1；当n≥2时，可得＋…＋＝，①＋…＋＝，②由①－②，得＝＝，即an＝2－n，当n＝1时，a1＝2－1＝1也符合，所以数列{an}的通项公式为an＝2－n. (2)由(1)及题意知bn＝当n为偶数时，Sn＝[1＋(－1)＋(－3)＋…＋2－(n－1)]＋(20＋2-2＋…＋22-n)＝＝＝；当n为奇数时，Sn＝Sn＋1－bn＋1＝－21-n＝.综上所述，Sn＝ 考点二　裂项相消法求和[典例3](2022·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．(1)求{an}的通项公式；(2)证明：＋…＋<2. [解](1)∵a1＝1，∴S1＝a1＝1，∴＝1，又∵是公差为的等差数列，∴＝1＋(n－1)＝，∴Sn＝，∴当n≥2时，Sn－1＝，∴an＝Sn－Sn－1＝，整理得(n－1)an＝(n＋1)an－1，即＝(n≥2)，∴an＝a1××…×＝1××…×＝(n≥2)，显然对于n＝1也成立，∴{an}的通项公式为an＝.(2)证明：由(1)知an＝，∴＝＝2，∴＋…＋＝2＝2＜2. 名师点评裂项相消法求和的基本步骤 [跟进训练]2．(2024·湖南衡阳模拟)在数列{an}中，＋…＋＝n2＋n.(1)求{an}的通项公式；(2)证明：＋…＋<.[解](1)因为＋…＋＝n2＋n，①则当n＝1时，＝2，即a1＝4，当n≥2时，＋…＋＝n2－n，②①－②得＝2n，所以an＝2n(n＋1)，a1＝4也满足an＝2n(n＋1)，故对任意的n∈N*，an＝2n(n＋1)．(2)证明：＝＝＝＝，所以＋…＋＝＝<. 【教师备选资源】已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝(Sn为数列{an}的前n项和)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(－1)n+1，数列{bn}的前n项和为Tn，求T2023.[解](1)由Sn＝，得Sn－1＝(n≥2)，两式相减得an＝(n≥2)，化简得(n－1)an＝nan－1，所以＝＝…＝＝1，所以an＝n.(2)由(1)知bn＝(－1)n+1＝(－1)n+1，所以T2023＝－…－＝1＋＝. 考点三　错位相减法求和[典例4](2023·全国甲卷)已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为数列{an}的前n项和，2Sn＝nan.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.[解](1)当n＝1时，2S1＝a1，解得a1＝0，当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1，∴2an＝nan－(n－1)an－1，∴(n－1)an－1＝(n－2)an，当n≥3时，可得＝，∴an＝×…××a2＝n－1，当n＝2或n＝1时，a1＝0，a2＝1适合上式，∴{an}的通项公式为an＝n－1.(2)由(1)可得＝，∴Tn＝＋…＋，∴Tn＝＋…＋，∴Tn＝＋…＋＝＝1－，∴Tn＝2－. 名师点评错位相减法求和的具体步骤 [跟进训练]3．(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝.已知a1，3a2，9a3成等差数列．(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜. [解](1)设{an}的公比为q，则an＝qn-1.因为a1，3a2，9a3成等差数列，所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝，故an＝，bn＝.(2)证明：由(1)知Sn＝＝，Tn＝＋…＋，①Tn＝＋…＋，②①－②得Tn＝＋…＋，即Tn＝＝，整理得Tn＝，则2Tn－Sn＝2＝－＜0，故Tn＜. 【教师备选资源】1．(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．[解](1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2.所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2.故{an}的公比为－2.(2)记Sn为{nan}的前n项和．由(1)及题设可得an＝(－2)n-1.所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n-1，－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n-1＋n×(－2)n.两式相减可得3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n-1－n×(－2)n＝－n×(－2)n，所以Sn＝. 【教师备选资源】2．(2023·福建莆田二模)已知正项数列{an}满足＝.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，记数列的前n项和为Sn，证明：Sn<4.[解](1)因为＝，①当n＝1时＝1，因为an>0，所以a1＝1，当n≥2时＝，②①－②得＝＝4n-1＝(2n-1)2，因为an>0，所以an＝2n-1，n≥2，n∈N*，经检验，上式对于n＝1也适合，所以{an}的通项公式为an＝2n-1. (2)证明：由(1)得bn＝＝n·，所以Sn＝1×1＋2×＋3×＋…＋n·，Sn＝1×＋2×＋…＋(n－1)·＋n·，两式相减得，Sn＝1＋＋…＋－n·＝－n·＝2－(n＋2)，所以Sn＝4－(2n＋4)，由于n∈N*，显然(2n＋4)>0，所以Sn<4. 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(三十九)数列求和 THANKS