2025年高考数学一轮讲义第3章 高考培优3　极值点偏移问题

　极值点偏移问题1．极值点偏移的判定定理对于可导函数y＝f(x)在区间(a，b)上只有一个极大(小)值点x0，方程f(x)＝0的解分别为x1，x2，且a＜x1＜x2＜b.(1)若0＝f(x1)＜f(2x0－x2)，则x1+x22＜(＞)x0，即函数y＝f(x)在区间(x1，x2)上极大(小)值点x0右(左)偏；(2)若0＝f(x1)＞f(2x0－x2)，则x1+x22＞(＜)x0，即函数y＝f(x)在区间(x1，x2)上极大(小)值点x0左(右)偏．极值点左偏⇔x0＜x1+x22　极值点右偏⇔x0＞x1+x22极值点左偏⇔x0＜x1+x22　极值点右偏⇔x0＞x1+x222．证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：(1)证明x1＋x2＜2a(或x1＋x2＞2a)：①构造函数g(x)＝f(x)－f(2a－x)，求导，确定函数y＝f(x)和函数y＝g(x)的单调性；②确定x1，x2满足x1＜a＜x2，且f(x1)＝f(x2)，由函数值g(x1)与g(a)的大小关系，得g(x1)＝f(x1)－f(2a－x1)＝f(x2)－f(2a－x1)与零的大小关系；③由函数y＝f(x)在区间(a，＋∞)上的单调性得到x2与2a－x1的大小关系，从而证明相应问题．(2)证明x1x2＜a2(或x1x2＞a2)(x1，x2都为正数)：①构造函数g(x)＝f(x)－fa2x，求导，确定函数y＝f(x)和函数y＝g(x)的单调性；3/3 ②确定x1，x2满足x1＜a＜x2，且f(x1)＝f(x2)，由函数值g(x1)与g(a)的大小关系，得g(x1)＝f(x1)－fa2x1＝f(x2)－fa2x1与零的大小关系；③由函数y＝f(x)在区间(a，＋∞)上的单调性得到x2与a2x1的大小关系，从而证明相应问题．(3)应用对数平均不等式x1x2＜x1-x2lnx1-lnx2＜x1+x22证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到x1-x2lnx1-lnx2；③利用对数平均不等式来证明相应的问题．[典例]　已知函数f(x)＝xe－x.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　极值点偏移问题的常用策略首先进行变量的转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，或者通过比值代换令t=x2x1，利用关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式，化简后根据其结构特点构造函数，再借助导数，判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等式．[跟进训练]1．(2022·全国甲卷节选)已知函数f(x)＝exx－lnx＋x－a.证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2＜1．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．(2024·广州模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax2，若x1，x2是方程f(x)＝03/3 的两不等实根，求证：x12+x22＞2e.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3．(2024·河北石家庄模拟)已知函数f(x)＝x2lnx－a(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2，证明：1＜x1＋x2＜2e.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3/3