2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第5章　§5.3　平面向量的数量积

§5.3平面向量的数量积第五章　平面向量与复数 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作，则＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.2.平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量a与b的数量积，记作.∠AOB|a||b|cosθa·b 3.平面向量数量积的几何意义设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b，叫做向量a在向量b上的.记为.投影投影向量|a|cosθe 4.向量数量积的运算律(1)a·b＝.(2)(λa)·b＝＝.(3)(a＋b)·c＝.b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c 5.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝___________模|a|＝_____|a|＝________x1x2＋y1y2 夹角cosθ＝_______cosθ＝________________a⊥b的充要条件a·b＝0______________|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x1x2＋y1y2＝0 1.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2.有关向量夹角的两个结论(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. (2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.()(4)若a·b＝a·c，则b＝c.()√××× √ 2.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝______. 3.若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b的值等于____；a与b夹角的余弦值等于_____.5因为a＝(1,2)，b＝(－3,4)， 探究核心题型第二部分 题型一平面向量数量积的基本运算√ 如图所示，∴四边形ABCD为平行四边形， 22 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，∴B(－3,0)，C(3,0)， 计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求数量积.(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.思维升华 跟踪训练1(1)(2022·岳阳模拟)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一条对角线BD上，则的值为A.－2B.2C.1D.4设AC∩BD＝O，则O为AC的中点，且AC⊥BD，如图所示，√ 12 例2已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝，则|a＋2b|等于题型二平面向量数量积的应用根据向量的运算法则和数量积的定义，命题点1向量的模√ 命题点2向量的夹角√ 故a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2) 例4(2022·全国甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1).若a⊥b，则m＝______.命题点3向量的垂直 (1)求平面向量的模的方法②几何法：利用向量的几何意义.(2)求平面向量的夹角的方法②坐标法. (3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0). √√√ 由此可得△OAB是一个等边三角形，设e1与a的夹角为θ，因为e1·a＝2＝|a|cosθ，所以a在e1上的投影向量为(|a|cosθ)e1＝2e1，故D正确. (2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于A.－6B.－5C.5D.6√ 由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉， 例5在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是题型三平面向量的实际应用√ 根据题意可得G＝F1＋F2，当θ＝0时，|G|＝2|F1|＝|F1|＋|F2|，且行李包所受的重力G不变，所以当θ角越大时，用力越大，故C错误； 用向量方法解决实际问题的步骤 跟踪训练3(2022·长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cosθ等于√ 由题意知(v1＋v2)·v2＝0，即10×4cosθ＋42＝0， 课时精练第三部分 12345678910111213141516基础保分练1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于√ 2.(2023·三明模拟)已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于12345678910111213141516∵a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，a⊥b，∴a·b＝0，即－λ＋4＝0，√ 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516将等式|a＋2b|＝|2a－b|两边平方，得8a·b＋3b2＝3a2，设a与b的夹角为θ，即8|a||b|cosθ＋3|b|2＝3|a|2， 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516 如果只有一个等式不成立，则该等式为A.甲B.乙C.丙D.丁12345678910111213141516√ 12345678910111213141516丙：点P到三角形三个顶点的距离相等，故P为△ABC的外心；当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲、丙、丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个至少有两个等式不成立. 123456789101112131415169.已知|a|＝4，b＝(－1,0)，且(a＋2b)⊥b，则a与b的夹角为_____. 12345678910111213141516由b＝(－1,0)，得|b|＝1，因为(a＋2b)⊥b，所以(a＋2b)·b＝0，所以a·b＋2b2＝0，所以|a||b|cos〈a，b〉＋2|b|2＝0，因为|a|＝4， 1234567891011121314151611 11.(多选)(2022·佛山模拟)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4N，水平拉力F1的大小为3N，另一力F2未知，则A.当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5NB.当F2与F1方向相反，且|F2|＝5N时，物体所受合力大小为0C.当物体所受合力为F1时，|F2|＝4ND.当|F2|＝2N时，3N≤|F1＋F2＋G|≤7N12345678910111213141516综合提升练√√√ 12345678910111213141516由题意知，F2的大小等于重力G与水平拉力F1的合力大小，由图①知|F2|＝5N，故A正确；如图②，物体所受合力应等于向量与F2的和向量的大小，显然B错误；当物体所受合力为F1时，说明G与F2的合力为0，所以|F2|＝4N，C正确； 12345678910111213141516即3N≤|F1＋F2＋G|≤7N，故D正确. 12.已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是12345678910111213141516√ 12345678910111213141516因为a＝(2，m)，b＝(3,1)，所以a·b＝6＋m， 13.(多选)已知O为坐标原点，点A(1,0)，P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ)，P3(cos(α－β)，sin(α－β))，则下列选项正确的是12345678910111213141516√√√ 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516拓展冲刺练－16 12345678910111213141516 16.在2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.已知图①中正三角形的边长为3，则图③中的值为____.123456789101112131415166 12345678910111213141516在图③中，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，