2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第5章　§5.3　平面向量的数量积

§5.3　平面向量的数量积考试要求　1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理1．向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．2．平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.3．平面向量数量积的几何意义设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cosθe.4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝|a|＝15 夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是.(　×　)(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.(　×　)(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　√　)(4)若a·b＝a·c，则b＝c.(　×　)教材改编题1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于(　　)A．1B.C．3D．3答案　C解析　由题意可得a·b＝|a|·|b|cos30°＝2××＝3.2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.答案　23．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b的值等于________；a与b夹角的余弦值等于________．答案　5　解析　因为a＝(1,2)，b＝(－3,4)，所以a·b＝－3×1＋2×4＝5，|a|＝＝，|b|＝＝5，所以cos〈a，b〉＝＝＝.15 题型一　平面向量数量积的基本运算例1　(1)(2023·广州模拟)在平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，||＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cosθ＝，则·等于(　　)A．8B．－8C．2D．－2答案　D解析　如图所示，∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形，∵＝3，∴＝＋＝＋，＝－＝－，又∵||＝4，||＝3，cosθ＝，则·＝4×3×＝8，∴·＝·＝·－2＋2＝×8－9＋×42＝－2.(2)(2023·六安模拟)在等边△ABC中，AB＝6，＝3，＝2，则·＝________.答案　22解析　如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，15 ∵AB＝6，＝3，＝2，∴B(－3,0)，C(3,0)，M(－2，－3)，∴＝(－1,3)，＝(5,3)，∴·＝－5＋27＝22.思维升华　计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1　(1)(2022·岳阳模拟)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一条对角线BD上，则·的值为(　　)A．－2B．2C．1D．4答案　B解析　设AC∩BD＝O，则O为AC的中点，且AC⊥BD，如图所示，由在方向上的投影向量为，得·＝·＝2＝2.(2)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.15 答案　12解析　因为·＝2·，所以·－·＝·，所以·＝·.因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2||＝||||cos ，化简得||＝2.故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos ＝12.题型二　平面向量数量积的应用命题点1　向量的模例2　已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝，则|a＋2b|等于(　　)A．1＋2B.C.D．3答案　B解析　根据向量的运算法则和数量积的定义，可得|a＋2b|＝＝＝＝.命题点2　向量的夹角例3　若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　由题意可得e1·e2＝1×1×cos ＝，故a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)15 ＝－6e＋e1·e2＋2e＝－6＋＋2＝－，|a|＝＝＝，|b|＝＝＝，故cos〈a，b〉＝＝＝－，由于〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝.命题点3　向量的垂直例4　(2022·全国甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________.答案　－解析　∵a⊥b，∴a·b＝m＋3(m＋1)＝4m＋3＝0，解得m＝－.思维升华　(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②几何法：利用向量的几何意义．(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cosθ＝；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．跟踪训练2　(1)(多选)已知e1，e2是单位向量，且e1·e2＝，若向量a满足e1·a＝2，则下列选项正确的是(　　)A．|e1－e2|＝1B．e1在e2上的投影向量的模为C．e1与e1－e2的夹角为D．a在e1上的投影向量为2e1答案　ABD解析　因为e1·e2＝1×1×cos〈e1，e2〉＝，所以e1，e2的夹角为，设＝e1，＝e2，则＝e1－e2，由此可得△OAB是一个等边三角形，15 所以〈e1，e1－e2〉＝，故C错误；|e1－e2|2＝e－2e1·e2＋e＝1，故|e1－e2|＝1，故A正确；因为e1在e2上的投影向量为e2＝e2，所以模为，故B正确；设e1与a的夹角为θ，因为e1·a＝2＝|a|cosθ，所以a在e1上的投影向量为(|a|cosθ)e1＝2e1，故D正确．(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于(　　)A．－6B．－5C．5D．6答案　C解析　由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C.题型三　平面向量的实际应用例5　在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是(　　)A．|G|＝|F1|＋|F2|B．当θ＝时，|F1|＝|G|C．当θ角越大时，用力越省D．当|F1|＝|G|时，θ＝答案　B解析　根据题意可得G＝F1＋F2，则|G|＝|F1＋F2|＝＝＝，当θ＝0时，|G|＝2|F1|＝|F1|＋|F2|，15 当θ＝时，|G|＝＝|F1|，即|F1|＝|G|，故A错误，B正确；|G|＝，因为y＝cosθ在(0，π)上单调递减，且行李包所受的重力G不变，所以当θ角越大时，用力越大，故C错误；当|F1|＝|G|时，即|G|＝＝|F1|，解得cosθ＝－，又因为θ∈(0，π)，所以θ＝，故D错误．思维升华　用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3　(2022·长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cosθ等于(　　)A．－B．－C．－D．－答案　B解析　由题意知(v1＋v2)·v2＝0，有|v1||v2|cosθ＋v＝0，即10×4cosθ＋42＝0，所以cosθ＝－.课时精练15 1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于(　　)A．12B．12C．－12D．－12答案　C解析　由题意知m·n＝|m||n|cos135°＝4×6×＝－12.2．(2023·三明模拟)已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于(　　)A．5B．6C.D．4答案　A解析　∵a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，a⊥b，∴a·b＝0，即－λ＋4＝0，∴λ＝4，∴a＋b＝(3,4)，|a＋b|＝＝5.3．已知a，b为非零向量，且|a|＝2|b|，|a＋2b|＝|2a－b|，则a与b夹角的余弦值为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　将等式|a＋2b|＝|2a－b|两边平方，得8a·b＋3b2＝3a2，设a与b的夹角为θ，即8|a||b|cosθ＋3|b|2＝3|a|2，将|a|＝|b|代入8|a||b|cosθ＋3|b|2＝3|a|2，得cosθ＝.4．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为(　　)A．3B.C．2D.答案　B解析　方法一　设a与b的夹角为θ，∵|a|cosθ＝b，∴＝，∴|a|cosθ＝，∴a·b＝|a||b|cosθ＝×3＝.方法二　a·b＝b·b＝b2＝.5．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点P是BC的中点，则·等于(　　)A．0B.C．3D.答案　C15 解析　由题意可得＝－(＋)＝－，＝＋＝－，故·＝－·＝||2－2＝4－1＝3.6．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC外接圆圆心为O，则·等于(　　)A．8B.C．8D．18答案　A解析　由题意得O为△ABC外心，故·＝2＝8.7．(2023·郑州模拟)在以OA为边，以OB为对角线的菱形OABC中，＝(4,0)，＝(6，a)，则∠AOC等于(　　)A.B.C.D.答案　B解析　由题设，＝－＝(2，a)，且||＝||＝4，所以＝4，则a＝±2，故＝(6，±2)，由∠AOC＝2∠AOB∈(0，π)，则0<∠AOB<，又cos∠AOB＝＝＝，则∠AOB＝，所以∠AOC＝.8．已知P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：甲：＋＋＝0；乙：·(－)＝·(－)；丙：||＝||＝||；15 丁：·＝·＝·.如果只有一个等式不成立，则该等式为(　　)A．甲B．乙C．丙D．丁答案　B解析　甲：＋＋＝0，则＋＝－，故P为△ABC的重心；乙：·(－)＝·(－)，则(－)·＝·＝0，故AB⊥AC，即△ABC为直角三角形；丙：点P到三角形三个顶点的距离相等，故P为△ABC的外心；丁：·＝·，则(－)·＝·＝0，同理可得·＝·＝0，即P为△ABC的垂心，当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲、丙、丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个至少有两个等式不成立．9．已知|a|＝4，b＝(－1,0)，且(a＋2b)⊥b，则a与b的夹角为________．答案　解析　由b＝(－1,0)，得|b|＝1，因为(a＋2b)⊥b，所以(a＋2b)·b＝0，所以a·b＋2b2＝0，所以|a||b|cos〈a，b〉＋2|b|2＝0，因为|a|＝4，所以4cos〈a，b〉＋2＝0，所以cos〈a，b〉＝－，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.10．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________.答案　11解析　(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝2×1×3×＋32＝11.11．(多选)(2022·佛山模拟)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4N，水平拉力F1的大小为3N，另一力F2未知，则(　　)15 A．当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5NB．当F2与F1方向相反，且|F2|＝5N时，物体所受合力大小为0C．当物体所受合力为F1时，|F2|＝4ND．当|F2|＝2N时，3N≤|F1＋F2＋G|≤7N答案　ACD解析　由题意知，F2的大小等于重力G与水平拉力F1的合力大小，由图①知|F2|＝5N，故A正确；如图②，物体所受合力应等于向量与F2的和向量的大小，显然B错误；当物体所受合力为F1时，说明G与F2的合力为0，所以|F2|＝4N，C正确；由上知，重力G与水平拉力F1的合力为，||＝5N，易知当F2与同向时合力最大，最大值为7N；反向时合力最小，最小值为3N，即3N≤|F1＋F2＋G|≤7N，故D正确．12．已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是(　　)A．(－6，＋∞)B.C.∪D.∪答案　C解析　因为a＝(2，m)，b＝(3,1)，所以a·b＝6＋m，因为向量a，b的夹角是锐角，所以15 解得m>－6，且m≠.所以实数m的取值范围是∪.13．(多选)已知O为坐标原点，点A(1,0)，P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ)，P3(cos(α－β)，sin(α－β))，则下列选项正确的是(　　)A．||＝||B．||＝||C.·＝·D.·＝·答案　ABD解析　由题意＝(1,0)，的坐标等于Pi的坐标(i＝1,2,3)，||＝||＝1，A正确；||＝＝，||＝＝＝，所以||＝||，B正确；·＝cosα，·＝cosβcos(α－β)＋sinβsin(α－β)＝cos(2β－α)，C错误；·＝cos(α－β)，·＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，D正确．14．(2023·新乡模拟)在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是BC的中点，F是AB上一点，且·＝0，则·＝________.答案　－解析　设＝λ，则＝－＝λ－，＝＋＝＋.所以·＝·(λ－)＝λ2＋·－2＝5λ－4＝0，15 解得λ＝.则＝－＝－－，故·＝(－)·＝2＋·－2＝－.15.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a·b＝(||2－||2)，我们称为极化恒等式．在△ABC中，M是BC中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.答案　－16解析　由题设，||＝3，||＝10，·＝·(4||2－||2)＝×(36－100)＝－16.16．在2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中·的值为________．答案　6解析　在图③中，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，15 ||＝2，＝＝(1,)，||＝，即＝，||＝，由分形知PN∥OM，所以＝，所以＝＋＋＝，所以·＝1×＋×＝6.15