2024年新高考数学一轮复习：第19讲 导数的概念及其运算（原卷版）

第19讲导数的概念及其运算1.导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为　　.2.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f(x)＝xα(α是实数)f(x)＝sinxf(x)＝cosxf(x)＝exf(x)＝ax(a＞0)f(x)＝lnxf(x)＝logax(a＞0，a≠1)3.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则：(1)[f(x)±g(x)]′＝　；(2)[f(x)·g(x)]′＝　；(3)′＝(g(x)≠0)．4.复合函数的求导：复合函数y＝f(g(x))的导数y′＝　　.5.设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t＝t0时刻的　　;设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的　　.1、【2022年新高考1卷】若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．2、【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．3、【2021年甲卷理科】曲线在点处的切线方程为__________．4、【2020年新课标1卷理科】函数的图像在点处的切线方程为（       ）A．B．C．D． 5、【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（       ）A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+6、【2019年新课标3卷理科】已知曲线在点处的切线方程为，则A．B．C．D．1、下列求导结果正确的是（）A．B．C．D．2、若，则（）A．B．C．D．3、(2022·珠海高三期末)若函数f(x)＝lnx＋的图象在x＝1处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则a＝________．4、函数y＝xsinx－cosx的导数为______________________．5、（2022·福建·莆田二中模拟预测）曲线在点处的切线方程为______．6、（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）曲线在点处的切线方程为______．考向一　基本函数的导数例1、求下列函数的导数.(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋；(3)y＝；(4)y＝xsincos.变式1　已知定义在R上的可导函数f(x)满足：f(1)＝1，f′(x)＋2x>0，其中f′(x)是f(x)的导数，写出满足上述条件的一个函数　　. 变式2　求下列函数的导数：(1)f(x)＝(x2＋2x－1)e1－x；(2)f(x)＝ln.变式3、求下列函数的导数：(1)f(x)＝x3＋xsinx；(2)f(x)＝xlnx＋2x;(3)f(x)＝excosx；(4)f(x)＝.方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元考向二求导数的切线方程例2、（1）（2022·河北衡水中学一模）已知为偶函数，且当时，，则在处的切线方程为______．（2）（2022·福建·三模）已知是定义在上的函数，且函数是奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（       ）A．B．C．D．变式1、　(1)若函数f(x)＝2的图象在点(a，f(a))处的切线与直线2x＋y－4＝0垂直，求该切线的方程；(2)求过点P(2，5)与曲线f(x)＝x3－x＋3相切的直线方程； (3)若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求实数a的值．变式2、（2022·广东深圳·二模）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（       ）A．B．C．D．方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．(3)曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．考向三导数几何意义的应用例3、（1）已知函数是的导函数，则过曲线上一点的切线方程为__________________．（2）：若直线是曲线的切线，则实数的值为________．变式1、（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数，则函数___________.变式2、（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数，则__________.方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．1、（2022·湖南·模拟预测）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（       ）A．B．C．D．2、（2022·湖南·雅礼中学二模）已知的一条切线与f（x）有且仅有一个交点，则（       ）A．B．C．D．3、（2022·湖北·武汉二中模拟预测）已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（     ）A．B．C．D．4、（2022·广东汕头·二模）已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则t的取值范围是（       ）A．B．C．D．5、（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知f(x)=cosx，g(x)=x，则关于x的不等式的解集为__________.6、（2022·山东·模拟预测）已知直线与曲线相切，则___________.