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2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第9章 必刷大题18 统计与统计分析

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必刷大题18 统计与统计分析1.某中学为了解学生数学课程的学习情况,在3000名学生中随机抽取200名,并统计这200名学生的某次数学考试成绩(满分100分),得到了样本的频率分布直方图(如图).一般学校认为成绩大于等于80分的学生为优秀.(1)根据频率分布直方图,估计3000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数;(2)依据样本的频率分布直方图,估计总体成绩的众数和平均数.解 (1)由样本的频率分布直方图可知,在该次数学考试中成绩优秀的频率是(0.020+0.008)×10=0.28,则3000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数为3000×0.28=840.(2)由样本的频率分布直方图可知,总体成绩的众数为=75,平均数为0.002×10×35+0.006×10×45+0.012×10×55+0.024×10×65+0.028×10×75+0.020×10×85+0.008×10×95=71.2.所以总体成绩的众数为75,平均数为71.2.2.为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识,使广大群众充分了解疫情防护知识,提高预防能力,做到科学防护.某组织通过网络进行疫情防控科普知识问答.共有100人参加了这次问答,将他们的成绩(满分100分)分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]这六组,制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a的值,并估计这100人问答成绩的中位数和平均数;(同一组数据用该组数据的中点值代替)8 (2)用比例分配的分层随机抽样方法从问答成绩在[60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本,再从样本中任意抽取2人,求这2人的问答成绩均在[70,80)内的概率.解 (1)由图可知,10×(2×0.005+a+0.02+0.025+0.03)=1,解得a=0.015.设中位数为x,则0.05+0.15+0.2+0.03×(x-70)=0.5,所以x=.这100人问答成绩的平均数为45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72.(2)用比例分配的分层随机抽样方法从问答成绩在[60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本,则问答成绩在[60,70)内的有×5=2(人),分别记为A,B;问答成绩在[70,80)内的有×5=3(人),分别记为a,b,c.从中任意抽取2人,则试验的样本空间Ω={(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c)},共有10个样本点.设事件A为2人的问答成绩均在[70,80)内,则A={(a,b),(a,c),(b,c)},共有3个样本点,所以这2人的问答成绩均在[70,80)内的概率P(A)=.3.为弘扬劳动精神,树立学生“劳动最美,劳动最光荣”的观念,某校持续开展“家庭劳动大比拼”活动.某班统计了本班同学1~7月份的人均月劳动时间(单位:小时),并建立了人均月劳动时间y关于月份x的经验回归方程=x+4,y与x的原始数据如表所示:月份x1234567人均月劳动时间y89m12n1922由于某些原因导致部分数据丢失,但已知iyi=452.(1)求m,n的值;(2)求该班6月份人均月劳动时间数据的残差值(残差即样本数据与预测值之差).8 参考公式:在经验回归方程=x+中,=,=-.解 (1)由表知,=×(1+2+3+4+5+6+7)=4,=×(8+9+m+12+n+19+22)=,所以-72=12+22+32+42+52+62+72-7×42=28,所以==,即m+n=43-7,①因为经验回归直线恒过点(,),所以=4+4,即m+n=28-42,②由①②,得=,m+n=26,③因为iyi=8+18+3m+48+5n+114+154=452,所以3m+5n=110,④由③④,得m=10,n=16.(2)由(1)知,经验回归方程为=x+4,所以当x=6时,预测值=×6+4=,此时残差为19-=.4.为推动更多人去阅读和写作,联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”,其设立目的是希望居住在世界各地的人,无论你是年老还是年轻,无论你是贫穷还是富裕,都能享受阅读的乐趣,都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们,都能保护知识产权.为了解不同年龄段居民的主要阅读方式,某校兴趣小组在全市随机调查了2008 名居民,这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1.将这200人按年龄(单位:岁)分组,统计得到通过电子阅读的居民的频率分布直方图如图所示.(1)求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄;(2)把年龄在[15,45)内的居民称为中青年,年龄在[45,65]内的居民称为中老年,若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人,请完成下面2×2列联表,并依据小概率值α=0.025的独立性检验,分析阅读方式是否与年龄有关.电子阅读纸质阅读合计中青年中老年合计附:χ2=,n=a+b+c+d.α0.150.10.050.0250.01xα2.0722.7063.8415.0246.635解 (1)由频率分布直方图可得10×(0.01+0.015+a+0.03+0.01)=1,解得a=0.035,所以通过电子阅读的居民的平均年龄为20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5(岁).(2)这200人中通过电子阅读的人数为200×=150,通过纸质阅读的人数为200-150=50.因为(0.01+0.015+0.035)∶(0.03+0.01)=3∶2,所以通过电子阅读的中青年的人数为150×=90,中老年的人数为150-90=60.2×2列联表为电子阅读纸质阅读合计8 中青年9020110中老年603090合计15050200零假设为H0:阅读方式与年龄无关.由表中数据,得χ2=≈6.061>5.024=x0.025,所以依据小概率值α=0.025的独立性检验,推断H0不成立,即认为阅读方式与年龄有关.5.2017年9月国家发改委制定了煤改气、煤改电价格扶植新政策,从而使得煤改气、煤改电用户大幅度增加.图1所示的条形图反映了某省某年1~7月份煤改气、煤改电的用户数量.图1图2(1)在图2给定坐标系中作出煤改气、煤改电用户数量y随月份t变化的散点图,并用散点图和样本相关系数说明y与t之间具有线性相关性;(2)建立y关于t的经验回归方程(系数精确到0.01),预测该年11月份该省煤改气、煤改电的用户数量.参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归方程=u+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为==,=-.参考数据:i=9.24,iyi=39.75,≈0.53,≈2.646.8 样本相关系数r=.解 (1)作出散点图如图所示.由条形图数据和参考数据得,=4,(ti-)2=28,≈0.53,(ti-)(yi-)=iyi-i=39.75-4×9.24=2.79,所以r≈≈0.99.y与t的样本相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关性相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(2)由==1.32,又由(1)得==≈0.10,=-≈1.32-0.10×4=0.92,所以y关于t的经验回归方程为=0.92+0.10t.将t=11代入经验回归方程得=0.92+0.10×11=2.02.所以预测该年11月份该省煤改气、煤改电的用户数量达到2.02万户.6.在国家大力发展新能源汽车产业的政策下,我国新能源汽车的产销量高速增长.已知某地区2015年年底到2022年年底新能源汽车保有量的数据统计表如下:年份(年)201520162017201820192020202120228 年份代码x12345678保有量y/千辆1.952.924.386.589.8715.0022.5033.70(1)根据统计表中的数据画出散点图(如图),请判断y=bx+a与y=ecx+d哪一个更适合作为y关于x的经验回归模型(给出判断即可,不必说明理由),并根据你的判断结果建立y关于x的经验回归方程;(2)假设每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长,且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同.若2022年年底该地区传统能源汽车保有量为500千辆,预计到2027年年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归方程=u+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为==,=-.参考数据:=12.1,=2.1,=204,iyi=613.7,iti=92.4,其中ti=lnyi,lg2≈0.30,lg3≈0.48,lge≈0.43.解 (1)根据散点图显示的该地区新能源汽车保有量的增长趋势知,应选择的函数模型是y=ecx+d,因为t=lny,则=x+,因为=×(1+2+3+4+5+6+7+8)=4.5,=204,iti=92.4,=2.1,所以====0.4,8 =-=2.1-0.4×4.5=0.3,所以=0.4x+0.3,即=e0.4x+0.3.(2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r,依题意得,500(1-r)5=500(1-10%),解得1-r=,设从2022年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y千辆,则有y=500(1-r)x=,设从2022年底起经过x年后新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车保有量,则有e0.4(x+8)+0.3>,所以(0.4x+3.5)lge>3-lg2+0.2x(2lg3-1),解得x>≈6.64,故从2022年年底起经过7年后,即2029年年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车保有量.8

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文章作者:180****8757

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