2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第3章　必刷小题5　导数及其应用

必刷小题5　导数及其应用一、单项选择题1．函数f(x)＝(2x－1)ex的单调递增区间为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　因为函数f(x)＝(2x－1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x－1)ex＝(2x＋1)ex，令f′(x)>0，解得x>－，所以函数f(x)的单调递增区间为.2．(2023·茂名模拟)若曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b在点(1，f(1))处的切线为3x－y－2＝0，则有(　　)A．a＝－1，b＝1B．a＝1，b＝－1C．a＝－2，b＝1D．a＝2，b＝－1答案　B解析　将x＝1代入3x－y－2＝0得y＝1，则f(1)＝1，则1＋a＋b＝1，①∵f(x)＝x2＋ax＋b，∴f′(x)＝2x＋a，则f′(1)＝3，即2＋a＝3，②联立①②，解得a＝1，b＝－1.3．已知x＝0是函数f(x)＝eax－ln(x＋a)的极值点，则a等于(　　)A．1B．2C．eD．±1答案　A解析　因为f(x)＝eax－ln(x＋a)，所以f′(x)＝aeax－.又x＝0是f(x)的极值点，所以a－＝0，解得a＝±1，经检验知a＝－1不符合条件，故a＝1.4．(2023·济南质检)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a，b)8 内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f(x)＝x3－3x在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为(　　)A．3B．2C．1D．0答案　B解析　函数f(x)＝x3－3x，则f(2)＝2，f(－2)＝－2，f′(x)＝3x2－3，由f(2)－f(－2)＝f′(c)(2＋2)，得f′(c)＝1，即3c2－3＝1，解得c＝±∈[－2,2]，所以f(x)在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2.5．(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝xex－x2－2x－m在(0，＋∞)上有零点，则m的取值范围是(　　)A．[1－ln22，＋∞)B．[－ln22－1，＋∞)C．[－ln22，＋∞)D.答案　C解析　由函数y＝f(x)在(0，＋∞)上存在零点可知，m＝xex－x2－2x(x>0)有解，设h(x)＝xex－x2－2x(x>0)，则h′(x)＝(x＋1)(ex－2)(x>0)，当0<x<ln2时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x>ln2时，h′(x)>0，h(x)单调递增．则x＝ln2时，h(x)取得最小值，且h(ln2)＝－ln22，所以m的取值范围是[－ln22，＋∞)．6．已知a，b∈R，则“lna>lnb”是“a＋sinb>b＋sina”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　由lna>lnb，得a>b>0.由a＋sinb>b＋sina，得a－sina>b－sinb.记函数f(x)＝x－sinx(x∈R)，则f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，8 又a－sina>b－sinb，则f(a)>f(b)，所以a>b.因此“lna>lnb”是“a＋sinb>b＋sina”的充分不必要条件．7．(2023·宁波模拟)设m≠0，若x＝m为函数f(x)＝m·(x－m)2(x－n)的极小值点，则(　　)A．m>nB．m<nC.<1D.>1答案　C解析　f′(x)＝m[2(x－m)(x－n)＋(x－m)2]＝3m(x－m)，若m<0，则f′(x)是开口向下的抛物线，若x＝m是极小值点，必有m<，则n>m，即<1；若m>0，f′(x)是开口向上的抛物线，若x＝m是极小值点，必有m>，则n<m，即<1，综上，<1.8．已知f(x)＝(x＋3)，g(x)＝2lnx，若存在x1，x2，使得g(x2)＝f(x1)，则x2－x1的最小值为(　　)A．6－8ln2B．7－8ln2C．2ln2D．4ln2答案　B解析　设g(x2)＝f(x1)＝m，则x1＝2m－3，x2＝，所以x2－x1＝－2m＋3，设h(x)＝－2x＋3，则h′(x)＝－2，令h′(x)>0，得x>4ln2；令h′(x)<0，得x<4ln2，所以h(x)在(－∞，4ln2)上单调递减，在(4ln2，＋∞)上单调递增，h(x)min＝7－8ln2，所以当x＝4ln2时，x2－x1取最小值，为7－8ln2.二、多项选择题9．下列函数中，存在极值点的是(　　)A．y＝x＋B．y＝2x2－x＋1C．y＝xlnxD．y＝－2x3－x答案　ABC8 解析　由题意，对于A，函数y＝x＋，y′＝1－，可得函数y＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)，(0,1)上单调递减，所以函数有两个极值点x＝－1和x＝1；对于B，函数y＝2x2－x＋1为开口向上的抛物线，一定存在极值点，即为顶点的横坐标x＝；对于C，函数y＝xlnx，y′＝lnx＋1，当x∈时，y′<0，函数单调递减，当x∈时，y′>0，函数单调递增，所以函数y＝xlnx在x＝处取得极小值；对于D，函数y＝－2x3－x，y′＝－6x2－1<0，所以函数y＝－2x3－x在R上单调递减，没有极值点．10．已知函数f(x)＝e2－x＋x，x∈[1,3]，则下列说法正确的是(　　)A．函数f(x)的最小值为3B．函数f(x)的最大值为3＋C．函数f(x)的最小值为e＋1D．函数f(x)的最大值为e＋1答案　AD解析　∵f(x)＝e2－x＋x，x∈[1,3]，∴f′(x)＝－e2－x＋1，令f′(x)>0，解得x>2；令f′(x)<0，解得x<2，故函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，在区间[2,3]上单调递增，所以函数f(x)在x＝2处取得极小值，也是最小值，为f(2)＝3，而f(1)＝e＋1，f(3)＝3＋，则f(1)>f(3)，故f(x)的最大值为f(1)＝e＋1.11.函数f(x)＝ax3－bx2＋cx的图象如图，且f(x)在x＝x0与x＝1处取得极值，给出下列判断，其中正确的是(　　)A．c<0B．a<08 C．f(1)＋f(－1)>0D．函数y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减答案　AC解析　f′(x)＝3ax2－2bx＋c＝3a(x－x0)(x－1)，由图知x>1时，f(x)单调递增，可知f′(x)>0，所以a>0，故B错误；又f′(x)＝3ax2－2bx＋c＝3a(x－x0)(x－1)＝3ax2－3a(1＋x0)x＋3ax0，∴2b＝3a(1＋x0)，c＝3ax0，∵x0<－1<0∴c＝3ax0<0,故A正确；∵x0<－1<0，∴1＋x0<0，∴f(1)＋f(－1)＝－2b＝－3a(1＋x0)>0，故C正确；f′(x)＝3ax2－2bx＋c，其图象开口向上，对称轴小于0，函数f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，故D错误．12．(2022·南通模拟)定义：在区间I上，若函数y＝f(x)是减函数，且y＝xf(x)是增函数，则称y＝f(x)在区间I上是“弱减函数”．根据定义，下列结论正确的是(　　)A．f(x)＝在(0，＋∞)上是“弱减函数”B．f(x)＝在(1,2)上是“弱减函数”C．若f(x)＝在(m，＋∞)上是“弱减函数”，则m≥eD．若f(x)＝cosx＋kx2在上是“弱减函数”，则≤k≤答案　BCD解析　对于A，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝xf(x)＝1不单调，故A错误；对于B，f(x)＝，f′(x)＝，在(1,2)上f′(x)<0，函数f(x)单调递减，y＝xf(x)＝，y′＝＝>0在x∈(1,2)上恒成立，∴y＝xf(x)在(1,2)上单调递增，故B正确；对于C，若f(x)＝在(m，＋∞)上单调递减，由f′(x)＝＝0，得x＝e，∴m≥e，y＝xf(x)＝lnx在(m，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，f(x)＝cosx＋kx2在上单调递减，f′(x)＝－sinx＋2kx≤0在x∈上恒成立⇒2k≤min，8 令h(x)＝，h′(x)＝，令φ(x)＝xcosx－sinx，φ′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx<0，x∈，∴φ(x)在上单调递减，φ(x)<φ(0)＝0，∴h′(x)<0，∴h(x)在上单调递减，h(x)>h＝，∴2k≤⇒k≤，令g(x)＝xf(x)＝xcosx＋kx3，则g(x)在上单调递增，g′(x)＝cosx－xsinx＋3kx2≥0在x∈上恒成立，∴3k≥max，令F(x)＝，F′(x)＝>0，x∈，∴F(x)在上单调递增，F(x)<F＝，∴3k≥⇒k≥，综上，≤k≤，故D正确．三、填空题13．(2023·十堰模拟)曲线y＝lnx＋x2在x＝1处的切线方程为________．答案　3x－y－2＝0解析　因为y′＝＋2x，当x＝1时，y＝1，切线斜率k＝y′|x＝1＝3，所以曲线y＝lnx＋x2在x＝1处的切线方程为3x－y－2＝0.14．函数f(x)＝－3x－|lnx|＋3的最大值为________．答案　2－ln3解析　由题知当x≥1时，f(x)＝－3x－lnx＋3，∴f′(x)＝－3－<0，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝0；当0<x<1时，f(x)＝－3x＋lnx＋3，∴f′(x)＝－3＋＝，8 ∴当x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，∴f(x)max＝f ＝2－ln3，综上可知，f(x)max＝2－ln3.15．(2023·南京模拟)写出一个同时具有下列三条性质的三次函数f(x)＝________.①f(x)为奇函数；②f(x)存在3个不同的零点；③f(x)在(1，＋∞)上单调递增．答案　x3－3x(答案不唯一)解析　f(x)＝x3－3x，f(x)为奇函数，f(x)有三个零点0，±，f′(x)＝3x2－3，当x>1时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，①②③都满足，∴f(x)＝x3－3x满足题意．16．(2022·郑州质检)已知过点P(a,1)可以作曲线y＝lnx的两条切线，则实数a的取值范围是________．答案　(0，e)解析　设曲线y＝lnx与其切线交于A(x0，y0)，切线方程l：y＝kx＋b，y′＝，由导数与切线方程斜率关系可得k＝y′|＝，①又∵切线过点P(a,1)，∵要保证过点P(a,1)可以作曲线y＝lnx的两条切线，可得P(a,1)不能在曲线y＝lnx上，∴x0≠a，∴k＝，②∵点A在曲线y＝lnx上，故y0＝lnx0，③由①②③式可得＝⇒＝，∴x0(lnx0－1)＝x0－a，解得a＝2x0－x0·lnx0，令f(x)＝2x－x·lnx，则f′(x)＝2－x·－lnx＝1－lnx，令f′(x)＝0，故1－lnx＝0，∴x＝e，当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，即f(x)在x＝e处取得最大值，故f(x)max＝f(e)＝2e－e·lne＝e，8 作出f(x)的草图如图所示，由图可知a仅在(0，e)范围内有2个对应的x值，即a∈(0，e)时，有2个解，此时存在2条切线方程，综上所述，a的取值范围为(0，e)．8