2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.10　函数的图象

§2.10　函数的图象考试要求　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．知识梳理1．利用描点法作函数图象的方法步骤：列表、描点、连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)y＝－f(x)．②y＝f(x)y＝f(－x)．③y＝f(x)y＝－f(－x)．④y＝ax(a>0，且a≠1)y＝logax(a>0，且a≠1)．(3)翻折变换①y＝f(x)y＝|f(x)|.②y＝f(x)y＝f(|x|)．常用结论1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．2.函数图象自身的对称关系(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．15 3．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝|f(x)|为偶函数．(　×　)(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(　×　)(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　×　)(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　×　)教材改编题1．函数y＝1－的图象是(　　)答案　B解析　将函数y＝－的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得到y＝1－的图象，故选B.2．函数f(x)＝ln(x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(　　)A．0B．1C．2D．3答案　C解析　由于函数f(x)＝ln(x＋1)的图象是由函数y＝lnx的图象向左平移1个单位长度得到的，函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函数g(x)的对称轴为x＝2，顶点坐标为(2,0)，开口向上，所以作出f(x)，g(x)的图象如图所示，15 故函数f(x)与g(x)的图象有两个交点．3．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.答案　e－x＋1解析　∵f(x)＝e－x，∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1.题型一　作函数图象例1　作出下列各函数的图象：(1)y＝|log2(x＋1)|；(2)y＝；(3)y＝x2－2|x|－1.解　(1)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图①所示．(2)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图②所示．(3)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，最后得函数图象如图③所示．思维升华　函数图象的常见画法及注意事项(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图．(2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画．(3)15 图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图．(4)画函数的图象一定要注意定义域．跟踪训练1　作出下列各函数的图象：(1)y＝x－|x－1|；(2)y＝|x|；(3)y＝|log2x－1|.解　(1)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y＝可见其图象是由两条射线组成，如图①所示．(2)作出y＝x的图象，保留y＝x的图象中x≥0的部分，加上y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图②实线部分所示．(3)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图③所示．题型二　函数图象的识别例2　(1)(2023·许昌质检)函数f(x)＝y＝的图象大致为(　　)答案　B解析　由解析式知，定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝·ln|－x|＝·ln|x|＝f(x)，故y＝为偶函数，排除D；15 又f(1)＝0，f ＝－<0，排除A，C.(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是(　　)A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝答案　A解析　对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝sin3＞0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0＜x＜时，0＜cosx＜1，故y＝＜≤1，与图象不符，所以排除C.故选A.思维升华　识别函数的图象的主要方法(1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断．(2)利用函数的零点、极值点等判断．(3)利用特殊函数值判断．跟踪训练2　(1)(2022·吕梁模拟)函数f(x)＝的大致图象为(　　)答案　A解析　因为f(x)＝，所以f(x)的定义域为R，又f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除C选项；15 因为<1<，所以0<f(1)＝＝sin1<，排除B，D选项．(2)(2023·泉州模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的图象大致为(　　)答案　B解析　函数f(x)＝所以y＝g(x)＝f(1－x)＝所以当x＝0时，g(0)＝e0－1＝0，故选项A，C错误；当x≥0时，g(x)＝e－x－1单调递减，故选项D错误，选项B正确．题型三　函数图象的应用命题点1　利用图象研究函数的性质例3　(多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)A．函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称B．函数f(x)在(－∞，1)上单调递减C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称答案　AB解析　因为f(x)＝＝＝＋2，所以该函数图象可以由y＝的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称，在(－∞，1)上单调递减，A，B正确，D错误；易知函数f(x)的图象是由y＝的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误．命题点2　利用图象解不等式例4　(2023·商丘模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　)15 A．(－，0)∪(，2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞)答案　C解析　根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示，由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0，则或解得x<－2或<x<2或－<x<0，故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)．命题点3　利用图象求参数的取值范围例5　已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是(　　)A．(0,1)B．[0,1)C．(1,3)∪{0}D．[1,3)∪{0}答案　D解析　因为关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，所以函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，作出函数图象，如图所示，所以当m∈[1,3)∪{0}时，函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，所以实数m的取值范围是[1,3)∪{0}．思维升华　当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．15 跟踪训练3　(1)把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值为(　　)A．1B．2C．3D．4答案　B解析　把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)＝ln|x＋2－a|的图象，则函数g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增，又因为所得函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a－2≤0，即a≤2.所以a的最大值为2.(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．答案　解析　先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时，斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围为.课时精练1．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象(　　)A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度答案　A解析　将函数y＝2x的图象向右平移3个单位长度得到y＝2x－3的图象，再向下平移1个单位长度得到y＝2x－3－1的图象．15 2．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cosx在区间上的图象大致为(　　)答案　A解析　方法一　(特值法)取x＝1，则y＝cos1＝cos1>0；取x＝－1，则y＝cos(－1)＝－cos1<0.结合选项知选A.方法二　令y＝f(x)，则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cosx＝－f(x)，所以函数y＝(3x－3－x)cosx是奇函数，排除B，D；取x＝1，则y＝cos1＝cos1>0，排除C，故选A.3．(2023·黑龙江模拟)已知某个函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是(　　)A．f(x)＝B．f(x)＝C．f(x)＝D．f(x)＝答案　A15 解析　对于B选项，函数f(x)＝有意义，则解得x≠0且x≠1且x≠2，故不满足，错误；对于C选项，函数f(x)＝有意义，则|x|－1≠0，解得x≠±1，故不满足，错误；对于D选项，当x∈(0,1)时，f(x)＝>0，故不满足，错误．故根据排除法得f(x)＝与此图象最为符合．4．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　)答案　C解析　要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先作出y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象y＝－f(x)，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．5.已知f(x)是定义在[－5,5]上的偶函数，当－5≤x≤0时，f(x)的图象如图所示，则不等式<0的解集为(　　)A．(－π，－2)∪(0,2)∪(π，5]B．(－π，－2)∪(π，5]C．[－5，－2)∪(0，π)∪(π，5]D．[－5，－2)∪(π，5]答案　A15 解析　因为f(x)是定义在[－5,5]上的偶函数，观察图象结合偶函数性质得f(x)>0的解集为[－5，－2)∪(2,5]，f(x)<0的解集为(－2,2)，当x∈[－5,5]时，sinx>0的解集为[－5，－π)∪(0，π)，sinx<0的解集为(－π，0)∪(π，5]，不等式<0等价于或由解得x∈(－π，－2)∪(π，5]，由解得x∈(0,2)，所以不等式<0的解集为(－π，－2)∪(0,2)∪(π，5]．6．(多选)已知函数f(x)＝方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)，则下列判断正确的是(　　)A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称B．函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增C．当m∈(1,2)时，方程有3个不同的实数根D．当m∈(－1,0)时，方程有4个不同的实数根答案　BD解析　对于选项A，f(4)＝4，f(－1)＝1－e，显然函数f(x)的图象不关于直线x＝对称；对于选项B，f(x)＝x2－3x的图象是开口向上的抛物线，所以函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增；作出函数y＝|f(x)－1|的图象，如图所示，对于选项C，当m∈(1,2)时，2－m∈(0,1)，结合图象可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有2个不同的实数根；对于选项D，当m∈(－1,0)时，2－m∈(2,3)，结合图象可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有4个不同的实数根．7．将函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)为奇函数，则f(0)＋f(2)＝________.答案　－2解析　由函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，可得g(x)＝f(x＋1)＋1，15 故f(x)＝g(x－1)－1，所以f(0)＋f(2)＝g(－1)－1＋g(1)－1＝－g(1)＋g(1)－2＝－2.8．(2023·衡水质检)函数f(x)＝的图象与直线y＝kx＋1交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝________.答案　2解析　因为f(x)＝＝＋1，所以f(x)的图象关于点(0,1)对称，而直线y＝kx＋1过(0,1)点，故两图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)关于点(0,1)对称，所以＝1，即y1＋y2＝2.9．已知函数f(x)＝(1)画出函数f(x)的图象；(2)当f(x)≥2时，求实数x的取值范围．解　(1)由题得f(x)＝其图象如图所示，(2)由题可得或解得x≤－或0<x≤，所以实数x的取值范围为(－∞，－]∪.10．已知f(x)＝是定义在R上的奇函数．(1)请画出f(x)的大致图象并在图象上标注零点；(2)已知a>1，若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围；(3)若函数φ(x)＝f(x)－ex，求φ(x)的零点个数．解　(1)根据题意，列表如下，x－2－1012f(x)0－1010f(x)的大致图象如图所示，其中有A，O，B三个零点，15 (2)由(1)的函数图象可知，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，则－1<a－2≤1，即1<a≤3，故a的取值范围为1<a≤3.(3)φ(x)＝f(x)－ex的零点即为f(x)与y＝ex图象交点的横坐标，又y＝ex在R上单调递增，值域为(0，＋∞)，结合(1)的图象，易知f(x)与y＝ex的图象在(－∞，0)有一个交点，即φ(x)只有一个零点．11．(多选)函数f(x)＝的图象如图所示，则(　　)A．a>0B．b<0C．c>0D．abc<0答案　AB解析　函数的定义域为{x|x≠－c}，由图可知－c>0，则c<0，由图可知f(0)＝<0，所以b<0，由f(x)＝0，得ax＋b＝0，x＝－，由图可知－>0，得<0，所以a>0，综上，a>0，b<0，c<0.12．(2023·济南模拟)若平面直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)的图象上；(2)点A，B关于原点对称，则对称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个答案　B解析　作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数15 y＝(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个．13．(2023·贵阳模拟)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案　B解析　∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)，f(x＋1)＝2f(x)，∴当x∈(1,2]时，f(x)＝2f(x－1)，即f(x)向右平移1个单位长度，纵坐标变为原来的2倍．当x∈(2,3]时，f(x)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)，如图所示，令4(x－2)(x－3)＝－，解得x1＝，x2＝，∴要使对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m≤，∴m∈.14．(多选)(2023·滨州模拟)在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是(　　)15 A．函数y＝f(x)是奇函数B．对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)C．函数y＝f(x)的值域为[0,2]D．函数y＝f(x)在区间[6,8]上单调递增答案　BCD解析　由题意得，当－4≤x<－2时，点B的轨迹是以(－2,0)为圆心，2为半径的圆；当－2≤x<2时，点B的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆；当2≤x<4时，点B的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，如图所示．此后依次重复，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由图象可知，函数f(x)为偶函数，故A错误；因为f(x)以8为周期，所以f(x＋8)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；由图象可知，f(x)的值域为[0,2]，故C正确；由图象可知，f(x)在[－2,0]上单调递增，因为f(x)以8为周期，所以f(x)在[6,8]上的图象和在[－2,0]上的图象相同，即单调递增，故D正确．15