福建省三明市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题（解析版）

三明市2023-2024学年第二学期普通高中期末质量检测高二数学试题（满分：150分考试时间：120分钟）本试卷共6页.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.Ax=−<<{∣3xB2},=−−{2,1,0,1,2}1.设集合，则AB=（）A.{xx∣−<<21}B.{xx∣−≤≤11}C.{−−2,1,0,1}D.{−−−3,2,1,1}【答案】C【解析】【分析】由交集运算求解即可.【详解】因为Ax=−<<{∣3xB2},=−−{2,1,0,1,2}，所以AB={−−2,1,0,1}.故选：C2.下列函数既是奇函数又在(0,1)上单调递增的是（）2xA.yxxB.y=23C.yx=sinπD.yxx=+3【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数的性质，并结合奇函数的定义，即可判断选项.2x【详解】根据二次函数和指数函数的性质可知，yxx和y=2不是奇函数，故AB错误；第1页/共18页 yx=sinπ的定义域为R，且满足sinπ(−=−xx)sinπ，所以函数yx=sinπ是奇函数，当x∈(0,1)时，πx∈(0,π)，所以函数yx=sinπ在(0,1)先增后减，故C错误；3yxx=+3的定义域为R，且满足fx(−=−)fx()，所以函数是奇函数，33并且yx=是增函数，yx=3也是增函数，所以yxx=+3在(0,1)单调递增，故D正确.故选：D3.已知a，b，c∈R，使ab<成立的一个充分而不必要条件是（）A.2222ac<bcB.ab<1133C.<D.ab<ab【答案】A【解析】【分析】根据不等性质直接判断各选项.【详解】A选项：若22222ac<bc，c>0可得ab<，即ac<bc是ab<的充分条件，若ab<，当222222c0时，ac=bc，所以ac<bc不是ab<的必要条件，即ac<bc是ab<的充分不必要条件，A选项正确；B选项：若2222ab<，则ab<，无法判断a与b的大小关系，即ab<不是ab<的充分条件，B选项错误；1111C选项：当ab同号时，若<，可得ba<，所以<不是ab<的充分条件，C选项错误；ababD选项：若333333ab<，则ab<，若ab<，则ab<，即ab<是ab<充要条件，D选项错误；故选：A.4.2023年入冬以来流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第xx(=1,2,3,4,5)天的数据如表所示.x12345y2110a15a95109根据表中数据可知xy,具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为yxˆ=20+10，则以下说法错误的是（）第2页/共18页 A.该样本相关系数在(0,1]内B.当x=3时，残差为−5C.点(2,10a)在经验回归直线上D.第6天到该医院的流感就诊人数预测值为130【答案】B【解析】【分析】由题意，x，y具有较强的正相关关系，可判断相关系数的范围，即可判断A；计算x，y的平均值，代入回归直线方程求出a的值，即可求出x=3时的预测值，求得残差，即可判断B；看(2,10a)是否满足回归直线方程，即可判断C；将x=6代入回归直线方程，求出预测值，即可判断D.【详解】由题意可知x，y具有较强的正相关关系，故样本相关系数在(0,1]内，故A正确；12345++++2110++++aa1595109根据题意得xy==3,==455+a，55故455+=×+a20310，解得a=5，故当x=3时，yˆ=×+=2031070，残差为10a−=×−=7010570−20，故B错误；点(2,10a)即点(2,50)，当x=2时，yˆ=×+=2021050，即点(2,10a)在经验回归直线上，故C正确；当x=6时，yˆ=×+=20610130，即第6天到该医院就诊人数的预测值为130，故D正确,故选：B.5.现实世界中的很多随机变量服从正态分布，例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服21从正态分布.若某物理量做n次测量，测量结果的误差XN∼0,，要控制X≥的概率不大于n20.0027，至少要测量的次数为（）（参考数据：PX(µσ−≤≤+=3µσ3)0.9973)A.288B.188C.72D.12【答案】C【解析】11【分析】根据题意得PX≥≤0.0027，可得PX<>−10.0027=0.9973，然后根据正态分布22第3页/共18页 的概率求法可求得结果.22【详解】因为XN∼0,，所以µσ=0，=，nn11根据题意得PX≥≤0.0027，则PX<>−10.0027=0.9973，2211即PX−<<>0.9973，22因为µ=0，所以PX(−3σσ≤≤+3)=0.9973，121所以3σ≤，所以≤，解得n≥72，2n6所以至少要测量的次数为72次，故选：C6.某中学新开设文学社､街舞社､话剧社､天文社和棋社等五个社团，甲同学准备和另外3名同学一同去参加这五个社团中的某一社团，则甲同学参加文学社且4人中恰有两人参加同一社团的概率为（）7210810872A.B.C.D.125125625625【答案】D【解析】【分析】求出甲同学和另外3名同学一同去参加这五个社团中的某一社团所有情况，再求出只有甲同学参加文学社、甲同学和另外1位参加文学社情况，根据古典概型概率公式计算可得答案.4【详解】甲同学和另外3名同学一同去参加这五个社团中的某一社团共有5=625种情况，22若只有甲同学参加文学社，则另外3人中有2人参加同一社团的情况有CA34=36种，若甲同学和另外1位参加文学社，12则另外2人参加其它社团中的2个的情况有CA34=36种，所以甲同学参加文学社且4人中恰有两人参加同一社团的情况有3636+=72种，72则甲同学参加文学社且4人中恰有两人参加同一社团的概率为.625故选：D.337.已知实数a>0，b>0，且满足()()()22a−+−≥1b223−−ab恒成立，则ab+的最小值为第4页/共18页 （）97A.B.C.5D.222【答案】A【解析】3【分析】构造函数fxx()=+2x，根据函数的单调性与奇偶性可得ab−≥−12，即ab+≥3，再根据基本不等式可得最值.33【详解】由(a−+−≥−−=−−+−1)(b2)23(ab)2(a1)(b3)，33则(a−+−+−+−≥121)(ab)(2220)(b)，3设fxx()=+2x，易知函数fx()在R上单调递增，且333fx(−=−+−=−−=−+=−)(x)222(x)xx(xx)fx()，则函数fx()为奇函数，则原不等式即为fa(−+1)fb(−≥20)，即fa(−≥−1)fb(−22)=f(−b)，所以ab−≥−12，即ab+≥3，2a22++bab(ab+)2229所以ab+≥=≥，222ab=3当且仅当，即ab==时等号成立，ab+=32故选：A.2xx8.已知函数fx()=+−−e(a1e)x有两个零点，则实数a的取值范围是（）A.(−∞,0)B.(−∞,2)C.(−∞,1)D.(−∞−,1)【答案】A【解析】2x2xxe−x【分析】函数fx()有两个零点，等价于e+−(ax1e)−=0有两个根，即1−=a有两个根，xe转化为两个函数图象有两个交点，结合导数画出图象草图，即可得解.2xx2xx【详解】函数fx()=+−−e(a1e)x有两个零点,等价于e+−(ax1e)−=0有两个根，即第5页/共18页 2xe−x1−=a有两个根，xee2x−x(2e22xxxx−−−1e)(ex)ee12x+−x令hx()=x，hx′()=2xx=，eee2x2x令gx()=+−e1x，gx′()=2e+>10，所以gx()在R上单调递增；0又g(0e010)=+−=，所以当x<0时，gx()<0，即hx′()<0，当x>0时，gx()>0，即hx′()>0，所以hx()在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，0e0−当x=0时，hx()取得最小值为h(01)==，0e当x→−∞时hx()→+∞，当x→+∞时hx()→+∞，2xe−x要想1−=a有两个根，只需要11−>a，即a<0xe故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知a是方程ex40+−=x的实根，则下列各数为正数的是（）A.2aaa−2B.e2−C.lnaD.23aa−【答案】BC【解析】x【分析】根据a是方程e+−=x40的实根可得12<<a，计算判断各个选项.第6页/共18页 xx【详解】因为a是方程e+−=x40的实根，令fx()e=+−x4，当x=1时，f(1)=+−<e140，当2x=2时，f(2)=+−>e240，可得12<<a2对于A，因为12<<a，所以−<−<1a20，则a−=−<2aaa(2)0，A错误；对于B，因为12<<a，所以a2aeee<<，则e20−>，B正确；对于C，.因为12<<a，所以lna>0，C正确；232对于D，因为12<<a，所以−<−<11a0，则aa−=a(1−a)<0，D错误；故选：BC.52345610.已知(2−−=++++++x)(12)xaaxax0123456axaxaxax，则（）A.a的值为20B.a的值为−805C.aaa++的值为−3651355D.当x=−10时，(2−−xx)(12)除以11的余数为10【答案】ACD【解析】【分析】对于AC：利用赋值法分析求解；对于B：根据二项展开式的通项公式分析求解；对于D：整理可55得(2−−=−xx)(12)12221()，结合二项展开式分析求解.523456【详解】因为(2−−=++++++x)(12)xaaxax0123456axaxaxax，对于选项A：令x=0，则a0=×=212；5rr对于选项B：因为(12)−x的通项为T=C(−2xr),=0,1,⋅⋅⋅,5，r+1555445可知含x项为2T65−xT=×−2(2x)−⋅xC5(−2x)=−144x，所以a5的值为−144，故B错误；对于选项C：令x=1，则aaaaaaa0123456++++++=−1；令x=1−，则aaaaaaa0123456−+−+−+=729；−−1729所以aaa++==−365，故C正确；1352第7页/共18页 555对于选项D：令x=−10，则(2−−=×=xx)(12)122112221(−)，5505144因为(221−)=C22⋅+C22⋅⋅−+⋅⋅⋅+(1)C22⋅+−(1)，55555可知(221−)除以11的余数为(−=11)−，5则12221(−)除以11的余数为−12，且−12除以11的余数为10，5所以当x=−10时，(2−−xx)(12)除以11的余数为10，故D正确；故选：ACD.211.已知a>>0,b0,2ab+=1，则下列选项一定正确的是（）2ab−1A.ba≤B.3>8363C.ab+≤D.ab≤29【答案】BCD【解析】【分析】由基本不等式判断A；由221ab+=结合二次函数的单调性、指数函数的单调性判断B；构造函数，利用导数判断CD.21【详解】对于A：2ab+≥2222ab=22ba（当且仅当2ab==时，取等号），212即ba≤=，故A错误；224211−b2211对于B：ab−=−=−b(bb+−=−21)(b+−∈−1)21,，2222ab−−11则33>=，故B正确；31对于C：ab+=+−a12,aa∈0,，构造函数ga()=+−a12a，21112−−aa4ga′()=−=，2aaaa12−2⋅−1211当ga′()0>时，a∈0,，即函数ga()在0,上单调递增，66第8页/共18页 1111当ga′()0<时，a∈,，即函数ga()在,上单调递减，626211166则ga()≤g()=+−=1，即ab+≤，故C正确；6632211212对于D：ab==(2ab)(1−∈bbb),(0,1)，构造函数fb()=(1−bb)，22212fb′()=(13−b)，233fb′()00>⇒<<b，即函数fb()在0,上单调递增；3333fb′()0<⇒<<b1，即函数fb()在,1上单调递减；33311333即fb()≤f=×−×=1，则ab≤，故D正确；323399故选：BCD【点睛】关键点睛：解决CD选项时，关键在于将双变量变为单变量，利用导数得出其单调性，进而证明不等式.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一项活动有7个名额需要分配给3个单位，每个单位至少一个名额且各单位名额个数互不相同的分配方法种数是__________.（用数字表示）【答案】6【解析】【分析】先确定分配方式为1，2，4，再排列即可.【详解】解：因为每个单位至少一个名额且各单位名额个数互不相同，所以7个名额需要分配给3个单位的分配方式为：1，2，4，3所以7个名额需要分配给3个单位的分配方法种数是A63=种，故答案为：613.已知fx()是定义域为R的函数，fx(−1)的图象关于点(1,0)对称，且fx(−=13)fx(+)，当2x∈−(2,0)时，fx()=2x，则f(2025)=__________.第9页/共18页 【答案】−2【解析】【分析】由平移变换确定函数fx()为奇函数，进而结合周期求出f(2025).【详解】因为fx(−1)的图象关于点(1,0)对称，所以fx()的图象关于点(0,0)对称，即函数fx()为奇函数，fx((+−=11))fx((++13))，即fxfx()=(+4)，所以函数fx()的周期为4，f(2025)=f(50641)×+=ff(1)=−−=−(1)2.故答案为：−2001122n−−1n1nn14.根据超几何分布概念及分布列性质计算CC+++CCCC+CC+=CC__________.nnnnnnnnnn（用组合数表示）n【答案】C2n【解析】【分析】举实例，利用超几何分布概率公式以及概率之和等于1、组合数的性质求解即可.【详解】可将问题转化为：从n个黄球，n个白球中随机抽取n个球，X表示抽到黄球的个数，kk4−CCnnXn=0,1,2,3,,，则PXk(=)=(k=0,1,2,3,,)n，nC2n0nnn1122−−nn−110CCCCCCCCCCnnnnnnnnnn则+++++=1，nnnnnCCCCC222nnn22nn0nnn1122−−nnn−110即CC+++CCCC++=CCCCC，nnnnnnnnnn2n001122n−−1n1nnn由组合数的性质可得，CC+++CCCC+CC+=CCC.nnnnnnnnnn2nn故答案为：C2n四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有5件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件.（1）求取出的零件是次品的概率；（2）已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率.第10页/共18页 9【答案】（1）404（2）9【解析】【分析】（1）根据全概率公式即可得解；（2）根据条件概率公式可得解.【小问1详解】设事件Ai=“从第i箱中取一个零件”(i=1,2)，事件B=“取出的零件是次品”，则Ω=AA12∪，且AA12,互斥，11则PA()=，PA()=，122225所以PBA()=，PBA()=，121020所以PBPABPAB()=(12)+()=⋅+⋅PAPBA(112)()PAPBA()(2)12159=×+×=，210220409所以取出的零件是次品的概率为；40【小问2详解】取出的是次品是从第一箱取出的概率21×PAB(1)PBAPA(11)()1024PAB(1)====，PB()PB()99404所以已知取出的是次品，则它是从第一箱取出的概率为.916.某新能源汽车企业开展市场前景调研，对即将换车的男､女性燃油车主购买新能源车意愿进行问卷调查，随机抽取了100份有效问卷，统计数据如下表：购买意愿性别合计有愿意无愿意男性221840第11页/共18页 女性481260合计7030100（1）试依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为购买意愿与性别有关联？（2）企业随机致电8位无愿意购买新能源车的车主（其中3名男性，5名女性），邀请其参加新能源车免费试驾，已知有一半的车主同意受邀参加试驾活动，设试驾活动中女性人数为X，求X的分布列及数学期望.22nad()−bc附:χ=,.nabcd=+++(abcdacbd++++)()()()2下表给出了χ独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.α0.10.050.010.0050.001χ2.7063.8416.6357.87910.828α【答案】（1）购买意愿与性别有关联5（2）分布列见解析，2【解析】2【分析】（1）根据公式和列联表求出χ并与表格的χα值对比即可判断；（2）根据X服从超几何分布求出其分布列，根据超几何分布的数学期望公式或数学期望的定义即可计算数学期望.【小问1详解】零假设为H0：购买意愿与性别无关联，根据列联表的数据可得，22100(48182212)×−×50χ==≈>=7.1436.635χ0.0160407030×××7依据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，认为购买意愿与性别有关联，此推断犯错的概率不大于0.01.【小问2详解】第12页/共18页 X的可能取值为1,2,3,4，1322CC13CC5353PX(=1)==,(PX=2)==,44C14C7883140CC31CC5353PX(=3)==,(PX=4)==44C7C1488所以X的分布列为：X12341331P14771413315所以EX()=×+×+×+×=1234.147714255或根据超几何分布的数学期望有EX()=×=4.82mx17.已知函数fx()=−+∈exm1,R.（1）当m=1时，求函数yfx=()的图象在点(1,f(1))处的切线方程；（2）若函数fx()的最小值是1，求m的值.【答案】（1）yx=−+(e11)1（2）m=.e【解析】【分析】（1）利用导数求出切线斜率，再求切点坐标，利用直线点斜式方程即可求解；（2）利用导数求出函数的极值，根据题意，极小值即为最小值，建立方程得解.【小问1详解】当m=1时，f(1e)=.xfx′()=e1−，f′(1e1)=−，即切线斜率k=−e1.所以切线方程为yx−=−ee1()(−1)，即yx=−+(e11)【小问2详解】mx函数fx()的定义域为R,fxm′()=e−1.第13页/共18页 当m≤0时，fx′()<0.所以fx()在R上单调递减，无最小值.lnmlnm当m>0时，令fx′()<0，得x<−；令fx′()>0，得x>−.mmlnmlnm所以fx()在−−∞,单调递减，在−+,∞单调递增，mmlnmm−lnmln所以fx()最小值为f−=e++=11.mm1lnm1所以+=0，即m=.mme1综上所述m=.e*18.若对定义域内任意x，都有fx(+>ϕϕ)fx(),∈N，则称函数fx()为“ϕ距”增函数.x（1）已知fx()=2−log1x，判断fx()是否为“1距”增函数，并说明理由；23（2）已知hxx()=−2x是“ϕ距”增函数，求ϕ的最小值；2xkx+（3）已知gx()=e,k∈R,x∈−+(1,∞)是“2距”增函数，求gx()的最小值.【答案】（1）fx()是“1距”增函数，理由见解析（2）3（3）答案见解析【解析】x+1xx1【分析】（1）由fx(+−1)fx()=−2log1(x+−+1)2log12x=2+log1+，因为22xx12>0,log21+>0，所以fx(+−10)fx()>，可得函数fx()是“1距”增函数.x223（2）由hx(+−ϕ)hx()>0恒成立，可得hx(+−ϕ)hx()=33ϕϕϕϕx++−>x20恒成立，则由22*Δ=(3)ϕϕ−12(−<2)0，得ϕ<−22或ϕ>22，又ϕ∈N，所以ϕmin=3.（3）由已知，讨论当x≥0时，−<<10x时，gx(+>2)gx()恒成立的条件，得到k>−2，所以2xkx+gx()=e,x∈−+∞(1,),k>−2，讨论得当k≥0时，gx()min=1；当−<<20k时，2k−.gx()=e4min第14页/共18页 【小问1详解】函数fx()是“1距”增函数.理由如下：x因为fx()=2−log1x，所以x∈(0，+∞)，2xx+1由fx(+−1)fx()=−2log11(x+−+1)2logx22xx+1x=−+(22)log1x+12xxx+11=2+log=2++log122xxx1因为2>0,log21+>0，x所以fx(+−10)fx()>，即fx(+>1)fx()恒成立，所以fx()是“1距”增函数.【小问2详解】3因为hxx()=−2x是“ϕ距”增函数，所以hx(+−ϕ)hx()>0恒成立，33所以hx(+−ϕ)hx()=+−+−+()2xϕϕ(x)x2x32233=+xxx33ϕϕϕ++−−−+22xϕxx2223=33ϕϕϕϕxx++−>20恒成立，22即33xx+ϕϕ+−>20恒成立，22由Δ=(3)ϕϕ−12(−<2)0，解得ϕ<−22或ϕ>22，*因为ϕ∈N，所以ϕmin=3.【小问3详解】2xkx+由gx()=e,x∈−+(1,∞)，因为函数gx()是“2距”增的数，所以当x>−1时，gx(+>2)gx()恒成立，第15页/共18页 x22又因为y=e为增函数，所以(x+++>+2)kx(2)xkx，22当x≥0时，(x+++>+2)kx(2)xkx，即4420xk++>恒成立，所以420+>k，解得k>−2；22当−<<10x时，(x+++>−2)kx(2)xkx，即44220x+++>kxk恒成立，所以(xk++>120)()，解得k>−2，综上可得，k>−2，2xkx+所以gx()=e,x∈−+∞(1,),k>−2，2t+kt令tx=≥0，则ϕ(t)=e，k①当−≤0时，即k≥0时，当t=0时，gx()min=1;22kkk−>时，即−<<20k时，当t=−时，−②当0gx()=e4，22min2kgx()=1；当−<<20k时，−.综上可得，当k≥0时，mingx()=e4min【点睛】关键点点睛：（1）令ϕ=1，验证满足定义；（2）由hx(+−ϕ)hx()>0恒成立，可得22*x33xx+ϕϕ+−>20恒成立，则由Δ<0，解出ϕ的范围，由ϕ∈N，取ϕ的最小值；（3）因为y=e为增函数，讨论gx(+>2)gx()恒成立的条件，求出k的范围，再利用换元法，讨论出gx()的最小值.119.已知函数fx()=−+xaxaln(∈R)在定义域上不单调.x（1）求a的取值范围；2（2）若函数fx()存在两个极值点，且极大值点为x1，最大的零点为x2，求证：xxx121<<.【答案】（1）(2,+∞)（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，结合韦达定理分类讨论进行求解；（2）根据题意结合（1）中结论，利用零点存在定理得出最大零点的大致区域，构建12hx()=−+x2ln(xx>1)，利用单调性分析可得xxxx2>>11,1，即可得结果.x【小问1详解】第16页/共18页 2−11ax−+ax由题意可知：fx()的定义域为(0,+∞)，且fx′()=−+=−1，22xxx当a≤0或2Δ=−≤a40，即a≤2时，fx′()≤0恒成立，此时fx()在(0,+∞)单调递减，不合题意；当a>2时，fx′()=0在(0,+∞)有两个不等实根，由韦达定理知，两根之积为1214aa−−2aa+−4较大根为x=>1，则较小根为01<=<，12x1211此时fx()在0,，(x1+∞)单调递减，在,x1单调递增，xx11此时函数fx()不单调，有两个极值点；故所求实数a的取值范围是(2,+∞).【小问2详解】xx令Fx()=−>e,0xx，则Fx′()=−>e10，x可知Fx()在(0,+∞)内单调递增，则FxF()>=(010)>，可得e,0>>xx，xx令Gx()=−>ee,xx1，则Gx′()=−>ee0，x可知Gx()在(1,+∞)内单调递增，则GxG()>=(10)，可得e>>e,xx1，11由（1）可知，当a>2时，fx()在0,，(x1,+∞)单调递减，在,x1单调递增，xx11且fx(1)>=f(10)，aa+−241又因为afeaa=−+<−+ea221eaaa(>2)，e>>a，且()a2e2aaa令ga()=+−>1ae(a2)，则ga′()=−<−<2eee0aa，a所以函数ga()在(2,+∞)单调递减，故ga()<g25e0()=−<，a从而fx()在(xa1,e()>2)有唯一零点，即函数fx()的最大的零点为x2，所以xx21>>1，第17页/共18页 1由（1）可知，ax=+>12，x1221所以fx(1)=−+2x112lnaxx111111=−x1++x12+xx11ln=+x1−+xx12ln1.xxxxx111111令hx()=−+x2ln(xx>1)，x2212xx−+21(x−1)则hx′()=−−+=−10=−<，222xxxx所以hx()在(1,+∞)单调递减，2当x>1时，hxh()<=(10)，即fx(12)<=0fx()，2由（1）可知，fx()在(x1,+∞)上单调递减，且xxxx2>>11,1，22因此xx>，故xxx<<.12121【点睛】方法点睛：利用导数研究含参函数的极值时，往往要根据函数的单调性进行判定；函数的零点、不等式的证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理，注意分类讨论和数形结合思想的应用.第18页/共18页