2024年四川省自贡市中考数学试题【含答案、详细解析】
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2024年四川省自贡市中考数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.在0,,,四个数中,最大的数是( )A.B.0C.D.2.据统计,今年“五一”小长假期间,近70000人次游览了自贡中华彩灯大世界.70000用科学记数法表示为( )A.B.C.D.3.如图,以点A为圆心,适当的长为半径画弧,交两边于点M,N,再分别以M、N为圆心,的长为半径画弧,两弧交于点B,连接.若,则( ) A.B.C.D.4.下列几何体中,俯视图与主视图形状相同的是( )A.B.C.D.5.学校群文阅读活动中,某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3,5,7,4,5.这组数据的中位数和众数分别是( )A.3,4B.4,4C.4,5D.5,56.如图,在平面直角坐标系中,,将绕点O逆时针旋转到位置,则点B坐标为( ) 试卷第9页,共9页,A.B.C.D.7.我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中,运用弦图(如图所示)巧妙地证明了勾股定理.“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案.下列关于“赵爽弦图”说法正确的是( )A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.既是轴对称图形又是中心对称图形D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形8.关于x的一元二次方程的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根9.一次函数,二次函数,反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示,则n的取值范围是( )A.B.C.D.10.如图,在中,,,.A点P从点A出发、以的速度沿运动,同时点Q从点C出发,以的速度沿往复运动,当点P到达端点D时,点Q随之停止运动.在此运动过程中,线段出现的次数是( )A.3B.4C.5D.611.如图,等边钢架的立柱于点D,长.现将钢架立柱缩短成,.则新钢架减少用钢( )试卷第9页,共9页,A.B.C.D.12.如图,在矩形中,平分,将矩形沿直线折叠,使点A,B分别落在边上的点,处,,分别交于点G,H.若,,则的长为( )A.B.C.D.5二、填空题13.分解因式:.14.计算:.15.凸七边形的内角和是度.16.一次函数的值随的增大而增大,请写出一个满足条件的的值.17.龚扇是自贡“小三绝”之一.为弘扬民族传统文化,某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面,制作了一个龚扇模型(如图).扇形外侧两竹条夹角为.长,扇面的边长为,则扇面面积为(结果保留).18.九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地.地上两段围墙于点O(如图),其中上的段围墙空缺.同学们测得m,m,m,m,m.班长买来可切断的围栏m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是.试卷第9页,共9页,三、解答题19.计算:20.如图,在中,,.(1)求证:;(2)若,平分,请直接写出的形状.试卷第9页,共9页,21.为传承我国传统节日文化,端午节前夕,某校组织了包粽子活动.已知七(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子,甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同.求甲,乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.22.在中,,是的内切圆,切点分别为D,E,F.(1)图1中三组相等的线段分别是,________,________;若,,则半径长为________;(2)如图2,延长到点M,使,过点M作于点N.求证:是的切线.试卷第9页,共9页,23.某校为了解学生身体健康状况,从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中,随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理(如图1).并绘制出不完整的条形统计图(如图2).成绩频数百分比不及格3a及格b良好45c优秀32图1 学生体质健康统计表(1)图1中________,________,________;(2)请补全图2的条形统计图,并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数;(3)为听取测试建议,学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生,再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会.请用列表或画树状图的方法,计算所抽取的两人均为“良好”的概率.试卷第9页,共9页,24.如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于,两点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)P是直线上的一个动点,的面积为21,求点P坐标;(3)点Q在反比例函数位于第四象限的图象上,的面积为21,请直接写出Q点坐标.25.为测量水平操场上旗杆的高度,九(2)班各学习小组运用了多种测量方法. (1)如图1,小张在测量时发现,自己在操场上的影长恰好等于自己的身高试卷第9页,共9页,.此时,小组同学测得旗杆的影长为,据此可得旗杆高度为________m;(2)如图2,小李站在操场上E点处,前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶部A.小组同学测得小李的眼睛距地面高度,小李到镜面距离,镜面到旗杆的距离.求旗杆高度;(3)小王所在小组采用图3的方法测量,结果误差较大.在更新测量工具,优化测量方法后,测量精度明显提高,研学旅行时,他们利用自制工具,成功测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下: 如图4,在透明的塑料软管内注入适量的水,利用连通器原理,保持管内水面M,N两点始终处于同一水平线上.如图5,在支架上端P处,用细线系小重物Q,标高线始终垂直于水平地面.如图6,在江姐故里广场上E点处,同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D,G两点,并标记观测视线与标高线交点C,测得标高,.将观测点D后移到处,采用同样方法,测得,.求雕塑高度(结果精确到).26.如图,抛物线与x轴交于,两点,顶点为P.试卷第9页,共9页,(1)求抛物线的解析式及P点坐标;(2)抛物线交y轴于点C,经过点A,B,C的圆与y轴的另一个交点为D,求线段的长;(3)过点P的直线分别与抛物线、直线交于x轴下方的点M,N,直线交抛物线对称轴于点E,点P关于E的对称点为Q,轴于点H.请判断点H与直线的位置关系,并证明你的结论.试卷第9页,共9页,,参考答案:1.C【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法,正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可,解答此题的关键是要明确:正实数负实数,两个负实数绝对值大的反而小.【详解】解:根据实数比较大小的方法,可得:,∴在0,,,四个数中,最大的数是,故选:C.2.B【分析】本题考查科学记数法.科学记数法的一般形式为,其中,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时,n是正整数;当原数的绝对值小于1时,n是负整数.【详解】解:70000用科学记数法表示为,故选:B.3.A【分析】本题考查了菱形的判定和性质.证明四边形是菱形,即可求解.【详解】解:由作图知,∴四边形是菱形,∵,∴,故选:A.4.C【分析】本题考查了几何体的三视图,根据俯视图是从上面往下面看到的图形,主视图是从正面看到的图形,据此逐项分析,即可作答.【详解】解:A、的俯视图与主视图分别是带圆心的圆和三角形,故该选项是错误的;答案第21页,共21页,B、的俯视图与主视图分别是圆和长方形,故该选项是错误的;C、的俯视图与主视图都是正方形,故该选项是正确的;D、的俯视图与主视图分别是长方形和梯形,故该选项是错误的;故选:C.5.D【分析】本题考查中位数和众数.将所给数据从小到大排列,第三和第四个数据的平均数即为中位数,出现次数最多的即为众数.【详解】解:将这组数据从小到大排列:3,4,5,5,7.则这组数据的中位数为5,5出现次数最多,则众数为5,故选:D.6.A【分析】本题考查坐标与图形,三角形全等的判定和性质.由旋转的性质得到,推出,即可求解.【详解】解:∵,∴,,∵将绕点O逆时针旋转到,∴,∴,,∴点B坐标为,故选:A.7.B【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义;平面内,一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形,这个图形就叫做轴对称图形;在平面内,把一个图形绕着某个点旋转,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,即可作答.【详解】答案第21页,共21页,解:是中心对称图形,但不是轴对称图形故选:B8.A【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式,熟知一元二次方程中,当时,方程有两个不相等的实数根是解题的关键.根据一元二次方程根的判别式解答即可.【详解】解:△,方程有两个不相等的实数根.故选:A.9.C【分析】本题考查了反比例函数的图象,一次函数图象,二次函数的图象与系数的关系,根据题意列不等式组,解不等式组即可得到结论,正确地识别图形是解题的关键.【详解】解:根据题意得:,解得:,∴的取值范围是,故选:C.10.B【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质,一元一次方程的应用,全等三角形的判定与性质,分四种情况:当时,当时,当时,四边形为平行四边形;当时,四边形为等腰梯形,分别求解即可,掌握相关知识是解题的关键.【详解】解:在中,,,∴,,∵点P从点A出发、以的速度沿运动,答案第21页,共21页,∴点P从点A出发到达D点的时间为:,∵点Q从点C出发,以的速度沿往复运动,∴点Q从点C出发到B点的时间为:,∵,∴,当时,四边形为平行四边形,∴,当时,四边形为等腰梯形,∴,设同时运动的时间为,当时,,∴,此时,四边形为平行四边形,,如图:过点分别作的垂线,分别交于点,∴四边形是矩形,∴,,∵四边形是等腰梯形,∴,,∵,,∴,∵,∴,∴,在中,,,答案第21页,共21页,∴,∴,∴,∴,∴,此时是等腰梯形,,当时,,∴,此时,四边形为平行四边形,,当时,,∴,此时,四边形为平行四边形,,综上,当或或或时,,共4次,故选:B.11.D【分析】本题考查了等边三角形的性质,解直角三角形的应用.利用三角函数的定义分别求得,,,利用新钢架减少用钢,代入数据计算即可求解.【详解】解:∵等边,于点D,长,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴,,∴新钢架减少用钢答案第21页,共21页,,故选:D.12.A【分析】本题考查了折叠的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理.先证明,设,证明和,推出和,由,列式计算求得,在中,求得的长,据此求解即可.【详解】解:如图,交于点,∵矩形,∴,由折叠的性质得,,四边形和四边形都是矩形,∴,∴,∴,∵平分,,∴,∴,设,∵,,∴,,∵,∴,∴,即①,∵,∴,答案第21页,共21页,∴,即②,∵,由①②得,解得,则,在中,,∵,∴,即,故答案为:A.13.【分析】根据提取公因式法因式分解进行计算即可.【详解】解:,故答案为:.【点睛】此题考查了提公因式法因式分解,熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键.14.1【分析】本题考查了分式同分母的减法运算,分母不变,分子直接相减,即可作答.【详解】解:.故答案为:1.15.900【分析】本题主要考查了多边形内角和定理.应用多边形的内角和公式计算即可.【详解】解:七边形的内角和,故答案为:900.16.(答案不唯一)【分析】本题考查了一次函数的性质,根据一次函数)的值随的增大而增大,得出,写一个满足条件的的值即可,根据的正负性判断函数增减性是解题的关键.答案第21页,共21页,【详解】解:∵的值随x的增大而增大,∴,∴,∴的值可以为:,故答案为:(答案不唯一).17.【分析】根据扇形公式进行计算即可.本题考查了扇面面积计算,掌握扇面面积等于两个扇形面积相减是解题的关键.【详解】解:扇面面积扇形的面积扇形的面积,故答案为:.18.【分析】本题考查了二次函数的应用.要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地,那就必须尽量使用原来的围墙,观察图形,利用和才能使该矩形菜地面积最大,分情况,利用矩形的面积公式列出二次函数,利用二次函数的性质求解即可.【详解】解:要使该矩形菜地面积最大,则要利用和构成矩形,设矩形在射线上的一段长为,矩形菜地面积为,当时,如图,则在射线上的长为则,答案第21页,共21页,∵,∴当时,随的增大而增大,∴当时,的最大值为;当时,如图,则矩形菜园的总长为,则在射线上的长为则,∵,∴当时,随的增大而减少,∴当时,的值均小于;综上,矩形菜地的最大面积是;故答案为:.19.【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算,先化简正切值,再运算零次幂,绝对值,算术平方根,再运算加减,即可作答.【详解】解:.20.(1)见解析(2)是等腰直角三角形.【分析】本题考查了平行线的判定和性质,等腰直角三角形的判定.答案第21页,共21页,(1)由平行证明,由等量代换得到,利用平行线的判定“内错角相等,两直线平行”证明,即可证明;(2)利用平行线的性质结合角平分线的定义求得,,据此即可得到是等腰直角三角形.【详解】(1)证明:∵,∴,∵,∴,∴,∴;(2)解:是等腰直角三角形.∵,∴,∵平分,∴,∵,∴,∴,∴是等腰直角三角形.21.甲组平均每小时包100个粽子,乙组平均每小时包80个粽子.【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用.设乙组每小时包个粽子,则甲组每小时包个粽子,根据时间等于总工作量除以工作效率,即可得出关于的分式方程,解之并检验后即可得出结果.【详解】解:设乙组平均每小时包个粽子,则甲组平均每小时包个粽子,由题意得:,解得:,经检验:是分式方程的解,且符合题意,∴分式方程的解为:,∴答案第21页,共21页,答:甲组平均每小时包100个粽子,乙组平均每小时包80个粽子.22.(1);;1(2)见解析【分析】(1)根据切线长定理得到,,,代入求解即可得到答案;(2)证明,推出,,,求得,,根据,列式求得,根据切线的判定定理,即可得到是的切线.【详解】(1)解:连接,设半径为,∵是的内切圆,切点分别为D,E,F,∴,,;在四边形中,,四边形为矩形,又因为,四边形为正方形.则,则,,在中,由勾股定理得,∴,即,解得,故答案为:;;1;(2)证明:连接,,,作于点,答案第21页,共21页,设半径为,∵,∴,∵,,∴,∴,,,∵是的内切圆,切点分别为D,E,F,∴,∴,同理,∴,∴,∵,∴是的切线.【点睛】本题考查切线的判定,切线长定理,全等三角形的判定和性质,三角形的内切圆及勾股定理,正确引出辅助线解决问题是解题的关键.23.(1);20;(2)补全图见解析,估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人;(3)选取的2名学生均为“良好”的概率为.【分析】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了统计图.答案第21页,共21页,(1)用“优秀”等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量;再分别求得的值;(2)根据(1)的结果,可补全条形统计图,利用样本估计总体可求解;(3)用列表法表示12种等可能的结果数,再找出抽取的两人均为“良好”的结果数,然后根据概率公式求解.【详解】(1)解:样本容量为,则,,,故答案为:;20;;(2)解:补全条形统计图,如图:(人),估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人;(3)解:设3名“良好”分别用A、B、C表示,1名“优秀”用D表示,列表如下:ABCDA(B,A)(C,A)(D,A)B(A,B)(C,B)(D,B)C(A,C)(B,C)(D,C)D(A,D)(B,D)(C,D)由表格可知一共有12种等可能性的结果数,其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有种,答案第21页,共21页,∴选取的2名学生均为“良好”的概率为.24.(1),(2)点P坐标为或;(3)Q点坐标为或【分析】(1)先求出,再代入,得出,再运用待定系数法解一次函数的解析式,即可作答.(2)先得出直线与直线的交点的坐标,根据求不规则面积运用割补法列式化简得,解出,即可作答.(3)要进行分类讨论,当点在点的右边时和点在点的左边时,根据求不规则面积运用割补法列式,其中运用公式法解方程,注意计算问题,即可作答.【详解】(1)解:依题意把代入,得出解得把代入中,得出∴则把和分别代入得出解得∴;(2)解:记直线与直线的交点为答案第21页,共21页,∵∴当时,则∴∵P是直线上的一个动点,∴设点,∵的面积为21,∴即∴解得或∴点P坐标为或;(3)解:由(1)得出∵点Q在反比例函数位于第四象限的图象上,∴设点Q的坐标为如图:点在点的右边时答案第21页,共21页,∵的面积为21,和∴整理得解得(负值已舍去)经检验是原方程的解,∴Q点坐标为如图:点在点的左边时∵的面积为21,和∴整理得解得,符合题意,,不符合题意,则,故综上:Q点坐标为或.【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,几何综合,待定系数法求一次函数的解析式,割补法求面积,公式法解方程,正确掌握相关性质内容是解题的关键.25.(1)(2)旗杆高度为;答案第21页,共21页,(3)雕塑高度为.【分析】本题考查平行投影,相似三角形的应用.(1)根据同一时刻物高与影长对应成比例,进行求解即可;(2)根据镜面反射性质,可求出,得出,最后根据三角形相似的性质,即可求出答案;(3),由题意得:,,利用相似三角形的性质列出式子,计算即可求解.【详解】(1)解:由题意得,由题意得:,∴,故答案为:;(2)解:如图,由题意得,,根据镜面反射可知:,,,,,,即,,答:旗杆高度为;(3)解:设,由题意得:,,∴,,即,,答案第21页,共21页,∴,整理得,解得,经检验符合他∴,答:雕塑高度为.26.(1),(2)4(3)点H在直线上,见详解【分析】(1)待定系数法即可求解二次函数解析式,再进行配方即可求点P坐标;(2)先由与的正切值相等得到,继而可证明,再由垂径定理得到;(3)将点代入得直线表达式为,则,而点E为中点,则,可求,联立抛物线与直线表达式,得:,可求,可证明,得到,即可求解.【详解】(1)解:∵抛物线与x轴交于,两点,∴代入得:,解得:,∴抛物线解析式为,而,答案第21页,共21页,∴;(2)解:如图:当时,,∴点,∵,,∴,,∴,∵,∴,∴,∴是经过点A、B、C的的直径,∵,经过圆心,∴;(3)解:如图:将点代入,得,答案第21页,共21页,∴,把点N横坐标,代入得,∵轴,轴,∴,点G为中点,∴,∴点E为中点,∴,∵点P关于E的对称点为Q,∴,∴,联立抛物线与直线表达式,得:,整理得:,∴,解得:,即,∵,,∴,∴点N、Q、H三点共线,∴点H在直线上.【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合题,待定系数法求二次函数解析式,圆周角定理,垂径定理,平行线分线段成比例定理,三角函数,抛物线与直线的交点问题,熟练掌握知识点是解题的关键.答案第21页,共21页,答案第21页,共21页
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