2024年四川省自贡市中考数学试题【含答案、详细解析】

2024年四川省自贡市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在0，，，四个数中，最大的数是（    ）A．B．0C．D．2．据统计，今年“五一”小长假期间，近70000人次游览了自贡中华彩灯大世界．70000用科学记数法表示为（    ）A．B．C．D．3．如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（    ）  A．B．C．D．4．下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（    ）A．B．C．D．5．学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位数和众数分别是（    ）A．3，4B．4，4C．4，5D．5，56．如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（    ）  试卷第9页，共9页,A．B．C．D．7．我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（    ）A．是轴对称图形B．是中心对称图形C．既是轴对称图形又是中心对称图形D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形8．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根9．一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ）A．B．C．D．10．如图，在中，，，．A点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（    ）A．3B．4C．5D．611．如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（    ）试卷第9页，共9页,A．B．C．D．12．如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（    ）A．B．C．D．5二、填空题13．分解因式：．14．计算：．15．凸七边形的内角和是度．16．一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值．17．龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条夹角为．长，扇面的边长为，则扇面面积为（结果保留）．18．九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是．试卷第9页，共9页,三、解答题19．计算：20．如图，在中，，．(1)求证：；(2)若，平分，请直接写出的形状．试卷第9页，共9页,21．为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．22．在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F．(1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________；(2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N．求证：是的切线．试卷第9页，共9页,23．某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）．并绘制出不完整的条形统计图（如图2）．成绩频数百分比不及格3a及格b良好45c优秀32图1  学生体质健康统计表(1)图1中________，________，________；(2)请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；(3)为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．试卷第9页，共9页,24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)P是直线上的一个动点，的面积为21，求点P坐标；(3)点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标．25．为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．        (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高试卷第9页，共9页,．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m；(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：        如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．26．如图，抛物线与x轴交于，两点，顶点为P．试卷第9页，共9页,(1)求抛物线的解析式及P点坐标；(2)抛物线交y轴于点C，经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段的长；(3)过点P的直线分别与抛物线、直线交于x轴下方的点M，N，直线交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，轴于点H．请判断点H与直线的位置关系，并证明你的结论．试卷第9页，共9页,,参考答案：1．C【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得：，∴在0，，，四个数中，最大的数是，故选：C．2．B【分析】本题考查科学记数法．科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【详解】解：70000用科学记数法表示为，故选：B．3．A【分析】本题考查了菱形的判定和性质．证明四边形是菱形，即可求解．【详解】解：由作图知，∴四边形是菱形，∵，∴，故选：A．4．C【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从上面往下面看到的图形，主视图是从正面看到的图形，据此逐项分析，即可作答．【详解】解：A、的俯视图与主视图分别是带圆心的圆和三角形，故该选项是错误的；答案第21页，共21页,B、的俯视图与主视图分别是圆和长方形，故该选项是错误的；C、的俯视图与主视图都是正方形，故该选项是正确的；D、的俯视图与主视图分别是长方形和梯形，故该选项是错误的；故选：C．5．D【分析】本题考查中位数和众数．将所给数据从小到大排列，第三和第四个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的即为众数．【详解】解：将这组数据从小到大排列：3，4，5，5，7．则这组数据的中位数为5，5出现次数最多，则众数为5，故选：D．6．A【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．由旋转的性质得到，推出，即可求解．【详解】解：∵，∴，，∵将绕点O逆时针旋转到，∴，∴，，∴点B坐标为，故选：A．7．B【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这个图形就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可作答．【详解】答案第21页，共21页,解：是中心对称图形，但不是轴对称图形故选：B8．A【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可．【详解】解：△，方程有两个不相等的实数根．故选：A．9．C【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键．【详解】解：根据题意得：，解得：，∴的取值范围是，故选：C．10．B【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，分四种情况：当时，当时，当时，四边形为平行四边形；当时，四边形为等腰梯形，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：在中，，，∴，，∵点P从点A出发、以的速度沿运动，答案第21页，共21页,∴点P从点A出发到达D点的时间为：，∵点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，∴点Q从点C出发到B点的时间为：，∵，∴，当时，四边形为平行四边形，∴，当时，四边形为等腰梯形，∴，设同时运动的时间为，当时，，∴，此时，四边形为平行四边形，，如图：过点分别作的垂线，分别交于点，∴四边形是矩形，∴，，∵四边形是等腰梯形，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，在中，，，答案第21页，共21页,∴，∴，∴，∴，∴，此时是等腰梯形，，当时，，∴，此时，四边形为平行四边形，，当时，，∴，此时，四边形为平行四边形，，综上，当或或或时，，共4次，故选：B．11．D【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得，，，利用新钢架减少用钢，代入数据计算即可求解．【详解】解：∵等边，于点D，长，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴新钢架减少用钢答案第21页，共21页,，故选：D．12．A【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，设，证明和，推出和，由，列式计算求得，在中，求得的长，据此求解即可．【详解】解：如图，交于点，∵矩形，∴，由折叠的性质得，，四边形和四边形都是矩形，∴，∴，∴，∵平分，，∴，∴，设，∵，，∴，，∵，∴，∴，即①，∵，∴，答案第21页，共21页,∴，即②，∵，由①②得，解得，则，在中，，∵，∴，即，故答案为：A．13．【分析】根据提取公因式法因式分解进行计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】此题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．14．1【分析】本题考查了分式同分母的减法运算，分母不变，分子直接相减，即可作答．【详解】解：．故答案为：1．15．900【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可．【详解】解：七边形的内角和，故答案为：900．16．（答案不唯一）【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数)的值随的增大而增大，得出，写一个满足条件的的值即可，根据的正负性判断函数增减性是解题的关键．答案第21页，共21页,【详解】解：∵的值随x的增大而增大，∴，∴，∴的值可以为：，故答案为：（答案不唯一）．17．【分析】根据扇形公式进行计算即可．本题考查了扇面面积计算，掌握扇面面积等于两个扇形面积相减是解题的关键．【详解】解：扇面面积扇形的面积扇形的面积，故答案为：．18．【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用和才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用和构成矩形，设矩形在射线上的一段长为，矩形菜地面积为，当时，如图，则在射线上的长为则，答案第21页，共21页,∵，∴当时，随的增大而增大，∴当时，的最大值为；当时，如图，则矩形菜园的总长为，则在射线上的长为则，∵，∴当时，随的增大而减少，∴当时，的值均小于；综上，矩形菜地的最大面积是；故答案为：．19．【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简正切值，再运算零次幂，绝对值，算术平方根，再运算加减，即可作答．【详解】解：．20．(1)见解析(2)是等腰直角三角形．【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定．答案第21页，共21页,（1）由平行证明，由等量代换得到，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明，即可证明；（2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，据此即可得到是等腰直角三角形．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：是等腰直角三角形．∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形．21．甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设乙组每小时包个粽子，则甲组每小时包个粽子，根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结果．【详解】解：设乙组平均每小时包个粽子，则甲组平均每小时包个粽子，由题意得：，解得：，经检验：是分式方程的解，且符合题意，∴分式方程的解为：，∴答案第21页，共21页,答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．22．(1)；；1(2)见解析【分析】（1）根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案；（2）证明，推出，，，求得，，根据，列式求得，根据切线的判定定理，即可得到是的切线．【详解】（1）解：连接，设半径为，∵是的内切圆，切点分别为D，E，F，∴，，；在四边形中，，四边形为矩形，又因为，四边形为正方形．则，则，，在中，由勾股定理得，∴，即，解得，故答案为：；；1；（2）证明：连接，，，作于点，答案第21页，共21页,设半径为，∵，∴，∵，，∴，∴，，，∵是的内切圆，切点分别为D，E，F，∴，∴，同理，∴，∴，∵，∴是的切线．【点睛】本题考查切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，三角形的内切圆及勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．23．(1)；20；(2)补全图见解析，估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；(3)选取的2名学生均为“良好”的概率为．【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．答案第21页，共21页,（1）用“优秀”等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；再分别求得的值；（2）根据（1）的结果，可补全条形统计图，利用样本估计总体可求解；（3）用列表法表示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人均为“良好”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）解：样本容量为，则，，，故答案为：；20；；（2）解：补全条形统计图，如图：（人），估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；（3）解：设3名“良好”分别用A、B、C表示，1名“优秀”用D表示，列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有种，答案第21页，共21页,∴选取的2名学生均为“良好”的概率为．24．(1)，(2)点P坐标为或；(3)Q点坐标为或【分析】（1）先求出，再代入，得出，再运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答．（2）先得出直线与直线的交点的坐标，根据求不规则面积运用割补法列式化简得，解出，即可作答．（3）要进行分类讨论，当点在点的右边时和点在点的左边时，根据求不规则面积运用割补法列式，其中运用公式法解方程，注意计算问题，即可作答．【详解】（1）解：依题意把代入，得出解得把代入中，得出∴则把和分别代入得出解得∴；（2）解：记直线与直线的交点为答案第21页，共21页,∵∴当时，则∴∵P是直线上的一个动点，∴设点，∵的面积为21，∴即∴解得或∴点P坐标为或；（3）解：由（1）得出∵点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，∴设点Q的坐标为如图：点在点的右边时答案第21页，共21页,∵的面积为21，和∴整理得解得（负值已舍去）经检验是原方程的解，∴Q点坐标为如图：点在点的左边时∵的面积为21，和∴整理得解得，符合题意，，不符合题意，则，故综上：Q点坐标为或．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，几何综合，待定系数法求一次函数的解析式，割补法求面积，公式法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．25．(1)(2)旗杆高度为；答案第21页，共21页,(3)雕塑高度为．【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用．（1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可；（2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案；（3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解．【详解】（1）解：由题意得，由题意得：，∴，故答案为：；（2）解：如图，由题意得，，根据镜面反射可知：，，，，，，即，，答：旗杆高度为；（3）解：设，由题意得：，，∴，，即，，答案第21页，共21页,∴，整理得，解得，经检验符合他∴，答：雕塑高度为．26．(1)，(2)4(3)点H在直线上，见详解【分析】（1）待定系数法即可求解二次函数解析式，再进行配方即可求点P坐标；（2）先由与的正切值相等得到，继而可证明，再由垂径定理得到；（3）将点代入得直线表达式为，则，而点E为中点，则，可求，联立抛物线与直线表达式，得：，可求，可证明，得到，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，∴代入得：，解得：，∴抛物线解析式为，而，答案第21页，共21页,∴；（2）解：如图：当时，，∴点，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴是经过点A、B、C的的直径，∵，经过圆心，∴；（3）解：如图：将点代入，得，答案第21页，共21页,∴，把点N横坐标，代入得，∵轴，轴，∴，点G为中点，∴，∴点E为中点，∴，∵点P关于E的对称点为Q，∴，∴，联立抛物线与直线表达式，得：，整理得：，∴，解得：，即，∵，，∴，∴点N、Q、H三点共线，∴点H在直线上．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合题，待定系数法求二次函数解析式，圆周角定理，垂径定理，平行线分线段成比例定理，三角函数，抛物线与直线的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键．答案第21页，共21页,答案第21页，共21页