2024年四川省遂宁市中考数学试题【含答案、详细解析】
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2024年四川省遂宁市中考数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.下列各数中,无理数是( )A.B.C.D.02.古代中国诸多技艺均领先世界.榫卯结构就是其中之一,榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫(或榫头),凹进部分叫卯(或榫眼、榫槽),榫和卯咬合,起到连接作用,右图是某个部件“榫”的实物图,它的主视图是( ) A. B. C. D. 3.中国某汽车公司坚持“技术为王,创新为本”的发展理念,凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用.2024年第一季度,该公司以万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首,市场占有率高达.将销售数据用科学记数法表示为( )A.B.C.D.4.下列运算结果正确的是( )A.B.C.D.5.不等式组的解集在数轴上表示为( )试卷第9页,共10页,A.B.C.D.6.佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术,得到了一个内角和为的正多边形图案,这个正多边形的每个外角为( )A.B.C.D.7.分式方程的解为正数,则的取值范围( )A.B.且C.D.且8.工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示,排污管道的横截面是直径为米的圆,为预估淤泥量,测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽为米,请计算出淤泥横截面的面积( )A.B.C.D.9.如图1,与满足,,,,我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2,在中,,点在线段上,且,则图中共有“伪全等三角形”( )A.1对B.2对C.3对D.4对10.如图,已知抛物线(a、b、c为常数,且)的对称轴为直线,且该抛物线与轴交于点,与轴的交点在,试卷第9页,共10页,之间(不含端点),则下列结论正确的有多少个( )①;②;③;④若方程两根为,则.A.1B.2C.3D.4二、填空题11.分解因式:.三、单选题12.反比例函数的图象在第一、三象限,则点在第象限.四、填空题13.体育老师要在甲和乙两人中选择人参加篮球投篮大赛,下表是两人次训练成绩,从稳定的角度考虑,老师应该选参加比赛.甲乙14.在等边三边上分别取点,使得,连结三点得到,易得,设,则试卷第9页,共10页,如图①当时,如图②当时,如图③当时,……直接写出,当时,.15.如图,在正方形纸片中,是边的中点,将正方形纸片沿折叠,点落在点处,延长交于点,连结并延长交于点.给出以下结论:①为等腰三角形;②为的中点;③;④.其中正确结论是.(填序号)五、解答题16.计算:.试卷第9页,共10页,17.先化简:,再从1,2,3中选择一个合适的数作为的值代入求值.18.康康在学习了矩形定义及判定定理1后,继续探究其它判定定理.(1)实践与操作 ①任意作两条相交的直线,交点记为O;②以点为圆心,适当长为半径画弧,在两条直线上分别截取相等的四条线段;③顺次连结所得的四点得到四边形.于是可以直接判定四边形是平行四边形,则该判定定理是:______.(2)猜想与证明通过和同伴交流,他们一致认为四边形是矩形,于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法:对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证,请你完成证明过程.已知:如图,四边形是平行四边形,.求证:四边形是矩形.试卷第9页,共10页, 19.小明的书桌上有一个型台灯,灯柱高,他发现当灯带与水平线夹角为时(图1),灯带的直射宽为,但此时灯的直射宽度不够,当他把灯带调整到与水平线夹角为时(图2),直射宽度刚好合适,求此时台灯最高点到桌面的距离.(结果保留1位小数)()试卷第9页,共10页,20.某酒店有两种客房、其中种间,种间.若全部入住,一天营业额为元;若两种客房均有间入住,一天营业额为元.(1)求两种客房每间定价分别是多少元?(2)酒店对种客房调研发现:如果客房不调价,房间可全部住满;如果每个房间定价每增加元,就会有一个房间空闲;当种客房每间定价为多少元时,种客房一天的营业额最大,最大营业额为多少元?21.已知关于的一元二次方程.(1)求证:无论取何值,方程都有两个不相等的实数根;(2)如果方程的两个实数根为,且,求的值.22.遂宁市作为全国旅游城市,有众多著名景点,为了解“五一”假期同学们的出游情况,某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查,以下是调查报告的部分内容,请完善报告:xx小组关于xx学校学生“五一”出游情况调查报告试卷第9页,共10页,数据收集调查方式抽样调查调查对象xx学校学生数据的整理与描述景点A:中国死海B:龙凤古镇C:灵泉风景区D:金华山E:未出游F:其他数据分析及运用(1)本次被抽样调查的学生总人数为______,扇形统计图中,______,“:龙凤古镇”对应圆心角的度数是______;(2)请补全条形统计图;(3)该学校总人数为人,请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数;(4)未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从、、、四个景点中任选一个景点旅游,请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率.试卷第9页,共10页,23.如图,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点.(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)根据图象直接写出时,的取值范围;(3)过点作直线,交反比例函数图象于点,连结,求的面积.24.如图,是的直径,是一条弦,点是的中点,于点,交于点,连结交于点.(1)求证:;(2)延长至点,使,连接.①求证:是的切线;试卷第9页,共10页,②若,,求的半径.25.二次函数的图象与轴分别交于点,与轴交于点,为抛物线上的两点.(1)求二次函数的表达式;(2)当两点关于抛物线对轴对称,是以点为直角顶点的直角三角形时,求点的坐标;(3)设的横坐标为,的横坐标为,试探究:的面积是否存在最小值,若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.试卷第9页,共10页,参考答案:1.C【分析】本题考查了无理数的概念,根据无限不循环小数为无理数即可求解,解答本题的关键是掌握无理数的三种形式:1、开方开不尽的数,2、无限不循环小数,3、含有的数.【详解】解:,,0都是有理数,是无理数,故选:C.2.A【分析】本题考查了三视图,根据从正面看到的图形即可求解,掌握三视图的画法是解题的关键.【详解】解:由实物图可知,从从正面看到的图形是,故选:.3.C【分析】此题考查了科学记数法的表示方法,根据科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数即可求解,解题的关键要正确确定的值以及的值.【详解】解:万,故选:.4.D【分析】本题考查了整式的运算,根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方运算、平方差公式分别运算即可判断求解,掌握整式的运算法则是解题的关键.【详解】解:、,该选项错误,不合题意;、,该选项错误,不合题意;、,该选项错误,不合题意;、,该选项正确,符合题意;故选:.5.B【分析】答案第19页,共19页,本题考查了在数轴上表示不等式组的解集,先求出不等式组的解集,再根据解集在数轴上表示出来即可判断求解,正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键.【详解】解:,由得,,由得,,∴不等式组的解集为,∴不等式组的解集在数轴上表示为,故选:.6.C【分析】本题考查了正多边形的外角,设这个正多边形的边数为,先根据内角和求出正多边形的边数,再用外角和除以边数即可求解,掌握正多边形的性质是解题的关键.【详解】解:设这个正多边形的边数为,则,∴,∴这个正多边形的每个外角为,故选:.7.B【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解,先解分式方程,求出分式方程的解,再根据分式方程解的情况解答即可求解,正确求出分式方程的解是解题的关键.【详解】解:方程两边同时乘以得,,解得,∵分式方程的解为正数,∴,∴,又∵,即,∴,∴的取值范围为且,答案第19页,共19页,故选:.8.A【分析】本题考查了垂径定理,勾股定理,等边三角形的判定和性质,求不规则图形的面积,过点作于,由垂径定理得,由勾股定理得,又根据圆的直径为米可得,得到为等边三角形,即得,再根据淤泥横截面的面积即可求解,掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键.【详解】解:过点作于,则,,∵圆的直径为米,∴,∴在中,,∵,∴为等边三角形,∴,∴淤泥横截面的面积,故选:.9.D【分析】本题考查了新定义,等边对等角,根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等,一个角相等,且这个角不是夹角,据此分析判断,即可求解.【详解】解:∵,∴,在和中,,答案第19页,共19页,在中,,在中,,在中,综上所述,共有4对“伪全等三角形”,故选:D.10.B【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质,根据题干可得,,,即可判断①错误;根据对称轴和一个交点求得另一个交点为,即可判断②错误;将c和b用a表示,即可得到,即可判断③正确;结合抛物线和直线与轴得交点,即可判断④正确.【详解】解:由图可知,∵抛物线的对称轴为直线,且该抛物线与轴交于点,∴,,则,∵抛物线与轴的交点在,之间,∴,则,故①错误;设抛物线与轴另一个交点,∵对称轴为直线,且该抛物线与轴交于点,∴,解得,则,故②错误;∵,,,∴,解得,故③正确;根据抛物线与轴交于点和,直线过点和,如图,答案第19页,共19页,方程两根为满足,故④正确;故选:B.11.【分析】本题主要考查了提公因式分解因式,提公因式a即可解答.【详解】解:故答案为:12.四/【分析】本题考查了反比例函数的性质,点所在的象限,根据反比例函数的性质得出,进而即可求解.【详解】解:∵反比例函数的图象在第一、三象限,∴∴∴点在第四象限,故答案为:四.13.甲【分析】本题考查了方差,分别求出甲乙的方差即可判断求解,掌握方差计算公式是解题的关键.【详解】解:甲的平均数为,∴,乙的平均数为,答案第19页,共19页,∴,∵,∴甲成绩更稳定,∴应选甲参加比赛,故答案为:甲.14./0.73【分析】本题主要考查数字规律性问题,首先根据已知求得比例为n时,,代入即可.【详解】解:根据题意可得,当时,,则当时,,故答案为:.15.①②③【分析】设正方形的边长为,,根据折叠的性质得出,根据中点的性质得出,即可判断①,证明四边形是平行四边形,即可判断②,求得,设,则,勾股定理得出,进而判断③,进而求得,,勾股定理求得,进而根据余弦的定义,即可判断④,即可求解.【详解】解:如图所示,∵为的中点,∴设正方形的边长为,则答案第19页,共19页,∵折叠,∴,∴∴是等腰三角形,故①正确;设,∴∴∴∴又∵∴四边形是平行四边形,∴,∴,即是的中点,故②正确;∵,∴在中,,∵∴设,则,∴∴∴,,∴,故③正确;连接,如图所示,答案第19页,共19页,∵,,又∴∴又∵∴∴又∵∴∵∴∴∴在中,∴,故④不正确故答案为:①②③.【点睛】本题考查了正方形与折叠问题,解直角三角形,全等三角形的性质与判定,勾股定理,熟练掌握以上知识是解题的关键.16.【分析】此题主要考查了实数运算及二次根式的运算,直接利用负整数指数幂的性质、特殊答案第19页,共19页,角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案,正确化简各数是解题关键.【详解】解:.17.;【分析】本题考查了分式化简求值;先根据分式的加减计算括号内的,同时将除法转化为乘法,再根据分式的性质化简,最后根据分式有意义的条件,将字母的值代入求解.【详解】解:∵∴当时,原式18.(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形(2)证明见解析【分析】(1)由作图结合对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案;(2)先证明,再证明,可得,从而可得结论.【详解】(1)解:由作图可得:,,∴四边形是平行四边形,该判定定理是:对角线互相平分的四边形是平行四边形;(2)∵四边形是平行四边形,∴,,∴,∵,,∴,答案第19页,共19页,∴,∴四边形是矩形.【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质,矩形的判定,全等三角形的判定与性质,掌握平行四边形与矩形的判定方法是关键.19.此时台灯最高点到桌面的距离为【分析】本题考查了解直角三角形的应用;在图1中,,在图2中求得,进而根据灯柱高,点到桌面的距离为,即可求解.【详解】解:由已知,,在图1中,∵∴∴四边形是平行四边形,∴在中,在图2中,过点作于点,∴∵灯柱高,点到桌面的距离为答:此时台灯最高点到桌面的距离为.20.(1)种客房每间定价为元,种客房每间定价为为元;(2)当种客房每间定价为元时,种客房一天的营业额最大,最大营业额为元.【分析】()设种客房每间定价为元,种客房每间定价为为答案第19页,共19页,元,根据题意,列出方程组即可求解;()设种客房每间定价为元,根据题意,列出与的二次函数解析式,根据二次函数的性质即可求解;本题考查了二元一次方程组的应用,二次函数的应用,根据题意,正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键.【详解】(1)解:设种客房每间定价为元,种客房每间定价为为元,由题意可得,,解得,答:种客房每间定价为元,种客房每间定价为为元;(2)解:设种客房每间定价为元,则,∵,∴当时,取最大值,元,答:当种客房每间定价为元时,种客房一天的营业额最大,最大营业额为元.21.(1)证明见解析;(2)或.【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,根与系数的关系,解一元二次方程,掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.(1)根据根的判别式证明恒成立即可;(2)由题意可得,,,进行变形后代入即可求解.【详解】(1)证明:,∵无论取何值,,恒成立,∴无论取何值,方程都有两个不相等的实数根.答案第19页,共19页,(2)解:∵是方程的两个实数根,∴,,∴,解得:或.22.(1),,;(2)见解析;(3);(4)【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联,样本估计总体,列表法求概率;(1)根据组的人数除以占比,即可得出总人数,进而求得组的人数,得出的值,根据的占比乘以,即可得出对应圆心角的度数;(2)根据组的人数补全统条形计图,(3)用乘以组的占比,即可求解.(4)用列表法求概率,即可求解.【详解】解:(1)本次被抽样调查的学生总人数为,组的人数为:,∴,∴B:龙凤古镇”对应圆心角的度数是故答案为:,,.(2)根据(1)可得组人数为人,补全统计图,如图所示,(3)解:答:请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数为人;(4)列表如下,答案第19页,共19页,共有种等可能结果,其中他们选择同一景点的情形有种,∴他们选择同一景点的概率为23.(1)反比例函数表达式为,一次函数表达式为(2)或(3)【分析】()利用待定系数法即可求解;()根据函数图象即可求解;()如图,设直线与轴相交于点,过点作轴于点,过点作轴于点,求出点坐标,再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标,根据计算即可求解;本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,反比例函数的性质,利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键.【详解】(1)解:把代入得,,∴,∴反比例函数表达式为,把代入得,,∴,∴,把、代入得,答案第19页,共19页,,解得,∴一次函数表达式为;(2)解:由图象可得,当时,的取值范围为或;(3)解:如图,设直线与轴相交于点,过点作轴于点,过点作轴于点,则,∴,∵点关于原点对称,∴,∴,,∴,即的面积为.24.(1)证明见解析(2)①证明见解析,②的半径为.【分析】(1)如图,连接,证明,可得,证明,可得,进一步可得结论;(2)①证明,可得是的垂直平分线,可得,答案第19页,共19页,,,而,可得,进一步可得结论;②证明,可得,求解,,结合,可得答案.【详解】(1)证明:如图,连接,∵点是的中点,∴,∴,∵,为的直径,∴,∴,∴,∴.(2)证明:①∵为的直径,∴,∴,∵,∴是的垂直平分线,∴,∴,,而,∴,∴,∴,∵为的直径,答案第19页,共19页,∴是的切线;②∵,∴,∵,,∴,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∴的半径为.【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用,弧与圆心角之间的关系,切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的应用,做出合适的辅助线是解本题的关键.25.(1)(2)(3)存在,最小值为【分析】本题考查了二次函数的综合题,待定系数法求函数解析式,勾股定理,已知两点坐标表示两点距离,二次函数最值,熟练掌握知识点,正确添加辅助线是解题的关键.(1)用待定系数法求解即可;(2)可求,设,由,得,则,解得,(舍去),故;(3)分当点P、Q在x轴下方,且点Q在点P上方时,当点P、Q在x轴下方,且点P在答案第19页,共19页,点Q上方时,当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方,一个在x轴下方,得到这个面积是关于m的二次函数,进而求最值即可.【详解】(1)解:把,代入得,,解得,∴二次函数的表达式为;(2)解:如图:由得抛物线对称轴为直线,∵两点关于抛物线对轴对称,∴,设,∵,∴,∴,整理得,,解得,(舍去),∴,答案第19页,共19页,∴;(3)存在,理由:当点P、Q在x轴下方,且点Q在点P上方时,设点,则点,设直线交轴于点,设直线表达式为:,代入,得:,解得:,∴直线的表达式为:,令,得则,则,则,即存在最小值为;当点P、Q在x轴下方,且点P在点Q上方时,答案第19页,共19页,同上可求直线表达式为:,令,得则,则,则即存在最小值为;当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方,一个在x轴下方同理可求,即存在最小值为,综上所述,的面积是否存在最小值,且为.答案第19页,共19页
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