2024年四川省遂宁市中考数学试题【含答案、详细解析】

2024年四川省遂宁市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各数中，无理数是（    ）A．B．C．D．02．古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（    ）  A．  B．  C．  D．  3．中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达．将销售数据用科学记数法表示为（    ）A．B．C．D．4．下列运算结果正确的是（    ）A．B．C．D．5．不等式组的解集在数轴上表示为（    ）试卷第9页，共10页,A．B．C．D．6．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（    ）A．B．C．D．7．分式方程的解为正数，则的取值范围（    ）A．B．且C．D．且8．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ）A．B．C．D．9．如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（    ）A．1对B．2对C．3对D．4对10．如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，试卷第9页，共10页,之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（    ）①；②；③；④若方程两根为，则．A．1B．2C．3D．4二、填空题11．分解因式：．三、单选题12．反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第象限．四、填空题13．体育老师要在甲和乙两人中选择人参加篮球投篮大赛，下表是两人次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选参加比赛．甲乙14．在等边三边上分别取点，使得，连结三点得到，易得，设，则试卷第9页，共10页,如图①当时，如图②当时，如图③当时，……直接写出，当时，．15．如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是．（填序号）五、解答题16．计算：．试卷第9页，共10页,17．先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值．18．康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．(1)实践与操作  ①任意作两条相交的直线，交点记为O；②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段；③顺次连结所得的四点得到四边形．于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______．(2)猜想与证明通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形．试卷第9页，共10页,  19．小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数）（）试卷第9页，共10页,20．某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元．(1)求两种客房每间定价分别是多少元？(2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？21．已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值．22．遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：xx小组关于xx学校学生“五一”出游情况调查报告试卷第9页，共10页,数据收集调查方式抽样调查调查对象xx学校学生数据的整理与描述景点A：中国死海B：龙凤古镇C：灵泉风景区D：金华山E：未出游F：其他数据分析及运用（1）本次被抽样调查的学生总人数为______，扇形统计图中，______，“：龙凤古镇”对应圆心角的度数是______；（2）请补全条形统计图；（3）该学校总人数为人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数；（4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从、、、四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率．试卷第9页，共10页,23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)根据图象直接写出时，的取值范围；(3)过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积．24．如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点．(1)求证：；(2)延长至点，使，连接．①求证：是的切线；试卷第9页，共10页,②若，，求的半径．25．二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点．(1)求二次函数的表达式；(2)当两点关于抛物线对轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标；(3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．试卷第9页，共10页,参考答案：1．C【分析】本题考查了无理数的概念，根据无限不循环小数为无理数即可求解，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：1、开方开不尽的数，2、无限不循环小数，3、含有的数．【详解】解：，，0都是有理数，是无理数，故选：C．2．A【分析】本题考查了三视图，根据从正面看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键．【详解】解：由实物图可知，从从正面看到的图形是，故选：．3．C【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．【详解】解：万，故选：．4．D【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方运算、平方差公式分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．【详解】解：、，该选项错误，不合题意；、，该选项错误，不合题意；、，该选项错误，不合题意；、，该选项正确，符合题意；故选：．5．B【分析】答案第19页，共19页,本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可判断求解，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键．【详解】解：，由得，，由得，，∴不等式组的解集为，∴不等式组的解集在数轴上表示为，故选：．6．C【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．【详解】解：设这个正多边形的边数为，则，∴，∴这个正多边形的每个外角为，故选：．7．B【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．【详解】解：方程两边同时乘以得，，解得，∵分式方程的解为正数，∴，∴，又∵，即，∴，∴的取值范围为且，答案第19页，共19页,故选：．8．A【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键．【详解】解：过点作于，则，，∵圆的直径为米，∴，∴在中，，∵，∴为等边三角形，∴，∴淤泥横截面的面积，故选：．9．D【分析】本题考查了新定义，等边对等角，根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解．【详解】解：∵，∴，在和中，，答案第19页，共19页,在中，，在中，，在中，综上所述，共有4对“伪全等三角形”，故选：D．10．B【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②错误；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确．【详解】解：由图可知，∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，∴，，则，∵抛物线与轴的交点在，之间，∴，则，故①错误；设抛物线与轴另一个交点，∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，∴，解得，则，故②错误；∵，，，∴，解得，故③正确；根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图，答案第19页，共19页,方程两根为满足，故④正确；故选：B．11．【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式a即可解答．【详解】解：故答案为：12．四/【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出，进而即可求解．【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，∴∴∴点在第四象限，故答案为：四．13．甲【分析】本题考查了方差，分别求出甲乙的方差即可判断求解，掌握方差计算公式是解题的关键．【详解】解：甲的平均数为，∴，乙的平均数为，答案第19页，共19页,∴，∵，∴甲成绩更稳定，∴应选甲参加比赛，故答案为：甲．14．/0.73【分析】本题主要考查数字规律性问题，首先根据已知求得比例为n时，，代入即可．【详解】解：根据题意可得，当时，，则当时，，故答案为：．15．①②③【分析】设正方形的边长为，，根据折叠的性质得出，根据中点的性质得出，即可判断①，证明四边形是平行四边形，即可判断②，求得，设，则，勾股定理得出，进而判断③，进而求得，，勾股定理求得，进而根据余弦的定义，即可判断④，即可求解．【详解】解：如图所示，∵为的中点，∴设正方形的边长为，则答案第19页，共19页,∵折叠，∴，∴∴是等腰三角形，故①正确；设，∴∴∴∴又∵∴四边形是平行四边形，∴，∴，即是的中点，故②正确；∵，∴在中，，∵∴设，则，∴∴∴，，∴，故③正确；连接，如图所示，答案第19页，共19页,∵，，又∴∴又∵∴∴又∵∴∵∴∴∴在中，∴，故④不正确故答案为：①②③．【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．16．【分析】此题主要考查了实数运算及二次根式的运算，直接利用负整数指数幂的性质、特殊答案第19页，共19页,角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案，正确化简各数是解题关键．【详解】解：．17．；【分析】本题考查了分式化简求值；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将字母的值代入求解．【详解】解：∵∴当时，原式18．(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形(2)证明见解析【分析】（1）由作图结合对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案；（2）先证明，再证明，可得，从而可得结论．【详解】（1）解：由作图可得：，，∴四边形是平行四边形，该判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，，∴，答案第19页，共19页,∴，∴四边形是矩形．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形与矩形的判定方法是关键．19．此时台灯最高点到桌面的距离为【分析】本题考查了解直角三角形的应用；在图1中，，在图2中求得，进而根据灯柱高，点到桌面的距离为，即可求解．【详解】解：由已知，，在图1中，∵∴∴四边形是平行四边形，∴在中，在图2中，过点作于点，∴∵灯柱高，点到桌面的距离为答：此时台灯最高点到桌面的距离为．20．(1)种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元；(2)当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元．【分析】（）设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为答案第19页，共19页,元，根据题意，列出方程组即可求解；（）设种客房每间定价为元，根据题意，列出与的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解；本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键．【详解】（1）解：设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，由题意可得，，解得，答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元；（2）解：设种客房每间定价为元，则，∵，∴当时，取最大值，元，答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元．21．(1)证明见解析；(2)或．【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）根据根的判别式证明恒成立即可；（2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解．【详解】（1）证明：，∵无论取何值，，恒成立，∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．答案第19页，共19页,（2）解：∵是方程的两个实数根，∴，，∴，解得：或．22．（1），，；（2）见解析；（3）；（4）【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体，列表法求概率；（1）根据组的人数除以占比，即可得出总人数，进而求得组的人数，得出的值，根据的占比乘以，即可得出对应圆心角的度数；（2）根据组的人数补全统条形计图，（3）用乘以组的占比，即可求解．（4）用列表法求概率，即可求解．【详解】解：（1）本次被抽样调查的学生总人数为，组的人数为：，∴，∴B：龙凤古镇”对应圆心角的度数是故答案为：，，．（2）根据（1）可得组人数为人，补全统计图，如图所示，（3）解：答：请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数为人；（4）列表如下，答案第19页，共19页,共有种等可能结果，其中他们选择同一景点的情形有种，∴他们选择同一景点的概率为23．(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为(2)或(3)【分析】（）利用待定系数法即可求解；（）根据函数图象即可求解；（）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，根据计算即可求解；本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．【详解】（1）解：把代入得，，∴，∴反比例函数表达式为，把代入得，，∴，∴，把、代入得，答案第19页，共19页,，解得，∴一次函数表达式为；（2）解：由图象可得，当时，的取值范围为或；（3）解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则，∴，∵点关于原点对称，∴，∴，，∴，即的面积为．24．(1)证明见解析(2)①证明见解析，②的半径为．【分析】（1）如图，连接，证明，可得，证明，可得，进一步可得结论；（2）①证明，可得是的垂直平分线，可得，答案第19页，共19页,，，而，可得，进一步可得结论；②证明，可得，求解，，结合，可得答案．【详解】（1）证明：如图，连接，∵点是的中点，∴，∴，∵，为的直径，∴，∴，∴，∴．（2）证明：①∵为的直径，∴，∴，∵，∴是的垂直平分线，∴，∴，，而，∴，∴，∴，∵为的直径，答案第19页，共19页,∴是的切线；②∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的半径为．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，弧与圆心角之间的关系，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．25．(1)(2)(3)存在，最小值为【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．（1）用待定系数法求解即可；（2）可求，设，由，得，则，解得，（舍去），故；（3）分当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，当点P、Q在x轴下方，且点P在答案第19页，共19页,点Q上方时，当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，得到这个面积是关于m的二次函数，进而求最值即可．【详解】（1）解：把，代入得，，解得，∴二次函数的表达式为；（2）解：如图：由得抛物线对称轴为直线，∵两点关于抛物线对轴对称，∴，设，∵，∴，∴，整理得，，解得，（舍去），∴，答案第19页，共19页,∴；（3）存在，理由：当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，设点，则点，设直线交轴于点，设直线表达式为：，代入，得：，解得：，∴直线的表达式为：，令，得则，则，则，即存在最小值为；当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，答案第19页，共19页,同上可求直线表达式为：，令，得则，则，则即存在最小值为；当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求，即存在最小值为，综上所述，的面积是否存在最小值，且为．答案第19页，共19页