2024年四川省南充市中考数学试题【含答案、详细解析】
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2024年四川省南充市中考数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.如图,数轴上表示的点是( )A.点AB.点BC.点CD.点D2.学校举行篮球技能大赛,评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分,各项成绩均按百分制计,然后再按控球技能占,投球技能占计算选手的综合成绩(百分制人选手李林控球技能得90分,投球技能得80分.李林综合成绩为( )A.170分B.86分C.85分D.84分3.如图,两个平面镜平行放置,光线经过平面镜反射时,,则的度数为( )A.B.C.D.4.下列计算正确的是( )A.B.C.D.5.如图,在中,,平分交于点D,点E为边上一点,则线段长度的最小值为( )A.B.C.2D.36.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗:“我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.”诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间客房.设该店有客房x间、房客y人,下列试卷第9页,共9页,方程组中正确的是( )A.B.C.D.7.若关于x的不等式组的解集为,则m的取值范围是( )A.B.C.D.8.如图,已知线段,按以下步骤作图:①过点B作,使,连接;②以点C为圆心,以长为半径画弧,交于点D;③以点A为圆心,以长为半径画弧,交于点E.若,则m的值为( ) A.B.C.D.9.当时,一次函数有最大值6,则实数m的值为( )A.或0B.0或1C.或D.或110.如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成.在正方形中,.下列三个结论:①若,则;②若的面积是正方形面积的3倍,则点F是的三等分点;③将绕点A逆时针旋转得到,则的最大值为.其中正确的结论是( ) 试卷第9页,共9页,A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题11.计算的结果为.12.若一组数据,,,,,的众数为,则这组数据的中位数为.13.如图,是的直径,位于两侧的点C,D均在上,,则度.14.已知m是方程的一个根,则的值为.15.如图,在矩形中,为边上一点,,将沿折叠得,连接,,若平分,,则的长为. 16.已知抛物线与轴交于两点,(在的左侧),抛物线与轴交于两点,(在的左侧),且.下列四个结论:与交点为;;;,两点关于对称.其中正确的结论是.(填写序号)三、解答题17.先化简,再求值:,其中.试卷第9页,共9页,18.如图,在中,点D为边的中点,过点B作交的延长线于点E.(1)求证:.(2)若,求证:19.某研学基地开设有A,B,C,D四类研学项目.为了解学生对四类研学项目的喜爱情况,随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计(每名学生必须选择一项,并且只能选择一项),并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图,(如图).试卷第9页,共9页,根据图中信息,解答下列问题:(1)参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目有多少人?在扇形统计图中,求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数.(2)从参加调查统计喜爱D类研学项目的4名学生(2名男生2名女生)中随机选取2人接受访谈,求恰好选中一名男生一名女生的概率.20.已知,是关于的方程的两个不相等的实数根.(1)求的取值范围.(2)若,且,,都是整数,求的值.试卷第9页,共9页,21.如图,直线经过两点,与双曲线交于点.(1)求直线和双曲线的解析式.(2)过点C作轴于点D,点P在x轴上,若以O,A,P为顶点的三角形与相似,直接写出点P的坐标.22.如图,在中,是直径,是弦,点F是上一点,,交于点C,点D为延长线上一点,且.(1)求证:是的切线.(2)若,求的半径长.试卷第9页,共9页,23.2024年“五一”假期期间,阆中古城景区某特产店销售A,B两类特产.A类特产进价50元/件,B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元,购买3件A类特产和5件B类特产需540元.(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元?(2)A类特产供货充足,按原价销售每天可售出60件.市场调查反映,若每降价1元,每天可多售出10件(每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元,每天的销售量为y件,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(3)在(2)的条件下,由于B类特产供货紧张,每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大,最大利润是多少元?(利润=售价-进价)24.如图,正方形边长为,点E为对角线上一点,,点P在边上以的速度由点A向点B运动,同时点Q在边上以的速度由点C向点B运动,设运动时间为t秒().试卷第9页,共9页,(1)求证:.(2)当是直角三角形时,求t的值.(3)连接,当时,求的面积.25.已知抛物线与轴交于点,. (1)求抛物线的解析式;(2)如图,抛物线与轴交于点,点为线段上一点(不与端点重合),直线,分别交抛物线于点,,设面积为,面积为,求的值;试卷第9页,共9页,(3)如图,点是抛物线对称轴与轴的交点,过点的直线(不与对称轴重合)与抛物线交于点,,过抛物线顶点作直线轴,点是直线上一动点.求的最小值.试卷第9页,共9页,,参考答案:1.C【分析】本题考查了实数与数轴,无理数的估算.先估算出的范围,再找出符合条件的数轴上的点即可.【详解】解:∵,∴数轴上表示的点是点C,故选:C.2.B【分析】本题考查求加权平均数,利用加权平均数的计算方法,进行求解即可.【详解】解:(分);故选B.3.C【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数,平角的定义求出的度数,再根据平行线的性质,即可得出结果.【详解】解:∵,∴,∵两个平面镜平行放置,∴经过两次反射后的光线与入射光线平行,∴;故选C.4.D【分析】本题考查整式的运算,根据合并同类项,同底数幂的乘除法则,积的乘方和幂的乘方法则,逐一进行判断即可.【详解】解:A、不能合并,原选项计算错误,不符合题意;B、,原选项计算错误,不符合题意;C、,原选项计算错误,不符合题意;D、,原选项计算正确,符合题意;答案第19页,共20页,故选D.5.C【分析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质,垂线段最短,根据题意求得和,结合角平分线的性质得到和,当时,线段长度的最小,结合角平线的性质可得即可.【详解】解:∵,∴,在中,,解得,∵平分,∴,∴,解得,当时,线段长度的最小,∵平分,∴.故选∶C.6.A【分析】根据“如果每一间客房住7人,那么有7人无房住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间客房”分别列出两个方程,联立成方程组即可.【详解】根据题意有故选:A.【点睛】本题主要考查列二元一次方程组,读懂题意找到等量关系是解题的关键.7.B【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围,先解不等式组,再根据不等式组的解集,得到关于参数的不等式,进行求解即可.【详解】解:解,得:,∵不等式组的解集为:,答案第19页,共20页,∴,∴;故选B.8.A【分析】本题考查了勾股定理,根据垂直定义可得,再根据,设,然后在中,利用勾股定理可得,再根据题意可得:,从而利用线段的和差关系进行计算,即可解答.【详解】解:∵,∴,∵,设∴,∴,由题意得:,∴,∵,∴,故选:A9.A【分析】本题主要考查了一次函数的性质,以及解一元二次方程,分两种情况,当时和当,根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程,求解即可得出答案.【详解】解:当即时,一次函数y随x的增大而增大,∴当时,,即,整理得:解得:或(舍去)当即时,一次函数y随x的增大而减小,答案第19页,共20页,∴当时,,即,整理得:解得:或(舍去)综上,或,故选:A10.D【分析】根据,设,得到,进而得到,求出的值,判定①,根据的面积是正方形面积的3倍,求出,进而得到,判断②;旋转得到,进而得到点在以为直径的半圆上,取的中点,连接,得到,判断③.【详解】解:在中,,∴设,则:,∴,∴,∴,∵,∴,∴;故①正确;若的面积是正方形面积的3倍,则:,∴,即:,∴或(舍去),∴,∴点F是的三等分点;故②正确;∵将绕点A逆时针旋转得到,∴,答案第19页,共20页,∴点在以为直径的半圆上,取的中点,连接,则:,, ∴,∴,即:的最大值为;故③正确;故选D.【点睛】本题考查解直角三角形,勾股定理,旋转的性质,解一元二次方程,求圆外一点到圆上一点的最值,熟练掌握相关知识点,并灵活运用,是解题的关键.11.1【分析】本题主要考查了同分母分式减法运算,按照同分母减法运算法则计算即可.【详解】解:,故答案为:1.12.【分析】本题考查众数与中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.众数是数据中出现最多的一个数.根据众数的定义可得的值,再依据中位数的定义即可得答案.【详解】解:∵,,,,,的众数为,∴,把这组数据从小到大排列为:,,,,,,则中位数为.答案第19页,共20页,故答案为:.13.75【分析】本题考查圆周角定理,补角求出,根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半,进行求解即可.【详解】解:∵是的直径,位于两侧的点C,D均在上,,∴,∴;故答案为:75.14.【分析】本题主要考查了二元一次方程的解,以及已知式子的值求代数式的值,根据m是方程的一个根,可得出,再化简代数式,整体代入即可求解.【详解】解:∵m是方程的一个根,∴,故答案为:.15.【分析】过作于点,于点,,由四边形是矩形,得,,证明四边形是矩形,通过角平分线的性质证得四边形是正方形,最后根据折叠的性质和勾股定理即可求解.【详解】如图,过作于点,于点, 答案第19页,共20页,∴,∵四边形是矩形,∴,,∴四边形是矩形,∵平分,∴,,∴四边形是正方形,由折叠性质可知:,,∴,∴,,在中,由勾股定理得,故答案为:.【点睛】本题考查了矩形的性质和判定,折叠的性质,勾股定理,所对直角边是斜边的一半,角平分线的性质,正方形的判定与性质,熟练掌握知识点的应用是解题的关键.16.【分析】由题意得,根据可以判断;令求出,,由可以判断;抛物线与轴交于两点,(在的左侧),抛物线与轴交于两点,(在的左侧),根据根的判别式得出或,或,可以判断,利用两点间的距离可以判断.【详解】解:由题意得,∴,∵,∴,当时,,∴与交点为,故正确,当时,,解得,答案第19页,共20页,∴,当时,,解得,∴,∵,∴,即,∴,则有:,∵,∴,故正确;∵抛物线与轴交于两点,(在的左侧),抛物线与轴交于两点,(在的左侧),∴,,解得:或,或,由得,∴,当时,,或当时,,∴,故错误;由得:,解得,∵在的左侧,在的左侧,∴,,,,∵,∴,整理得:,答案第19页,共20页,∴,∴由对称性可知:,两点关于对称,故正确;综上可知:正确,故答案为:.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质,二次函数与一元二次方程的关系,解一元二次方程,根的判别式,熟练掌握知识点的应用是解题的关键.17.,【分析】本题主要考查了整式的化简求值,运用完全平方公式展开,先算除法,再算加减法,最后代入求值即可.【详解】解:原式,当时,原式.18.(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质,中垂线的判定和性质:(1)由中点,得到,由,得到,即可得证;(2)由全等三角形的性质,得到,进而推出垂直平分,即可得证.【详解】(1)证明:为的中点,. ; 在和中, ;(2)证明:答案第19页,共20页,垂直平分,.19.(1)喜爱B类研学项目有8人,C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为(2)【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用,列表法求概率:(1)类项目的人数除以所占的比例求出总人数,再用总人数乘以类项目的人数所占的比例求解即可;(2)设喜爱D类研学项目的4名学生分别记为男1,男2,女1,女2,列出表格,利用概率公式进行计算即可.【详解】(1)解:(人). . 答:喜爱B类研学项目有8人,C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为.(2)喜爱D类研学项目的4名学生分别记为男1,男2,女1,女2,列表如下:第2位第1位男1男2女1女2男1男1男2男1女1男1女2男2男2男1男2女1男2女2女1女1男1女1男2女1女2女2女2男1女2男2女2女1由表可知,抽选2名学生共有12种等可能结果,抽中一名男生和一名女生(记作事件M)共8种可能..答:抽中一名男生和一名女生的概率为.20.(1)(2)答案第19页,共20页,【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程,熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键.(1)根据“,是关于的方程的两个不相等的实数根”,则,得出关于的不等式求解即可;(2)根据,结合(1)所求的取值范围,得出整数的值有,,,分别计算讨论整数的不同取值时,方程的两个实数根,是否符合都是整数,选择符合情况的整数的值即可.【详解】(1)解:∵,是关于的方程的两个不相等的实数根,∴,∴,解得:;(2)解:∵,由(1)得,∴,∴整数的值有,,,当时,方程为,解得:,(都是整数,此情况符合题意);当时,方程为,解得:(不是整数,此情况不符合题意);当时,方程为,解得:(不是整数,此情况不符合题意);综上所述,的值为.21.(1)直线解析式为,双曲线解析式为(2)点P坐标为或或或【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用,相似三角形的性质:(1)待定系数法求出一次函数的解析式,进而求出点的坐标,再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可;答案第19页,共20页,(2)分和,两种情况进行讨论求解即可.【详解】(1)解:直线经过两点,∴,解得:,∴,当时,,解得:,∴,∴,∴;(2)∵,,∴,,当以O,A,P为顶点的三角形与相似时,分两种情况进行讨论:①当,则:,∴,∴,∴或;②当,则:,∴,∴,∴或;综上:点P坐标为或或或.22.(1)见解析(2)【分析】本题考查圆周角定理,切线的判定,解直角三角形,熟练掌握相关知识点,是解题的关键:答案第19页,共20页,(1)圆周角定理推出,根据,结合三角形的内角和定理,推出,即即可得证;(2)连接,易得,直径得到在中,勾股定理求出的长,三角函数求出的长即可.【详解】(1)证明:. ,. 即.又∵为半径, 是的切线.(2)解:连接.∴. 是直径,. 在中,. . 又是直径的半径长为. 答案第19页,共20页,23.(1)A类特产的售价为60元/件,B类特产的售价为72元/件(2)()(3)A类特产每件售价降价2元时,每天销售利润最犬,最大利润为1840元【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质,根据题意设每件A类特产的售价为x元,则每件B类特产的售价为元,进一步得到关于x的一元一次方程求解即可;根据降价1元,每天可多售出10件列出函数关系式,结合进价与售价,且每件售价不低于进价得到x得取值范围;结合(2)中A类特产降价x元与每天的销售量y件,得到A类特产的利润,同时求得B类特产的利润,整理得到关于x的二次函数,利用二次函数的性质求解即可.【详解】(1)解:设每件A类特产的售价为x元,则每件B类特产的售价为元.根据题意得.解得.则每件B类特产的售价(元).答:A类特产的售价为60元/件,B类特产的售价为72元/件.(2)由题意得∵A类特产进价50元/件,售价为60元/件,且每件售价不低于进价∴.答:().(3).答案第19页,共20页,∴当时,w有最大值1840.答:A类特产每件售价降价2元时,每天销售利润最大,最大利润为1840元.24.(1)见解析(2)秒或2秒(3)【分析】(1)根据正方形性质,得到,再题意得到,从而得到;(2)利用题目中的条件,分别用t表示、、,再分别讨论当、和时,利用勾股定理构造方程求出t即可;(3)过点A作,交的延长线于点F,连接交于点G.由此得到,由已知得到进而得到,由题意,则,再依次证明、,得到,从而证明,即是等腰直角三角形.则,再用求出的面积.【详解】(1)证明:四边形是正方形,.,.(2)解:过点E作于点M,过点E作于点N.由题意知,∵∴,∵∴由已知,.答案第19页,共20页,,即,,即,,即. ①当时,有.即,整理得.解得(不合题意,舍去). ②当时,有.即,整理得,解得.③当时,有.即,整理得,该方程无实数解.综上所述,当是直角三角形时,t的值为秒或2秒.(3)解:过点A作,交的延长线于点F,连接交于点G.,. 又,.,,答案第19页,共20页,,,,,,即,是等腰直角三角形.,【点睛】本题考查了正方形的性格、相似三角形的性质与判定、正切定义以及勾股定理.解答过程中,灵活的利用勾股定理构造方程、根据题意找到相似三角形是解题关键.25.(1)(2)(3)【分析】()利用待定系数法即可求解;()设,直线为,求出,直线为,求出,联立方程组得,,再根据,即可求解;()设直线为,由得,得,设答案第19页,共20页,,,联立直线与抛物,得,根据根与系数的关系可得:,,作点关于直线的对称点,连接,则有,过点作于F,则,则,,根据勾股定理得,即可求出最小值.【详解】(1)解:∵抛物线与轴交于点,,, 解得,∴抛物线的解析式为;(2)设,直线为,据题意得,,解得,∴,联立得,解得或,∴,设,直线为,据题意得,,解得,∴,联立得,答案第19页,共20页,解得或,∴, , ,∴;(3)设直线为,由得,∴,∴, 设,,联立直线与抛物线,得,,根据根与系数的关系可得:,,作点关于直线的对称点,连接,答案第19页,共20页, 由题意得直线,则,∴,过点作于F,则.则,, 在中,, 即当时,,此时,故的最小值为.【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质,二次函数与一元二次方程的关系,解一元二次方程,根的判别式,勾股定理,轴对称的性质,熟练掌握知识点的应用是解题的关键.答案第19页,共20页
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