2024年四川省南充市中考数学试题【含答案、详细解析】

2024年四川省南充市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，数轴上表示的点是（    ）A．点AB．点BC．点CD．点D2．学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制人选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为（    ）A．170分B．86分C．85分D．84分3．如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）A．B．C．D．4．下列计算正确的是（    ）A．B．C．D．5．如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（    ）A．B．C．2D．36．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列试卷第9页，共9页,方程组中正确的是（　　）A．B．C．D．7．若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ）A．B．C．D．8．如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）  A．B．C．D．9．当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ）A．或0B．0或1C．或D．或110．如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点F是的三等分点；③将绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（    ）  试卷第9页，共9页,A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题11．计算的结果为．12．若一组数据，，，，，的众数为，则这组数据的中位数为．13．如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则度．14．已知m是方程的一个根，则的值为．15．如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为．  16．已知抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），且．下列四个结论：与交点为；；；，两点关于对称．其中正确的结论是．（填写序号）三、解答题17．先化简，再求值：，其中．试卷第9页，共9页,18．如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．(1)求证：．(2)若，求证：19．某研学基地开设有A，B，C，D四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，（如图）．试卷第9页，共9页,根据图中信息，解答下列问题：(1)参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数．(2)从参加调查统计喜爱D类研学项目的4名学生（2名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率．20．已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．(1)求的取值范围．(2)若，且，，都是整数，求的值．试卷第9页，共9页,21．如图，直线经过两点，与双曲线交于点．(1)求直线和双曲线的解析式．(2)过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标．22．如图，在中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且．(1)求证：是的切线．(2)若，求的半径长．试卷第9页，共9页,23．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）24．如图，正方形边长为，点E为对角线上一点，，点P在边上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在边上以的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（）．试卷第9页，共9页,(1)求证：．(2)当是直角三角形时，求t的值．(3)连接，当时，求的面积．25．已知抛物线与轴交于点，．  (1)求抛物线的解析式；(2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值；试卷第9页，共9页,(3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值．试卷第9页，共9页,,参考答案：1．C【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．先估算出的范围，再找出符合条件的数轴上的点即可．【详解】解：∵，∴数轴上表示的点是点C，故选：C．2．B【分析】本题考查求加权平均数，利用加权平均数的计算方法，进行求解即可．【详解】解：（分）；故选B．3．C【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即可得出结果．【详解】解：∵，∴，∵两个平面镜平行放置，∴经过两次反射后的光线与入射光线平行，∴；故选C．4．D【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法则，积的乘方和幂的乘方法则，逐一进行判断即可．【详解】解：A、不能合并，原选项计算错误，不符合题意；B、，原选项计算错误，不符合题意；C、，原选项计算错误，不符合题意；D、，原选项计算正确，符合题意；答案第19页，共20页,故选D．5．C【分析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得和，结合角平分线的性质得到和，当时，线段长度的最小，结合角平线的性质可得即可．【详解】解：∵，∴，在中，，解得，∵平分，∴，∴，解得，当时，线段长度的最小，∵平分，∴．故选∶C．6．A【分析】根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”分别列出两个方程，联立成方程组即可．【详解】根据题意有故选：A．【点睛】本题主要考查列二元一次方程组，读懂题意找到等量关系是解题的关键．7．B【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可．【详解】解：解，得：，∵不等式组的解集为：，答案第19页，共20页,∴，∴；故选B．8．A【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据，设，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：∵，∴，∵，设∴，∴，由题意得：，∴，∵，∴，故选：A9．A【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案．【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大，∴当时，，即，整理得：解得：或（舍去）当即时，一次函数y随x的增大而减小，答案第19页，共20页,∴当时，，即，整理得：解得：或（舍去）综上，或，故选：A10．D【分析】根据，设，得到，进而得到，求出的值，判定①，根据的面积是正方形面积的3倍，求出，进而得到，判断②；旋转得到，进而得到点在以为直径的半圆上，取的中点，连接，得到，判断③．【详解】解：在中，，∴设，则：，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故①正确；若的面积是正方形面积的3倍，则：，∴，即：，∴或（舍去），∴，∴点F是的三等分点；故②正确；∵将绕点A逆时针旋转得到，∴，答案第19页，共20页,∴点在以为直径的半圆上，取的中点，连接，则：，，  ∴，∴，即：的最大值为；故③正确；故选D．【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，解一元二次方程，求圆外一点到圆上一点的最值，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．11．1【分析】本题主要考查了同分母分式减法运算，按照同分母减法运算法则计算即可．【详解】解：，故答案为：1．12．【分析】本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．根据众数的定义可得的值，再依据中位数的定义即可得答案．【详解】解：∵，，，，，的众数为，∴，把这组数据从小到大排列为：，，，，，，则中位数为．答案第19页，共20页,故答案为：．13．75【分析】本题考查圆周角定理，补角求出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可．【详解】解：∵是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，∴，∴；故答案为：75．14．【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解．【详解】解：∵m是方程的一个根，∴，故答案为：．15．【分析】过作于点，于点，，由四边形是矩形，得，，证明四边形是矩形，通过角平分线的性质证得四边形是正方形，最后根据折叠的性质和勾股定理即可求解．【详解】如图，过作于点，于点，  答案第19页，共20页,∴，∵四边形是矩形，∴，，∴四边形是矩形，∵平分，∴，，∴四边形是正方形，由折叠性质可知：，，∴，∴，，在中，由勾股定理得，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，所对直角边是斜边的一半，角平分线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．16．【分析】由题意得，根据可以判断；令求出，，由可以判断；抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），根据根的判别式得出或，或，可以判断，利用两点间的距离可以判断．【详解】解：由题意得，∴，∵，∴，当时，，∴与交点为，故正确，当时，，解得，答案第19页，共20页,∴，当时，，解得，∴，∵，∴，即，∴，则有：，∵，∴，故正确；∵抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），∴，，解得：或，或，由得，∴，当时，，或当时，，∴，故错误；由得：，解得，∵在的左侧，在的左侧，∴，，，，∵，∴，整理得：，答案第19页，共20页,∴，∴由对称性可知：，两点关于对称，故正确；综上可知：正确，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．17．，【分析】本题主要考查了整式的化简求值，运用完全平方公式展开，先算除法，再算加减法，最后代入求值即可．【详解】解：原式，当时，原式．18．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：（1）由中点，得到，由，得到，即可得证；（2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证．【详解】（1）证明：为的中点，．           ；                             在和中，      ；（2）证明：答案第19页，共20页,垂直平分，．19．(1)喜爱B类研学项目有8人，C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为(2)【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率：（1）类项目的人数除以所占的比例求出总人数，再用总人数乘以类项目的人数所占的比例求解即可；（2）设喜爱D类研学项目的4名学生分别记为男1，男2，女1，女2，列出表格，利用概率公式进行计算即可．【详解】（1）解：（人）．                   ．                                   答：喜爱B类研学项目有8人，C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为．（2）喜爱D类研学项目的4名学生分别记为男1，男2，女1，女2，列表如下：第2位第1位男1男2女1女2男1男1男2男1女1男1女2男2男2男1男2女1男2女2女1女1男1女1男2女1女2女2女2男1女2男2女2女1由表可知，抽选2名学生共有12种等可能结果，抽中一名男生和一名女生（记作事件M）共8种可能．．答：抽中一名男生和一名女生的概率为．20．(1)(2)答案第19页，共20页,【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．（1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可；（2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可．【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根，∴，∴，解得：；（2）解：∵，由（1）得，∴，∴整数的值有，，，当时，方程为，解得：，（都是整数，此情况符合题意）；当时，方程为，解得：（不是整数，此情况不符合题意）；当时，方程为，解得：（不是整数，此情况不符合题意）；综上所述，的值为．21．(1)直线解析式为，双曲线解析式为(2)点P坐标为或或或【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，相似三角形的性质：（1）待定系数法求出一次函数的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可；答案第19页，共20页,（2）分和，两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：直线经过两点，∴，解得：，∴，当时，，解得：，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，，当以O，A，P为顶点的三角形与相似时，分两种情况进行讨论：①当，则：，∴，∴，∴或；②当，则：，∴，∴，∴或；综上：点P坐标为或或或．22．(1)见解析(2)【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：答案第19页，共20页,（1）圆周角定理推出，根据，结合三角形的内角和定理，推出，即即可得证；（2）连接，易得，直径得到在中，勾股定理求出的长，三角函数求出的长即可．【详解】（1）证明：．              ，．                                 即．又∵为半径，                              是的切线．（2）解：连接．∴．        是直径，．                  在中，．         ．            又是直径的半径长为．                  答案第19页，共20页,23．(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件(2)（）(3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质，根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可；根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围；结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元．根据题意得．解得．则每件B类特产的售价（元）．答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．（2）由题意得∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价∴．答：（）．（3）．答案第19页，共20页,∴当时，w有最大值1840．答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．24．(1)见解析(2)秒或2秒(3)【分析】（1）根据正方形性质，得到，再题意得到，从而得到；（2）利用题目中的条件，分别用t表示、、，再分别讨论当、和时，利用勾股定理构造方程求出t即可；（3）过点A作，交的延长线于点F，连接交于点G．由此得到，由已知得到进而得到，由题意，则，再依次证明、，得到，从而证明，即是等腰直角三角形．则，再用求出的面积．【详解】（1）证明：四边形是正方形，．，．（2）解：过点E作于点M，过点E作于点N．由题意知，∵∴，∵∴由已知，．答案第19页，共20页,，即，，即，，即．         ①当时，有．即，整理得．解得（不合题意，舍去）．             ②当时，有．即，整理得，解得．③当时，有．即，整理得，该方程无实数解．综上所述，当是直角三角形时，t的值为秒或2秒．（3）解：过点A作，交的延长线于点F，连接交于点G．，．                 又，．，，答案第19页，共20页,，，，，，即，是等腰直角三角形．，【点睛】本题考查了正方形的性格、相似三角形的性质与判定、正切定义以及勾股定理．解答过程中，灵活的利用勾股定理构造方程、根据题意找到相似三角形是解题关键．25．(1)(2)(3)【分析】（）利用待定系数法即可求解；（）设，直线为，求出，直线为，求出，联立方程组得，，再根据，即可求解；（）设直线为，由得，得，设答案第19页，共20页,，，联立直线与抛物，得，根据根与系数的关系可得：，，作点关于直线的对称点，连接，则有，过点作于F，则，则，，根据勾股定理得，即可求出最小值．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，，              解得，∴抛物线的解析式为；（2）设，直线为，据题意得，，解得，∴，联立得，解得或，∴，设，直线为，据题意得，，解得，∴，联立得，答案第19页，共20页,解得或，∴，                  ，   ，∴；（3）设直线为，由得，∴，∴，            设，，联立直线与抛物线，得，，根据根与系数的关系可得：，，作点关于直线的对称点，连接，答案第19页，共20页,  由题意得直线，则，∴，过点作于F，则．则，，             在中，，                                              即当时，，此时，故的最小值为．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．答案第19页，共20页