【名校】江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题

南京师大附中2023届高二年级期末考试数学2023.6（总分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）一一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合，，则（）A.B.C.D.3.设某中学的女生体重（单位：kg）与身高（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为.若该中学女生的平均身高为160cm，则该中学女生的平均体重的估计值是（）A.47.69kgB.48.69kgC.57.69kgD.58.69kg4.设与均为单位向量，它们的夹角为.若，则的范围是（）A.B.C.D.5.设，，，则（）A.B.C.D.6.现有5名同学去3个养老院参加公益活动，每名同学只去1个养老院，每个养老院至少安排1名同学，则不同安排方案的种数为（） A.25B.40C.150D.2407.设函数，则关于的不等式的解集为（）A.B.C.D.8.设抛物线的焦点为，准线为，是与轴的交点，.过此抛物线上一点作直线的垂线，垂足记为点，与相交于点，若，则点到轴的距离为（）A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.甲､乙两地四月7日至14日的最高气温如图所示，下列说法中正确的是（）A.乙地在这8日内最高气温的极差为8℃B.甲、乙两地12日温差最大C.甲地这8日平均气温为20℃D.甲地的75百分位数是21.5℃10.已知为各项为正数的等比数列，，.记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是（）A.数列的公比为2B.C.数列为等差数列D.数列的前项和为11.若函数，则在区间内可能（） A.单调递增B.单调递减C.有最小值，无最大值D.有最大值，无最小值12.如图，圆锥内有一个内切球，球与母线，分别切于点，.若是边长为2的等边三角形，为圆锥底面圆的中心，为圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（）A.球的表面积与圆锥的侧面积之比为2：3B.平面截得圆锥侧面的交线形状为抛物线C.四面体的体积的取值范围是D.若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则最大值为第II卷（非选择题共90分）三、填空题（本共大题共4小题，每小顾5分，共20分）13.若，则的值为__________.14.展开式中的常数项为__________.（结果用数字表示）15.现有两个罐子，1号罐子中装有2个红球､1个黑球，2号罐子中装有3个红球､1个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为__________.16.若存在实数，使得，则的值为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知各项不为零的数列满足：，.（1）求，，并求的通项公式；（2）记数列的前项和为，证明：. 18.（本小题满分12分）的内角，，的对边分别为，，，已知，.（1）求；（2）求周长的最大值.19.（本小题满分12分）“总要来趟南京吧!”今年一季度南京接待游客4千多万，居全省第一.南京的旅游资源十分丰富，既有中山陵、夫子庙、玄武湖、南京博物院等传统景区，又有科巷､三七八巷､德基广场等新晋网红景点.（1）如果随机访问了50名外地游客，所得结果如下表所示：首选传统景区首选网红景点总计男性2030女性1220试判断是否有90%的把握认为是否首选网红景点与性别有关；（2）根据互联网调查数据显示，外地游客来南京旅游首选传统景区的概率是0.6，首选网红景点的概率是0.4.如果随机访问3名外地游客，他们中首选网红景点的人数记为，求的分布列和期望.附：（其中）.0.050.0100.0013.8416.63510.82820.（本小题满分12分）如图，在四棱台中，平面，四边形为菱形，，.（1）证明：；（2）点是棱上靠近点的三等分点，求二面角的余弦值.21.（本小题满分12分）已知双曲线：经过点，且离心率为2. （1）求的方程；（2）过点作轴的垂线，交直线：于点，交轴于点.设点，为双曲线上的两个动点，直线，的斜率分别为，，若，求.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）若，存在满足，且，求的取值范围.2024届高二年级6月份数学学科测试答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2.C3.A4.B5.D6.C7.D8.B二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.BCD10.ABC11.BC12.ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.14.6015.16.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.解：（1）因为，，所以，所以，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，所以；（2），所以 所以.18.解：（1）由正弦定理，可知，整理得，因为，所以，因为，所以，所以，又因为，所以.又，所以；（2）由余弦定理，得，所以，则，所以，当且仅当“”时取得等号，所以周长的最大值为.19.解：（1）提出假设：是否选择网红景点与性别没有关系.由题意，补全2×2列联表得首选传统景区首选网红景点总计男性201030女性81220合计282250根据公式求得.因为当成立时，的概率约为0.1，所以有90%的把握认为，是否首选网红景点与性别有关.（2）由题意知，随机变量服从二项分布.则的分布列为：，，即 的分布表为：01230.0640.2880.4320.216所以的期望值.（分布列和分布表写出一个即可得分，期望值也可以直接用定义计算）20.解：（1）四棱台中，，延长后交于一点，故，，，共面，因为平面，平面，故，连接，，因为底面四边形为菱形，故，，平面，故平面，因为平面，所以；（2）过点作的垂线交与点，以作为轴，以，分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，由于，故，，由于点是棱上靠近点的三等分点，故，， 则，，，，则，，，记平面的法向量为，则，即，令，则，，即.平面的法向量可取为，则由图知二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为.21.解：（1）由题意得，解得.所以的方程为.（2）由题意，点坐标为，点坐标为，设，.方法一：①若直线斜率存在，设直线方程为，，消去可得， 且，且，.整理可得，，化简得，即，因为直线不过点，所以，所以，所以直线的方程为，恒过定点.②若直线斜率不存在，则，.，解得，所以直线的方程为，过定点.综上，直线恒过定点.设点到直线的距离为，点到直线的距离为，方法二：因为直线不过点，所以可设直线方程为.由可得，即， 得，等式左右两边同时除以得，，，解得.所以直线方程为，恒过定点下同法一.22.解；（1）当时，，，①当时，对任意恒成立，所以的单调增区间是，无减区间；②当时，令，得，令，得，所以的单调增区间是，单调减区间是；综上，当时，的单调增区间是，无减区间；当时，的单调增区间是，单调减区间是.（2）方法一：当时，，因为，所以，又因为，不妨设，所以.令，，则问题转化为在上有解. 注意到，①当，即时，对任意恒成立，所以在上单调递增，，在上无解，不符题意，舍去..②当，即时，因为在上单调递增，所以，从而在上单调递减.因为，，所以存在，.从而在上单调递增，上单调递减.取，令，，恒成立，所以，从而，即，，因为，所以，所以.此时因为，，且在上单调递增，上单调递减，所以必有，从而存在，，符合题意.综上，.方法二：当时，， 因为，所以，因为，且，所以，令，，从而，即，令，，则问题转化为在上有解..①若，即时，在上恒成立，所以在上单调递增，，所以在上无解，不符题意，舍去.②若，即时，在上单调递增，，所以在上单调递增，因为，，所以存在，， 从而在上单调递减，在上单调递增.令，，，所以，从而，即，，此时取，此时，所以，因为，，且在上单调递减，上单调递增，所以必有，从而存在，，符合题意.综上，.